2014届高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训练 第四篇 第1讲 角的概念的推广、弧度制及任意角

三角函数、解三角形

第1讲角的概念的推广、弧度制及任意角的三角函数

A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)

1．θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是

(　　)．

A．sin B．cos

C．tan D．cos 2θ

解析　因为θ是第二象限角，所以为第一或第三象限角，所以tan

>0，故选C.

答案　C

2．(2011·新课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝ (　　)．A．－ B．－ C. D.

解析　由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.

答案　B

3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为 (　　)．

A．40π cm2 B．80π cm2 C．40cm2 D．80cm2

解析　72°＝，∴S扇形＝αR2＝××202＝80π(cm2)．

答案　B

4．给出下列命题：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的

大小无关；

④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；

⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．

其中正确命题的个数是 (　　)．

A．1 B．2 C．3 D．4解析　由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三

角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故

②错；③正确；由于sin ＝sin ，但与的终边不相同，故④错；当θ＝

π，cos θ＝－1<0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．

答案　A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.

解析　因为A点纵坐标y A＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标x A＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.

答案　－

6．设角α是第三象限角，且＝－sin ，则角是第________象限角．解析　由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，kπ＋<＋(k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin 知sin ≤0，所以只能是第四象限角．

答案　四

三、解答题(共25分)

7．(12分)(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来：

①60°；②－21°.

(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－

180°≤α<180°的元素α写出来．

解　(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－

360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；

②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°

的元素α为－21°，339°，699°.

(2)终边在y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|

α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.

8．(13分)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cos θ.

解　∵θ的终边过点(x，－1)，

∴tan θ＝－，

又∵tan θ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.

当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝；

当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－.B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．(2011·江西改编)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝ (　　)．A．－8 B．8 C．－4 D．4

解析　根据题意sin θ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，＝－，又∵y<0，∴y＝－8(合题意)，y＝8(舍去)．综上知y＝－8.

答案　A

2．(2012·赣州模拟)已知锐角α的终边上一点P(sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝ (　　)．

A．80° B．70° C．20° D．10°

解析　据三角函数定义知，tan α＝＝＝tan 70°.故锐角α＝70°.

答案　B

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．(2013·鞍山模拟)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．

解析　由题意得S＝(8－2r)r＝4，整理得r2－4r＋4＝0，解得r＝2.又l ＝4，故|α|＝＝2(rad)．

答案　2

4．函数y＝的定义域为________．

解析　

∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.

由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．

∴x∈(k∈Z)．

答案　(k∈Z)

三、解答题(共25分)

5．(12分)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.

解　设圆的半径为r cm，弧长为l cm，

则解得

∴圆心角α＝＝2.

如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1 rad.

∴AH＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB＝2sin 1 (cm)．6．(13分)

如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，△AOB为正三角形．

(1)求sin∠COA；(2)求cos∠COB.

解　(1)根据三角函数定义可知sin∠COA＝.

(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°，

又sin∠COA＝，cos∠COA＝，

∴cos∠COB＝cos(∠COA＋60°)

＝cos∠COA cos 60°－sin∠COA sin 60°

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