第05章 第4讲 万有引力定律及其应用

2．表达式：F＝，G为引力常量：

G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.

3．适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离.

推导过程为：由mg＝＝得：

v＝＝＝7.9 km/s.

2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．

3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．

2．第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．

●特别提醒

(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同

(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大的环绕速度等于最小的发射速度

(3)两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r不同

(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．

(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．

2．相对论时空观

(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m＝.

(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．

 1．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期跟轨道半径的关系

＝越高越慢

2．同步卫星的五个“一定”

轨道平面与赤道平面共面.与地球自转周期相同，即T＝24 h.与地球自转的角速度相同.

由G＝m (R＋h)得同步

卫星离地面的高度h＝－R.v＝.

1．关于万有引力公式F＝G，以下说法中正确的是(　　)．

A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体

B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大

C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律

D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的

解析　万有引力公式F＝G，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G的值，是卡文迪许在实验室里实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C.

答案　C

2．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是(　　)．

A．第一宇宙速度又叫脱离速度

B．第一宇宙速度又叫环绕速度

C．第一宇宙速度跟地球的质量无关

D．第一宇宙速度跟地球的半径无关

解析　由于对第一宇宙速度与环绕速度两个概念识记不准，造成误解，其实第一宇宙速度是指最大的环绕速度．

答案　B

3.

图5－4－1

三颗人造地球卫星A、B、C在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知RA＜RB＜RC.若在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，如图5－4－1所示．那么再经过卫星A的四分之一周期时，卫星A、B、C的位置可能是(　　)．

解析　由G＝mr2知，T2∝r3，卫星离地面越远运行周期越大，则有TA＜TB＜TC，又经后，A运动过圆周，且B、C依次在其后，故只有C正确．

答案　C

4．苹果自由落向地面时加速度的大小为g，在离地面高度等于地球半径处做匀速圆周运动的人造卫星的向心加速度为(　　)．

A．g           B. g           C. g            D．无法确定

解析　地面处：mg＝G，所以g＝

离地面高R处：mg′＝G，所以g′＝

所以＝，即g′＝g.

答案　C

5．一物体静止在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为(　　)．

A.        B.          C.         D. 

解析　物体对天体表面压力恰好为零，说明天体对物体的万有引力提供向心力：G＝mR，解得T＝2π　①，又因为密度ρ＝＝　②，①②两式联立得T＝.

答案　D

考点一　万有引力定律在天体运动中的应用(小专题)

　利用万有引力定律解决天体运动的一般思路

1．一个模型

天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．

2．两组公式

G＝m＝mω2r＝m·r＝ma

mg＝(g为星体表面处的重力加速度)．

【典例1】 

(2010·海南卷，10改编)火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍．根据以上数据，以下说法正确的是(　　)．

A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小

B．火星公转的周期比地球的小

C．火星公转的线速度比地球的大

D．火星公转的向心加速度比地球的大

解析　本题考查万有引力定律和有关天体运动的问题，意在考查考生对天体运动中各物理量之间的相互关系的掌握情况和分析比较能力．由mg＝得：＝·＝×2＝，所以选项A正确；由G＝Mr，得T＝，＝＝＞1，所以选项B错误；由G＝M，得v＝，a＝＝，所以选项C、D都不对．

答案　A

【变式1】 

“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程结束．其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行．若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的，月球半径为地球半径的，根据以上信息，下列说法错误的是(　　)．

A．绕月与绕地飞行周期之比为∶

B．绕月与绕地飞行周期之比为∶

C．绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6

D．月球与地球质量之比为1∶96

解析　由G＝mg可得月球与地球质量之比：＝×＝，D正确．由于在近地及近月轨道中，“嫦娥一号”运行的半径分别可近似等于地球的半径与月球的半径，由G＝m2R，可得：＝＝，A正确．由G＝ma可得：＝＝，C正确．

答案　B

【变式2】 

(2011·广西模拟)天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为(　　)．

A．1.8×103 kg/m3  B．5.6×103 kg/m3

C．1.1×104 kg/m3  D．2.9×104 kg/m3

解析　近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即：G＝m2R　①，由密度、质量和体积关系有M＝ρ·πR3　②，由①②两式得：ρ＝≈5.56×103 kg/m3.由已知条件可知该行星密度是地球密度的倍，即ρ1＝5.56×103×kg/m3＝2.9×104 kg/m3，D正确．

答案　D

考点二　天体表面重力加速度的求解

星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法

设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R，则mg＝G，即g＝(或GM＝gR2)若物体距星体表面高度为h，则重力mg′＝G，即g′＝＝g.

【典例2】 

英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度世界科学之最，在XTEJ1650－500双星系统中发现的最小黑洞位列其中．若某黑洞的半径R约45 km，质量M和半径R的关系满足＝(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为(　　)．

A．108 m/s2               B．1010 m/s2  

C．1012 m/s2          D．1014 m/s2

解析　星球表面的物体满足mg＝G，即GM＝R2g，由题中所给条件＝推出GM＝Rc2，则GM＝R2g＝Rc2，代入数据解得g＝1012 m/s2，C正确．

答案　C

【变式3】 

近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2.设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则(　　)．

A.＝  B.＝

C.＝2  D.＝2

解析　由＝mr知：＝，又卫星所在处重力提供向心力mg＝m2r，可得：＝，故B正确．

答案　B

考点三　卫星的在轨运行和变轨问题

(1)圆轨道上的稳定运行

G＝m＝mrω2＝mr2

(2)变轨运行分析

当卫星由于某种原因速度v突然改变时，受到的万有引力G和需要的向心力m不再相等，卫星将偏离原轨道运动．当G＞m时，卫星做近心运动，其轨道半径r变小，由于万有引力做正功，因而速度越来越大；反之，当G＜m时，卫星做离心运动，其轨道半径r变大，由于万有引力做负功，因而速度越来越小．

【典例3】 

如图5－4－2所示，

图5－4－2

北京飞控中心对“天宫一号”的对接机构进行测试，确保满足交会对接要求，在“神舟八号”发射之前20天，北京飞控中心将通过3至4次轨道控制，对“天宫一号”进行轨道相位调整，使其进入预定的交会对接轨道，等待“神舟八号”到来，要使“神舟八号”与“天宫一号”交会，并最终实施对接，“神舟八号”为了追上“天宫一号”(　　)．

A．应从较低轨道上加速

B．应从较高轨道上加速

C．应在从同空间站同一轨道上加速

D．无论在什么轨道上只要加速就行

解析　“神舟八号”要追上“天宫一号”，不能像汽车或飞机那样，对准目标加速飞去，因为在同一轨道上，“神舟八号”一旦加速，它就离开原来轨道，进入另外一条较高的椭圆轨道，为

了缩短距离，“神舟八号”应该从较低轨道加速，加速后轨道高度升高，才能与“天宫一号”在同一轨道上完成对接．

据G＝m2r，得T＝2π，先让“神舟八号”在低轨上运行，“天宫一号”在高轨道上的运动周期大、“神舟八号”在低轨道上的运行周期小，然后“神舟八号”适时加速后做离心运动，使之与“天宫一号”在高轨道上实现对接，故选项A对B错．若“神舟八号”在同一轨道上只加速，将要离开原轨道向外，所以只加速不减速是不可能进行对接的，因此选项C、D都错．

答案　A

【变式4】 

“天宫一号”被长征二号火箭发射后，

图5－4－3

准确进入预定轨道，如图5－4－3所示，“天宫一号”在轨道1上运行4周后，在Q点开启发动机短时间加速，关闭发动机后，“天宫一号”沿椭圆轨道2运行到达P点，开启发动机再次加速，进入轨道3绕地球做圆周运动，“天宫一号”在图示轨道1、2、3上正常运行时，下列说法正确的是(　　)．

A．“天宫一号”在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B．“天宫一号”在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度

C．“天宫一号”在轨道1上经过Q点的加速度大于它在轨道2上经过Q点的加速度

D．“天宫一号”在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度

解析　据v＝，可知v3答案　D

　　　8.双星模型

1.模型概述

在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．

2.模型特点

(1)两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在m1、m2两颗行星上．

(2)由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的，所以两颗行星的运行周期及角速度相等．

1．(2010·重庆理综，16)月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为(　　)．

A．1∶6 400  B．1∶80  C．80∶1  D．6 400∶1

解析　双星系统中的向心力大小相等，角速度相同．据此可得M＝m，Mω2r1＝mω2r2，联立得＝＝，故C项正确．

答案　C

2．(2010·天津理综，6)探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比(　　)．

A．轨道半径变小    B．向心加速度变小    C．线速度变小    D．角速度变小

解析　探测器做匀速圆周运动由万有引力充当向心力，G＝mr，G＝m，G＝mω2r，G＝ma.由以上四式可知，T减小则r减小，a、v、ω均增大，故仅A正确．

答案　A

3.

图5－4－4

(2010·山东理综，18改编)1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元．如图5－4－4所示，“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439 km和2 384 km，则(　　)．

A．卫星在M点的势能大于N点的势能

B．卫星在M点的角速度大于N点的角速度

C．卫星在M点的加速度小于N点的加速度

D．卫星在N点的速度大于7.9 km/s

解析　卫星从M点到N点，万有引力做负功，势能增大，A项错误；由开普勒第二定律知，M点的角速度大于N点的角速度，B项正确；由于卫星在M点所受万有引力较大，因而加速度较大，C项错误；卫星在远地点N的速度小于其在该点做圆周运动的线速度，而第一宇宙速度7.9 km/s是线速度的最大值，D项错误．

答案　B

4．(2010·全国Ⅱ，21)已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍．若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为(　　)．

A．6小时  B．12小时  C．24小时  D．36小时

解析　设地球半径为R，平均密度为ρ，同步卫星的周期为T1，另一行星的半径为r1，其同步卫星的周期为T2，对于地球的同步卫星，由＝·r得：

G＝，①

对于行星的同步卫星：G＝，②

由①②两式得：＝，T2＝T1＝12小时，B项正确．

答案　B

5．(2011·江苏卷，7改编)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v.引力常量为G，则下列说法错误的是(　　)．

A．恒星的质量为               B．行星的质量为

C．行星运动的轨道半径为        D．行星运动的加速度为

解析　由＝＝mr得M＝＝，A对；无法计算行星的质量，B错；r＝＝＝，C对；a＝ω2r＝ωv＝v，D对．

答案　B

6．(2011·课标全国卷，19)卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送．如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于(可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105 km，运行周期约为27天，地球半径约为6 400 km，无线电信号的传播速度为3×108 m/s.)(　　)．

A．0.1 s  B．0.25 s  C．0.5 s  D．1 s

解析　根据＝m同(R＋h)，＝m月r，结合已知数据，解得地球同步卫星距地面的高度h≈3.6×107 m，再根据电磁波的反射及直线传播得：2h＝ct，得t≈0.24 s，故选项B正确，选项A、C、D错误．

答案　B

7．(2011·大纲全国卷，19)我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)，然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球．如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比(　　)．

A．卫星动能增大，引力势能减小    B．卫星动能增大，引力势能增大

C．卫星动能减小，引力势能减小    D．卫星动能减小，引力势能增大

解析　由＝m知，Ek＝mv2＝，r越大，Ek越小．r增大，卫星在升高过程中要克服万有引力做功，引力势能增大．综上所述D对，A、B、C错．

答案　D

8．(2011·山东卷)甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是(　　)．

①甲的周期大于乙的周期　②乙的速度大于第一宇宙速度

③甲的加速度小于乙的加速度　④甲在运行时能经过北极的正上方

A．①②  B．③④  C．①③  D．②④

解析　地球卫星绕地球做圆周运动时，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律知G＝m，得T＝2π.r甲>r乙，故T甲>T乙，选项①正确；贴近地表运行的卫星的速度称为第一宇宙速度，由G＝知v＝，r乙>R地，故v乙比第一宇宙速度小，选项②错误；由G＝ma，知a＝，r甲>r乙，故a甲答案　C