山西省太原五中2015-2016学年高一上学期入学数学试卷

山西省太原五中2015-2016学年高一上学期入学数学试卷

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．下列计算正确的是(     )

    A．﹣|﹣3|=﹣3    B．30=0    C．3﹣1=﹣3    D．=±3

2．下列无理数中，在﹣1与2之间的是(     )

    A．﹣    B．﹣    C．    D．

3．如果点P（2x+6，x﹣4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为(     )

    A．    B．    C．    D．

4．我们学习解二元一次方程组时，通过代入消元法或者加减消元法变二元方程为一元方程，这种解题方法主要体现的数学思想是(     )

    A．分类讨论    B．化归与转化    C．函数与方程    D．数形结合

5．对于非零的实数a、b，规定a⊕b=﹣．若2⊕（2x﹣1）=1，则x=(     )

    A．    B．    C．    D．﹣

6．某商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为(     )

    A．240元    B．250元    C．280元    D．300元

7．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相较于点O，点E、F分别是线段AO、BO的中点，若EF=3，△COD的周长是18，则▱ABCD的两条对角线的和是(     )

    A．18    B．24    C．30    D．36

8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为(     )

    A．﹣1    B．3﹣    C．+1    D．﹣1

9．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是(     )

    A．BD⊥AC    B．AC2=2AB•AE

    C．△ADE是等腰三角形    D．BC=2AD

10．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：

①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．

其中正确的有(     )

    A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．分解因式：2a2﹣8=__________．

12．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于__________．

13．从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数，再从2、3、4中任取一个数作为个位上的数，那么组成的两位数是3的倍数的概率是__________．

14．如右图，直线AB交双曲线于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA．若OM=2MC，S△OAC=12．则k的值为__________．

15．如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为__________．

16．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F，过点D作DG⊥AE，垂足为G，连结FG．若FG=，∠E=30°，则GE=__________．

三．解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（1）计算：+（﹣）﹣1﹣2tan30°+（3﹣π）0

（2）先化简，再求值：，其中m是方程x2+3x﹣1=0的根．

18．已知，关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．

19．如图，△ABC中，AB=AC=4，cosC=．

（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）综合应用：在你所作的图中，

①求证：=；

②求点D到BC的距离．

20．为推广阳光体育“大课间”活动，我市某中学决定在学生中开设A：实心球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：

（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？

（2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；

（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．

21．黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．

（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．

22．（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

填空：

①∠AEB的度数为__________；

②线段AD，BE之间的数量关系为__________．

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

（3）解决问题

如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．

23．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PE=5EF，求m的值；

（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

山西省太原五中2015-2016学年高一上学期入学数学试卷

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．下列计算正确的是(     )

    A．﹣|﹣3|=﹣3    B．30=0    C．3﹣1=﹣3    D．=±3

考点：负整数指数幂；绝对值；算术平方根；零指数幂．

分析：A、根据绝对值的定义计算即可；

B、任何不等于0的数的0次幂都等于1；

C、根据负整数指数幂的法则计算；

D、根据算术平方根计算，直接求9的算术平方根即可．

再比较结果即可．

解答：    解：A、﹣|﹣3|=﹣3，此选项正确；

B、30=1，此选项错误；

C、3﹣1=，此选项错误；

D、=3，此选项错误．

故选A．

点评：本题考查了绝对值、零指数幂、算术平方根、负整数指数幂，解题的关键是掌握这些运算的运算法则．

2．下列无理数中，在﹣1与2之间的是(     )

    A．﹣    B．﹣    C．    D．

考点：估算无理数的大小．

分析：根据无理数的定义进行估算解答即可．

解答：    解：A、﹣＜﹣1，故错误；

B、﹣＜﹣1，故错误；

C、﹣1＜＜2，正确；

D、＞2，故错误．

故选：C．

点评：此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题要明确，无理数是不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．

3．如果点P（2x+6，x﹣4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为(     )

    A．    B．    C．    D．

考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；点的坐标．

专题：计算题．

分析：根据P为第四象限点，得到横坐标大于0，纵坐标小于0，列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集，表示在数轴上即可得到结果．

解答：    解：根据题意得：，

由①得：x＞﹣3；由②得：x＜4，

则不等式组的解集为﹣3＜x＜4，表示在数轴上，如图所示：

．

故选C．

点评：此题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组，以及点的坐标，列出不等式组是本题的突破点．

4．我们学习解二元一次方程组时，通过代入消元法或者加减消元法变二元方程为一元方程，这种解题方法主要体现的数学思想是(     )

    A．分类讨论    B．化归与转化    C．函数与方程    D．数形结合

考点：解二元一次方程组．

专题：计算题．

分析：根据解二元一次方程的方法判断即可得到结果．

解答：    解：我们学习解二元一次方程组时，通过代入消元法或者加减消元法变二元方程为一元方程，这种解题方法主要体现的数学思想是化归与转化．

故选B．

点评：此题考查了解二元一次方程，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

5．对于非零的实数a、b，规定a⊕b=﹣．若2⊕（2x﹣1）=1，则x=(     )

    A．    B．    C．    D．﹣

考点：解分式方程．

专题：新定义．

分析：根据新定义得到﹣=1，然后把方程两边都乘以2（2x﹣1）得到2﹣（2x﹣1）=2（2x﹣1），解得x=，然后进行检验即可．

解答：    解：∵2⊕（2x﹣1）=1，

∴﹣=1，

去分母得2﹣（2x﹣1）=2（2x﹣1），

解得x=，

检验：当x=时，2（2x﹣1）≠0，

故分式方程的解为x=．

故选：A．

点评：本题考查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，最后确定分式方程的解．也考查了阅读理解能力．

6．某商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为(     )

    A．240元    B．250元    C．280元    D．300元

考点：一元一次方程的应用．

专题：应用题．

分析：设这种商品每件的进价为x元，则根据按标价的八折销售时，仍可获利l0%，可得出方程，解出即可．

解答：    解：设这种商品每件的进价为x元，

由题意得：330×0.8﹣x=10%x，

解得：x=240，即这种商品每件的进价为240元．

故选：A．

点评：此题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是根据题意列出方程，难度一般．

7．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相较于点O，点E、F分别是线段AO、BO的中点，若EF=3，△COD的周长是18，则▱ABCD的两条对角线的和是(     )

    A．18    B．24    C．30    D．36

考点：平行四边形的性质．

分析：由点E、F分别是线段AO、BO的中点，若EF=3，根据三角形中位线的性质，可求得AB的长，又由四边形ABCD是平行四边形，可求得CD的长，然后由△COD的周长是18，求得OC+OD，继而求得答案．

解答：    解：∵点E、F分别是线段AO、BO的中点，EF=3，

∴AB=2EF=6，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=6，AC=2OC，BD=2OD，

∵△COD的周长是18，

∴OC+OD=12，

∴AC+BD=2OC+2OD=2（OC+OD）=24．

故选B．

点评：此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意平行四边形的对角线互相平分，注意整体思想的应用．

8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为(     )

    A．﹣1    B．3﹣    C．+1    D．﹣1

考点：勾股定理；正方形的性质．

分析：根据线段中点的定义求出MD，再利用勾股定理列式求出MC，即为ME的长度，然后求出DE，再根据正方形的四条边都相等可得DG=DE．

解答：    解：∵正方形ABCD的边长为2，M为边AD的中点，

∴DM=1，MC==，

∵ME=MC，

∴ME=，

∴DE=﹣1，

∵以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，

∴DG=﹣1．

故选：D．

点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，线段中点的定义，熟记性质是解题的关键．

9．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是(     )

    A．BD⊥AC    B．AC2=2AB•AE

    C．△ADE是等腰三角形    D．BC=2AD

考点：圆周角定理；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．

分析：利用圆周角定理可得A正确；证明△ADE∽△ABC，可得出B正确；由B选项的证明，即可得出C正确；利用排除法可得D不一定正确．

解答：    解：∵BC是直径，

∴∠BDC=90°，

∴BD⊥AC，故A正确；

∵BD平分∠ABC，BD⊥AC，

∴△ABC是等腰三角形，AD=CD，

∵四边形BCDE是圆内接四边形，

∴∠AED=∠ACB，

∴△ADE∽△ABC，

∴△ADE是等腰三角形，

∴AD=DE=CD，

∴===，

∴AC2=2AB•AE，故B正确；

由B的证明过程，可得C选项正确．

故选D．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质，综合考察的知识点较多，解答本题的关键在于判断△ABC和△ADE是等腰三角形．

10．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：

①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．

其中正确的有(     )

    A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

考点：二次函数的性质．

专题：压轴题．

分析：若y1=y2，记M=y1=y2．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；即可求得答案．

解答：    解：∵当y1=y2时，即﹣x2+4x=2x时，

解得：x=0或x=2，

∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；

∴①错误；

∵抛物线y1=﹣x2+4x，直线y2=2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；

∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；

∴②正确；

∵抛物线y1=﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，

∴③正确；

∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；

当M=2，2x=2，x=1；

x＞2时，y2＞y1；

当M=2，﹣x2+4x=2，x1=2+，x2=2﹣（舍去），

∴使得M=2的x值是1或2+，

∴④错误；

∴正确的有②③两个．

故选：B．

点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．分解因式：2a2﹣8=2（a+2）（a﹣2）．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

专题：计算题；因式分解．

分析：先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

解答：    解：2a2﹣8

=2（a2﹣4），

=2（a+2）（a﹣2）．

故答案为：2（a+2）（a﹣2）．

点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

12．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于2或6．

考点：两点间的距离；数轴．

分析：分情况讨论A，B，C三点的位置关系，即点C在线段AB内，点C在线段AB外．

解答：    2或6解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．

点A、B表示的数分别为﹣3、1，

AB=4．

第一种情况：在AB外，

AC=4+2=6；

第二种情况：在AB内，

AC=4﹣2=2．

故答案为2或6．

点评：本题考查了数轴及两点间的距离；本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．

13．从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数，再从2、3、4中任取一个数作为个位上的数，那么组成的两位数是3的倍数的概率是．

考点：概率公式．

分析：分析可得：从1，2，3，4中任取一个数作为十位上的数，再从2，3，4中任取一个数作为个位上的数，共12种取法，其中4个两位数是3的倍数，故其概率为．

解答：    解：P（两位数是3的倍数）=4÷12=．

故本题答案为：．

点评：本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

14．如右图，直线AB交双曲线于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA．若OM=2MC，S△OAC=12．则k的值为8．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

分析：过A作AN⊥OC于N，求出ON=MN=CM，设A的坐标是（a，b），得出B（2a，b），根据三角形AOC的面积求出ab=8，把B的坐标代入即可求出答案．

解答：    解：过A作AN⊥OC于N，

∵BM⊥OC

∴AN∥BM，

∵，B为AC中点，

∴MN=MC，

∵OM=2MC，

∴ON=MN=CM，

设A的坐标是（a，b），

则B（2a，b），

∵S△OAC=12．

∴•3a•b=12，

∴ab=8，

∵B在y=上，

∴k=2a•b=ab=8，

故答案为：8．

点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题和三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力．

15．如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为（3π﹣）cm2．

考点：切线的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．

专题：压轴题．

分析：如图，露在外面部分的面积可用扇形ODK与△ODK的面积差来求得，在Rt△A′DC中，可根据AD即圆的直径和CD即圆的半径长，求出∠DA′C的度数，进而得出∠ODH和∠DOK的度数，即可求得△ODK和扇形ODK的面积，由此可求得阴影部分的面积．

解答：    解：作OH⊥DK于H，连接OK，

∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，

∴AD=2CD，

∴A'D=2CD，

∵∠C=90°，

∴∠DA'C=30°，

∴∠ODH=30°，

∴∠DOH=60°，

∴∠DOK=120°，

∴扇形ODK的面积为=3πcm2，

∵∠ODH=∠OKH=30°，OD=3cm，

∴OH=cm，DH=cm；

∴DK=3cm，

∴△ODK的面积为cm2，

∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：（3π﹣）cm2．

故答案为：（3π﹣）cm2．

点评：此题考查了折叠问题，解题时要注意找到对应的等量关系；还考查了圆的切线的性质，垂直于过切点的半径；还考查了直角三角形的性质，直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度．

16．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F，过点D作DG⊥AE，垂足为G，连结FG．若FG=，∠E=30°，则GE=．

考点：全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

专题：计算题．

分析：作DH∥AC交BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得∠B=∠ACB，再根据平行线的性质得∠BHD=∠ACB，则∠B=∠BHD，所以DB=DH，加上DB=CE，所以DH=CE，于是可根据“AAS”可证明△DHF≌△ECF，得到DF=EF，则GF为斜边DE上的中线，所以DE=2GF=2，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可求出GE．

解答：    解：作DH∥AC交BC于H，如图，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵DH∥AC，

∴∠BHD=∠ACB，∠E=∠EDH，

∴∠B=∠BHD，

∴DB=DH，

而DB=CE，

∴DH=CE，

在△DHF和△ECF中，

，

∴△DHF≌△ECF，

∴DF=EF，

∵DG⊥AC，

∴∠DGE=90°，

∵GF为斜边DE上的中线，

∴DE=2GF=2，

而∠E=30°，

∴DG=DE=，

∴GE=DG=．

故答案为．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．

三．解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（1）计算：+（﹣）﹣1﹣2tan30°+（3﹣π）0

（2）先化简，再求值：，其中m是方程x2+3x﹣1=0的根．

考点：分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

分析：（1）分别根据负整数指数幂及0指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；

（2）先根据m是方程x2+3x﹣1=0的根得出m2+3m=1，再分式混合运算的法则把原式进行化简，把m2+3m=1代入进行计算即可．

解答：    解：（1）原式=+（﹣2）﹣+1

=﹣1；

（2）∵m是方程x2+3x﹣1=0的根，

∴m2+3m﹣1=0，即m2+3m=1，

∴原式=÷

=×

=，

=

=．

点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

18．已知，关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．

考点：根与系数的关系；根的判别式．

专题：计算题．

分析：先把方程整理为一般式得到x2﹣2（m+1）x+m2=0，根据判别式的意义得△=4（m+1）2﹣4m2≥0，解得m≥﹣；由已知条件|x1|=x2得到x1=x2或x1=﹣x2，

当x1=x2，利用△=0求m；当x1=﹣x2，利用根与系数的关系得到x1+x2=2（m+1）=0，解得m=﹣1，然后根据（1）中m的取值范围确定m的值．

解答：    解：方程整理为x2﹣2（m+1）x+m2=0，

∵关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2，

∴△=4（m+1）2﹣4m2≥0，解得m≥﹣；

∵|x1|=x2，

∴x1=x2或x1=﹣x2，

当x1=x2，则△=0，所以m=﹣，

当x1=﹣x2，即x1+x2=2（m+1）=0，解得m=﹣1，而m≥﹣，所以m=﹣1舍去，

∴m的值为﹣．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=．也考查了本题考查了一元二次方程根的判别式．

19．如图，△ABC中，AB=AC=4，cosC=．

（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）综合应用：在你所作的图中，

①求证：=；

②求点D到BC的距离．

考点：作图—复杂作图；勾股定理的应用；相似三角形的应用．

专题：作图题；证明题．

分析：（1）先作出AC的中垂线，再画圆．

（2）边接AE，AE是BC的中垂线，∠DAE=∠CAE，得出=；

（3）利用△BDE∽△BCA求出BD，再利用余弦求出BM，用勾股定理求出DM．

解答：    解：（1）如图

（2）如图，连接AE，

∵AC为直径，

∴∠AEC=90°，

∵AB=AC，

∴∠DAE=∠CAE，

∴=；

（3）如图，连接AE，DE，作DM⊥BC交BC于点M，

∵AC为直径，

∴∠AEC=90°，

∵AB=AC=4，cosC=．

∴EC=BE=4，

∴BC=8，

∵点A、D、E、C共圆

∴∠ADE+∠C=180°，

又∵∠ADE+∠BDE=180°，

∴∠BDE=∠C，

∴△BDE∽△BCA，

∴=，即BD•BA=BE•BC

∴BD×4=4×8

∴BD=，

∵∠B=∠C

∴cos∠C=cos∠B=，

∴=，

∴BM=，

∴DM===．

点评：本题主要考查了复杂的作图，相似三角形以及勾股定理的应用，解题的关键是运用△BDE∽△BCA求出线段的长．

20．为推广阳光体育“大课间”活动，我市某中学决定在学生中开设A：实心球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：

（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？

（2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；

（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．

考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．

专题：图表型．

分析：（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数；

（2）用抽查的总人数减去A、C、D的人数，求出喜欢“立定跳远”的学生人数，再除以被调查的学生数，求出所占的百分比，再画图即可；

（3）用A表示男生，B表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可．

解答：    解：（1）根据题意得：

15÷10%=150（名）．

答；在这项调查中，共调查了150名学生；

（2）本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数是；150﹣15﹣60﹣30=45（人），

所占百分比是：×100%=30%，

画图如下：

（3）用A表示男生，B表示女生，画图如下：

共有20种情况，同性别学生的情况是8种，

则刚好抽到同性别学生的概率是=．

点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．

（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．

考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．

专题：应用题．

分析：（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，根据“5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元”列出方程组解决问题；

（2）分情况：不大于20件；大于20件；分别列出函数关系式即可；

（3）设购进玩具a件（a＞20），分别表示出甲种和乙种玩具消费，建立不等式解决问题．

解答：    解：（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，由题意得

，

解得，

答：每件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元；

（2）当0＜x≤20时，

y=30x；

当x＞20时，

y=20×30+（x﹣20）×30×0.7=21x+180；

（3）设购进玩具a件（a＞20），则乙种玩具消费27a元；

当27a=21a+180，

则a=30

所以当购进玩具正好30件，选择购其中一种即可；

当27a＞21a+180，

则a＞30

所以当购进玩具超过30件，选择购甲种玩具省钱；

当27a＜21a+180，

则a＜30

所以当购进玩具少于30件，多于20件，选择购乙种玩具省钱．

点评：此题考查二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式的运用，理解题意，正确列式解决问题．

22．（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

填空：

①∠AEB的度数为60°；

②线段AD，BE之间的数量关系为AD=BE．

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

（3）解决问题

如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．

考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质；圆周角定理．

专题：综合题；压轴题；探究型．

分析：（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．

（3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．

解答：    解：（1）①如图1，

∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等边三角形，

∴∠CDE=∠CED=60°．

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC=120°．

∴∠BEC=120°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．

故答案为：60°．

②∵△ACD≌△BCE，

∴AD=BE．

故答案为：AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如图2，

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°．

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，

∴DM=ME=CM．

∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）点A到BP的距离为或．

理由如下：

∵PD=1，

∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．

∵∠BPD=90°，

∴点P在以BD为直径的圆上．

∴点P是这两圆的交点．

①当点P在如图3①所示位置时，

连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，

过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．

∴BD=2．

∵DP=1，

∴BP=．

∵∠BPD=∠BAD=90°，

∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，

∴∠APB=∠ADB=45°．

∴△PAE是等腰直角三角形．

又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，

∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．

∴=2AH+1．

∴AH=．

②当点P在如图3②所示位置时，

连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，

过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．

同理可得：BP=2AH﹣PD．

∴=2AH﹣1．

∴AH=．

综上所述：点A到BP的距离为或．

点评：本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．

23．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PE=5EF，求m的值；

（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．

专题：代数几何综合题；压轴题．

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解；

（3）解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解；当四边形PECE′是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标．

解答：    解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：

，解得，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5．

（2）∵点P的横坐标为m，

∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．

∴PE=|yP﹣yE|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，

EF=|yE﹣yF|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．

由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15|

①若﹣m2+m+2=m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，

解得：m=2或m=；

②若﹣m2+m+2=﹣（m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，

解得：m=或m=．

由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．

∴m=2或m=．

（3）假设存在．

作出示意图如下：

∵点E、E′关于直线PC对称，

∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．

∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，∴PE=CE，

∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．

当四边形PECE′是菱形存在时，

由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．

过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，

∴，即，解得CE=|m|，

∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|

∴|﹣m2+m+2|=|m|．

①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；

②若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣．

由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．

当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，

此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，菱形不存在．

综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）

点评：本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、点的坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等多个知识点，重点考查了分类讨论思想与方程思想的灵活运用．需要注意的是，为了避免漏解，表示线段长度的代数式均含有绝对值，解方程时需要分类讨论、分别计算．