湖北省武汉市江岸区2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．将方程化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（  ）

A． B． C． D．

2．在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．抛物线的顶点坐标是（    ）

A． B． C． D．

4．关于的方程有一个根为则另一个根为（  ）

A． B． C． D．

5．将二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的解析式为（  ）

A． B．

C． D．

6．《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响. 在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道. 原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，为的直径，弦于点. 寸，寸，则可得直径的长为（    ）

A．13寸 B．26寸

C．18寸 D．24寸

7．“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．2017年双十一淘宝销售额达到亿元．2019年双十一淘宝交易额达亿元，设2017年到2019年淘宝双十一销售额年平均增长率为则下列方程正确的是（  ）

A． B．

C． D．

8．如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

9．若无论取何值，代数式的值恒为非负数，则的值为（  ）

A．0 B． C． D．1

10．已知二次函数是实数，且）的图象的对称轴是直线，点和点为其图象上的两点，且（  ）

A．若则

B．若则

C．若则

D．若则

二、填空题

11．点关于原点对称的点的坐标是_______________________．

12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根；则的值为__________．

13．如图，四边形是的内接四边形，是延长线上的一点，那么的度数为_______________________

14．如图，把小圆形场地的半径增加得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为________________________

15．已知二次函数为常数，）上有五点、；有下列结论：①；②关于的方程的两个根是和；③；④为任意实数）．其中正确的结论_______________（填序号即可）．

16．如图，四边形的两条对角线所成的锐角为，则四边形的面积最大值为_______________________．

三、解答题

17．解方程：.

18．10月11日，2020中国女超联赛在昆明海堙基地落幕，最终武汉车都江大队夺得冠军．本赛季共有支球队参加了第一阶段的比赛，每两队之间进行一场比赛，第一阶段共进行了场比赛，求的值．

19．如图，AD=CB，求证：AB=CD．

20．如图，已知均在上，请用无刻度的直尺作图．

（1）如图1，若点是的中点，试画出的平分线； 

（2）若，点在弦上，在图2中画出一个含角的直角三角形．

21．已知二次函数

（1）若，则的取值范围为__               _（直接写出结果）；

（2）若，则的取值范围为_                   （直接写出结果）；

（3）若两点都在该函数的图象上，试比较与的大小．

22．某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第天的售价与销量的相关信息如下表：

第

（1）求与的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大，最大日销售利润为多少元？

（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于元．请直接写出结果．

23．（问题背景）（1）如图1，是正三角形外一点，，则？小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转请帮助小明完成他的作图；

（迁移应用）（2）如图2，在等腰中，，点在外部，使得，若，求；

（拓展创新）（3）如图3，在四边形中，点在四边形内部．且，直接写出的长．

24．已知抛物线，顶点为．

（1）求的值；

（2）如图1，若为轴右侧抛物线上一动点，过作直线轴交轴于点交直线于点，设点的横坐标为，当时，求的值；

（3）如图2，点为轴正半轴上一定点，点均为轴右侧抛物线上两动点，若，求证：直线经过一个定点．

参

1．A

【分析】

根据一元二次方程的定义判断即可；

【详解】

∵方程，

∴二次项系数为3，一次项系数为-6，常数项为1；

故答案选A．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的一般形式，准确分析判断是解题的关键．

2．B

【分析】

根据中心对称图形的概念解答即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形．故错误；

B、是中心对称图形．故正确；

C、不是中心对称图形．故错误；

D、不是中心对称图形．故错误．

故选：B．

【点睛】

本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．D

【分析】

根据抛物线的解析式即可得．

【详解】

抛物线的顶点坐标是，

故选：D．

【点睛】

本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点坐标的求法是解题关键．

4．C

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系求解．

【详解】

解：设原方程的另一根为x，则：

，

∴x=4+1=5，

故选C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．

5．A

【分析】

根据函数图象的平移方法判断即可；

【详解】

二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，

可得：；

故答案选A．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象的平移，准确分析判断是解题的关键．

6．B

【分析】

根据垂径定理可知AE的长．在Rt△AOE中，运用勾股定理可求出圆的半径，进而可求出直径CD的长．

【详解】

连接OA，

由垂径定理可知，点E是弦AB的中点，

设半径为r，由勾股定理得，

即 

解得：r=13

所以CD=2r=26，

即圆的直径为26，

故选B．

【点睛】

本题主要考查了垂径定理和勾股定理的性质和求法，熟练掌握相关性质是解题的关键.

7．C

【分析】

根据一元二次方程增长率问题模型列式即可．

【详解】

由题意，增长前为，增长后，连续增长年，代入得；

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，熟练掌握基本模型，理解公式，找准各数量是解决问题的关键．

8．D

【分析】

由余角的性质，求出∠CAB=50°，由旋转的性质，得到，，然后求出，即可得到答案．

【详解】

解：在中，，

∴∠CAB=50°，

由旋转的性质，则

，，

∴，

∴；

故选：D．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是掌握所学的性质，正确求出．

9．B

【分析】

先利用多项式乘多项式的法则展开，再根据代数式（x＋1−3m）（x−m）的值为非负数时△≤0以及平方的非负性即可求解．

【详解】

解：（x＋1−3m）（x−m）

＝x2＋（1−4m）x＋3m2−m，

∵无论x取何值，代数式（x＋1−3m）（x−m）的值恒为非负数，

∴△＝（1−4m）2−4（3m2−m）＝（1−2m）2≤0，

又∵（1−2m）2≥0，

∴1−2m＝0，

∴m＝．

故选：B．

【点睛】

本题考查了多项式乘多项式，二次函数与一元二次方程的关系，偶次方非负数的性质，根据题意得出（x＋1−3m）（x−m）的值为非负数时△≤0是解题的关键．

10．D

【分析】

根据二次函数的性质和题目中的条件，可以判断选项中的式子是否正确；

【详解】

∵二次函数是实数，且）的图象的对称轴是直线，点和点为其图象上的两点，且，

∴若a＞0，＜2＜，则可能出现＞0，故A错误；

若a＜0，，则，故B错误；

若，，则，则，故C错误；

若，，则，则，

若，，则，则，故D正确；

故答案选D．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确分析计算是关键．

11．

【分析】

由关于原点对称的点的坐标特征可以得到解答． 

【详解】

解：∵关于原点对称的点的坐标特征为：，

由题意得：x=1，y=-4，

∴，

∴点 M(1,−4) 关于原点对称的点的坐标是（-1，4），

故答案为（-1，4）．

【点睛】

本题考查图形变换的坐标表示，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题关键． 

12．

【分析】

根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，得出关于m的方程，求解即可．

【详解】

解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，

∴△=b2-4ac=（-2）2-4×3m=0，

解得m=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了根的判别式，掌握知识点是解题关键．

13．

【分析】

先根据补角的性质求出∠ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠AEC的度数，由圆周角定理即可得出∠AOC的度数．

【详解】

解：∵∠ABD＝40°， 

∴∠ABC＝180°−∠ABD＝180°−40°＝140°，

∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，

∴∠AEC＝180°−∠ABC＝180°−140°＝40°，

∴∠AOC＝2∠AEC＝2×40°＝80°．

故答案为：80．

【点睛】

本题考查的是圆周角定理及圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解答此题的关键．

14．

【分析】

根据等量关系“大圆的面积=2×小圆的面积”可列方程求解；

【详解】

设小圆的半径为xm，则大圆的半径为，

根据题意得：，

即，

解得：，（舍去）；

故答案是：．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析计算是解题的关键．

15．

【分析】

由抛物线的对称性可知对称轴为，可得，即，是方程的两个根，再根据题目当中给出的条件，代入解析式判断求解即可；

【详解】

当和时，，

∴对称轴为，

∴当，时，y的值相等，

∴，

∴，是方程的两个根，故②正确；

∵当时，，且c＞0，

∴＞0，

∴＞0，故③错误；

∵，＞0，，，

∴在对称轴的右边，y随x的增大而减小，

∴a＜0，

∵，

∴＞0，故①正确；

∵当时，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵顶点坐标为，a＜0，

∴，

∴，

∴，

∴，故④正确；

综上所述：结论正确的是①②④；

故答案是：①②④．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图像上点的特征是解题的关键．

16．

【分析】

根据四边形面积公式，S＝AC×BD×sin60°，根据sin60°＝得出S＝x（10−x）×，再利用二次函数最值求出即可．

【详解】

解：∵AC与BD所成的锐角为60°，

∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD的面积S＝AC×BD×sin60°，

设AC＝x，则BD＝10−x，

所以S＝x（10−x）×＝（x−5）2＋，

所以当x＝5，S有最大值．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了四边形面积公式以及二次函数最值，利用二次函数最值求出四边形的面积最大值是解决问题的关键．

17．，

【分析】

利用因式分解法解方程.

【详解】

解： 

∴或，

∴，.

【点睛】

本题考查一元二次方程的解法，选择合适的解法是关键.

18．10

【分析】

因为每两队之间进行一场比赛，所以支球队之间共进行场比赛，由此建立等式计算即可．

【详解】

解得或

答：的值为．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题关键在于读懂题意，得出总场数与球队数之间的关系．

19．证明见解析.

【解析】

试题分析：由在同圆中，弦相等，则所对的弧相等和等量加等量还是等量求解．

试题解析：∵AD=BC，

∴

∴AB=CD.

20．（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据题意连接并延长交劣弧于即可得解；

（2）延长交圆于，连接并延长交圆于，即可得到；

【详解】

解：连接并延长交劣弧于，

连接即为所求：

延长交圆于

连接并延长交圆于

连接；即为所求；

 ．

【点睛】

本题主要考查了利用圆周角定理、垂径定理作图，准确分析判断是解题的关键．

21．（1）；（2）或；（3）时，时，时

【分析】

（1）根据题意得出二次函数的对称轴，再利用已知的x的取值范围计算即可；

（2）分别令和，计算即可；

（3）分别表示出和，分别令的取值计算即可；

【详解】

解：（1）∵，，

∴二次函数的对称轴，

∴最小值：当时，，

最大值：当时，；

故：．

（2）∵，，

令，得或4；

令，得或5；

∴或．

两点都在该函数图象上，

，

，

，

令，

即，

此时，

令，

即，

此时，

令，

即，

此时，

综上时，时，时．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质，准确分析计算是解题的关键．

22．（1）y=；（2）第五天日销售利润最大，最大日销售利润为元；（3）14天

【分析】

（1）根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可得解；

（2）化二次函数一般式为顶点式，即可判断求解；

（3）根据题意列不等式求解即可；

【详解】

解：（1），

；

（2）当时，

，

∵＜0，∴二次函数开口向下，

由题可知：函数对称轴为，

∴当时，最大值为6250；

答：第五天日销售利润最大，最大日销售利润为元．

（3）∵，

当时，，

解得：，

∵，

∴共有天．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，准确分析计算是解题的关键．

23．（1）见解析；（2）3；（3）5

【分析】

（1）根据旋转的定义和性质解答；

（2）由题意可以得到由此可得 和PC=AM，最后由△PAC的面积等于4.5可以求得PC的值；

（3）根据三角形的性质解答．

【详解】

（1）如图，作，连结，则即为所求作的图形：

（2）作线段垂直于交延长线于点

连接

为等腰直角三角形，

在与中：

（3）5．证明如下：

如图，将顺时针旋转至，则，，

，

，即

为直角三角形，其中，，由勾股定理得，

又旋转角为，即，

则，即，

在与中，

【点睛】

本题考查三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、旋转的意义和性质、等腰三角形和直角三角形的性质是解题关键．

24．（1）；（2）或；（3）见解析

【分析】

（1）利用二次函数顶点式，代入顶点即可求解；

（2）利用二次函数解析式和一次函数解析式，用m去表示P、M点的纵坐标，再利用列出等量关系式即可求解m；

（3）作A点关于二次函数对称轴的对称点M，设则，由已知和中垂线定理可得，即可得M、P、B再同一条直线上，设，代入P、M坐标求PM解析式，再联立抛物线解析式，可表示B、M坐标，同理的求直线AB解析式，根据一次函数解析式可知AB恒过．

【详解】

解：设

代入上式

在抛物线上，在直线上

解得或或

为轴右侧抛物线上一动点

综上或

取点关于轴的对称点，

抛物线关于轴对称

点在抛物线上．

连 

设，

则

三点共线

设

解得

联立直线与抛物线，

得：

代入抛物线

同理可求恒经过定点

【点睛】

本题主要考查一次函数与二次函数综合、一次函数的图像性质、图形对称、等腰三角形三线合一等．本题综合性较强，对各涉及知识点掌握要求较高．特别注意两函数交点需满足各函数解析式．