高中数学解三角形

1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：

(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．

2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cos A＝，cos B＝，cos C＝.

3．S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

一条规律

在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.

两类问题

在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．

两种途径

根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于(　　)．

A．5      B．10  

C.      D．5

2．在△ABC中，若＝，则B的值为(　　)．

A．30°       B．45°      C．60°      D．90°

3．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大内角为________．

4．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为(　　)．

A．60°  B．90°  C．120°  D．150°

5．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．

6．在中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若，则角B的值为（    ）

Ａ．        Ｂ．    Ｃ．或        Ｄ．或

7．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（   ）

A．    B．    C．    D． 

8．在△ABC中，AB=1,  BC=2,  B=60°，则AC＝        。

9．在中，若，则的大小是___ __.

10.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120，c=a，则

A.a＞b            B.a＜b

C. a＝b            D.a与b的大小关系不能确定

11．在中。若，，，则a=           。

12.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,  A+C=2B,则sinC=     .

13．在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．

14．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.

(1)求角B的大小；

(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．

15．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.

(1)求角A的值；

(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．

16．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.

(1)若△ABC的面积等于，求a，b；

(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．

17(12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B.

(1)求B；

(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.

18．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2 A＝a.

(1)求；

(2)若c2＝b2＋a2，求B.

19．在中，，． 

（Ⅰ）求的值；    （Ⅱ）设，求的面积．

20．设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,  a=2bsinA

(Ⅰ)求B的大小;         (Ⅱ)求的取值范围.

21．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=

21．在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知

      (I)求sinC的值；

(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．

22．（本小题满分12分）

在中，分别为内角的对边，

且

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，试判断的形状.

23．在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

    （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求的最大值.

24（本题满分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足。

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求的最大值。

25．（本小题满分12分）

在中，的对边分别为，且． 

(1）求的值；

(2）若，，求和