高中数学选择性必修二 综合检测试卷一

(时间：120分钟 满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( )

A ．32

B ．－32

C ．35

D ．－35

答案 C

解析 ∵{a n }是等差数列，

∴d ＝a 8－a 4

8－4＝3，

∴a 15＝a 4＋11d ＝2＋11×3＝35.

2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是(

) A ．12，－8 B ．1，－8

C ．12，－15

D ．5，－16

答案 A

解析 y ′＝6x 2－6x －12，

由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．

x ＝－2时，y ＝1；x ＝－1时，y ＝12；

x ＝1时，y ＝－8.

所以y max ＝12，y min ＝－8.

3．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5等于( )

A ．－163 B.163 C ．－83 D.83

答案 B

解析 ∵a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1，

∴a 2＝(－1)2×2×13＝23，

a 3＝(－1)3×2×23＝－43，

a 4＝(－1)4×2×⎝⎛⎭⎫－43＝－83，

a 5＝(－1)5×2×⎝⎛⎭⎫－83＝163.

4．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

答案 D

解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1

. 由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ， 则有a －1＝2，所以a ＝3.

5．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( )

A ．1

B ．－1

C ．－3

D ．－4

答案 D

解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ，

a ＋3

b ＋

c ＝10，

解得a ＝－4，b ＝2，c ＝8.

6．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为，则该数列有

( )

A ．13项

B ．12项

C ．11项

D ．10项

答案 B

解析 设数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1，

则前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，

后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1.

由题意得a 31q 3＝2，a 31q

3n －6＝4， 两式相乘得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q

n －1＝2. 又∵a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝，

()

121n n n a q

-∴＝， 即(a 21

q n －1)n ＝2，解得n ＝12. 7．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处的切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为

( )

答案 C

解析 由曲线方程y ＝sin x ，可知g (x )＝cos x ，

所以y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数，排除A ，B ；

当x ＝0时，y ＝0，排除D ，故选C.

8．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则

损失100元，已知该厂在制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是p ＝3x 4x ＋32

(x ∈N *)，为获得最大盈利，该厂的日产量应定为( )

A ．14件

B ．16件

C ．24件

D ．32件

答案 B

解析 因为该厂的日产量为x ，

则其次品数为px ＝3x 2

4x ＋32，正品数为(1－p )x ＝x 2＋32x 4x ＋32

， 根据题意得盈利T (x )＝200×x 2＋32x 4x ＋32－100×3x 2

4x ＋32

， 化简整理得T (x )＝－25x 2＋1 600x x ＋8

. 因为T (x )＝－25x 2＋1 600x x ＋8

， 所以T ′(x )＝(－50x ＋1 600)(x ＋8)－(－25x 2＋1 600x )(x ＋8)2

＝－25×x 2＋16x －×8(x ＋8)2

＝－25×(x ＋32)(x －16)(x －8)

， 当00；当x >16时，T ′(x )<0.

所以x ＝16时，T (x )有最大值，即T (x )max ＝T (16)＝800(元)．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a A ．f (x )>g (x )

B ．f (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )

D ．f (x )＋g (b )答案 CD

解析 因为f ′(x )－g ′(x )>0，

所以[f (x )－g (x )]′>0，

所以f (x )－g (x )在[a ，b ]上单调递增，

所以当a f (x )－g (x )>f (a )－g (a )，

所以f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )，f (x )＋g (b )10．设{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于(

)

A.152

B.314

C.334

D.619

答案 BD

解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 2a 4＝1得a 23＝1，

∴a 3＝±1.

∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 3q 2＋a 3q ＋a 3＝7，

当a 3＝－1时，得8q 2＋q ＋1＝0无解，

当a 3＝1时，得6q 2－q －1＝0，

解得q ＝12或q ＝－13，

当q ＝－13时，a 1＝1

q 2＝9.

∴S 5

＝9×⎝⎛⎭⎫1＋1

351＋13

＝274×⎝⎛⎭⎫1＋135＝619.

当q ＝12时，a 1＝1q 2＝4.

∴S 5＝4×⎝⎛

⎭⎫1－1

251－12

＝8×⎝⎛

⎭⎫1－125＝314.

11．函数f (x )＝x 2－ln 2x 在下列区间上单调的是( )

A.⎝⎛⎭⎫－∞，2

2 B.⎝⎛⎭⎫2

2，＋∞

C.⎝⎛⎭⎫－22，0

D.⎝⎛⎭⎫0，2

2

答案 BD

解析 因为f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2

－1

x ，

所以f ′(x ) ＜0⇔⎩

⎪⎨⎪⎧ x ＞0，2x 2－1＜0，解得0＜x ＜22； f ′(x ) ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧

x ＞0，2x 2－1＞0，解得x ＞22. 12．已知f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )恒成立，可以使不等式x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )>0的x 的取值范围为( )

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(1，＋∞)

D ．(2，＋∞)

答案 BCD

解析 令F (x )＝f (x )x

， 则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2

， 因为f (x )>xf ′(x )，

所以F ′(x )<0，F (x )为定义域上的减函数， 由不等式x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )>0得f ⎝⎛⎭⎫1x 1x

>f (x )x

， 所以1x

1. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 020－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 答案 673

解析 由a n ＝2 020－3n >0，得n <2 0203＝67313

， 又∵n ∈N *，∴n 的最大值为673.

14．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．

答案 6

解析 每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，

其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2

＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102. 由于26＝,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6.

15．已知a <0，函数f (x )＝ax 3＋12a

ln x ，且f ′(1)的最小值是－12，则实数a 的值为________． 函数f (x )在区间[1,2]上的最大值为________．

答案 －2 －2

解析 f ′(x )＝3ax 2＋12ax

， 所以f ′(1)＝3a ＋12a ≥－12，即a ＋4a

≥－4. 又a <0，有a ＋4a

≤－4， 所以a ＋4a

＝－4，故a ＝－2. 所以f (x )＝－2x 3－6ln x ，

f ′(x )＝－6x 2－6x

＝－6⎝⎛⎭⎫x 2＋1x <0， 所以函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，函数f (x )在区间[1,2]上的最大值是 f (1)＝－2.

16．若函数f (x )＝4x x 2＋1

在区间(m ,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,0]

解析 f ′(x )＝4－4x 2

(x 2＋1)2

. 由f ′(x )>0，解得－1所以函数f (x )的单调递增区间为(－1,1)．

又因为f (x )在(m ,2m ＋1)上单调递增，

所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－1，m <2m ＋1，

2m ＋1≤1，解得－1所以实数m 的取值范围是(－1,0]．

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值．

(1)求f (x )的解析式；

(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程．

解 (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a .

因为f (x )在x ＝3处取得极值，

所以f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0，

解得a ＝3.

所以f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8.

(2)A 点在f (x )上，

由(1)可知f ′(x )＝6x 2－24x ＋18，

f ′(1)＝6－24＋18＝0，

所以切线方程为y ＝16.

18．(12分)在①S n ＝n 2＋n ，②a 3＋a 5＝16，S 3＋S 5＝42，③a n ＋1a n ＝n ＋1n

，S 7＝56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．

设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，________，b 1＝a 1，b 2＝a 1a 22

. 求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1S n ＋b n 的前n 项和T n . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解 选①：

当n ＝1时，a 1＝S 1＝2,

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ,

又n ＝1满足a n ＝2n ，

所以a n ＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2

＝n 2＋n (n ∈N *)； 选②：

设数列{a n }的公差为d ，由a 3＋a 5＝16，S 3＋S 5＝42，

得⎩

⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋6d ＝16，8a 1＋13d ＝42， 解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝2，d ＝2， 所以a n ＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2

＝n 2＋n (n ∈N *)； 选③：

由

a n ＋1a n ＝n ＋1n ， 得a n ＋1n ＋1＝a n n

， 所以a n n ＝a 11

， 即a n ＝a 1·n , S 7＝7a 4＝28a 1＝56，

所以a 1＝2，

所以a n ＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2

＝n 2＋n (n ∈N *)．

①②③均可求得a n ＝2n ，

S n ＝n (2＋2n )2

＝n 2＋n (n ∈N *)， 设{b n }的公比为q ，

又因为a 1＝2，a 2＝4，

由b 1＝a 1＝2，b 2＝a 1a 22

＝4, 得b 1＝2，q ＝2，

所以b n ＝2n (n ∈N *)，

所以数列{b n }的前n 项和为2－2n ＋

11－2

＝2n ＋1－2， 因为1S n ＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1

， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 故T n ＝2n ＋1－2＋1－1n ＋1＝2n ＋1－1n ＋1

－1. 19．(12分)已知函数f (x )＝12

x 2＋a ln x . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值；

(2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值．

解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，

当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x

， 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)，

当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，

函数f (x )单调递减；

当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，

函数f (x )单调递增，

所以f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为12

，无极大值． (2)当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上单调递增，

所以f (x )min ＝f (1)＝12

， f (x )max ＝f (e)＝12

e 2＋1. 20．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，a 1＝－1，S 10S 5＝3132

. (1)求等比数列{a n }的公比q ；

(2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n .

解 (1)由S 10S 5＝3132

，a 1＝－1， 知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132

. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132

，q ＝－12

. (2)由(1)，得a n ＝(－1)×⎝⎛⎭

⎫－12n －1， 所以a 2n ＝⎝⎛⎭⎫14n －1，

所以数列{a 2n }是首项为1，公比为14

的等比数列， 故a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14

＝43⎝⎛⎭⎫1－14n . 21．(12分)数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G 技术领先世界．目前某区域市场中5G 智能终端产品的制造由H 公司及G 公司提供技术支持．据市场调研预测，5G 商用初期，该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品占比分别为a 0＝55%及b 0＝45%，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用G 公司技术的产品中有20%转而采用H 公司技术，采用H 公司技术的产品中仅有5%转而采用G 公司技术．设第n 次技术更新后，该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品占比分别为a n 及b n ，不考虑其他因素的影响．

(1)用a n 表示a n ＋1，并求实数λ使{a n －λ}是等比数列；

(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由？

(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)

解 (1)由题意知，

该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品的占比分别为a 0＝55%＝1120

，b 0＝45%＝920

. 易知经过n 次技术更新后a n ＋b n ＝1，

则a n ＋1＝(1－5%)a n ＋20%b n ＝1920a n ＋15

(1－a n )

＝34a n ＋15，即a n ＋1＝34a n ＋15

(n ∈N )，① 由①式，可设a n ＋1－λ＝34(a n －λ)⇔a n ＋1＝34a n ＋λ4

， 对比①式可知λ4＝15⇒λ＝45

. 又a 1＝34a 0＋15＝34×1120＋15＝4980，a 1－45＝4980－45＝－316

. 从而当λ＝45时，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n －45是以－316为首项，34为公比的等比数列． (2)由(1)可知a n －45＝－316·⎝⎛⎭⎫34n －1＝－14·⎝⎛⎭

⎫34n ， 所以经过n 次技术更新后，该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比a n ＝45－14·⎝⎛⎭

⎫34n . 由题意，令a n >75%，得45－14 ·⎝⎛⎭⎫34 n >34⇔⎝⎛⎭⎫34 n <15⇔n lg 34 －lg 5lg 3－2lg 2＝lg 52lg 2－lg 3

＝1－lg 22lg 2－lg 3≈1－0.3012×0.301－0.477

＝0.6990.125

＝0.699×8＝5.592>5.故n ≥6， 即至少经过6次技术更新，该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上．

22．(12分)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.

(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；

(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；

(3)探讨函数F (x )＝ln x －1e x ＋2e x

是否存在零点？若存在，求出函数F (x )的零点，若不存在，请说明理由．

解 (1)f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，

由f ′(x )<0得00得x >1e

， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭

⎫1e ，＋∞上单调递增． 当01e

， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e

. 当t >1e

时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，

∴f (x )min ＝⎩⎨⎧ －1e ，01e .

(2)原问题可化为a ≤2ln x ＋x ＋3x

， 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x

(x >0)， 则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2

， 当0当x >1时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，

∴h (x )min ＝h (1)＝4.

∴a 的取值范围为(－∞，4]．

(3)令F (x )＝0，得ln x －1e x ＋2e x

＝0， 即x ln x ＝x e x －2e

(x >0)， 由(1)知当且仅当x ＝1e 时，f (x )＝x ln x (x >0)的最小值是f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e

， 设φ(x )＝x e x －2e (x >0)，则φ′(x )＝1－x e x ， 易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

∴当且仅当x ＝1时，φ(x )取最大值，且φ(1)＝－1e

， ∴对x ∈(0，＋∞)都有x ln x >x e x －2e

， 即F (x )＝ln x －1e x ＋2e x

>0恒成立． ∴函数F (x )无零点．