高中数学总复习综合讲义与专题练习3-导数与三角函数

3 导数与三角函数

【例1】设，、，且，则下列结论必成立的是（    ）

A．           B．        C．        D．

【考点】导数与三角函数综合    【难度】3星        【题型】选择

【关键词】

【解析】，当时，，在单调递增；又为偶函数，故在上单调递减，且图象关于轴对称．

、时，．

【答案】D

【例2】设函数，若是奇函数，则__________．

【考点】导数与三角函数综合    【难度】2星        【题型】填空

【关键词】

【解析】，，

此函数为奇函数，故，当时，．

【答案】

【例3】函数在区间上的最大值为______；在区间上最大值为_______．

【考点】导数与三角函数综合    【难度】2星        【题型】填空

【关键词】

【解析】，时，，单调递增；当时，，单调递减；故在上的最大值为．

在与上单调递增，在上单调递减，又，，故在区间上最大值为．

【答案】；；

【例4】设函数，其中，

则导数的取值范围是（    ）

A．            B．        C．            D．

【考点】导数与三角函数综合    【难度】2星        【题型】选择

【关键词】2009，安徽，高考，题9

1【解析】，．时，

，．从而．

【答案】D

【例5】设函数，其中，将的最小值记为，则函数在下面哪个区间上单调递增（    ）

A．     B．     C．     D．

【考点】导数与三角函数综合    【难度】3星        【题型】选择

【关键词】

2【解析】，

∵，∴当时，有最小值，故，，

令，解得函数的单调递增区间为与．

但函数不在这两个区间的并集上单调递增，故选B．

【答案】B

【例6】将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，则的最大值为      ．

【考点】导数与三角函数综合    【难度】3星        【题型】填空

【关键词】2009，上海，高考，题14

3【解析】将进行变形得：，，．

它表示圆的一段，当与时，都有，故函数象表示的是轴上方的一段弧，

如图，是函数在原点处的切线，当旋转到轴时，有最大的旋转角度．此时再放置此圆弧就与轴相交于两点，不再是函数图象了．

，令得，，即，

于是，的最大值为．

【答案】

【例7】已知函数在内是增函数，求的取值范围．

【考点】导数与三角函数综合    【难度】3星        【题型】解答

【关键词】

【解析】．

因为在区间内是增函数，所以当时，，

即恒成立．

时，，要使在恒成立，只要在恒成立．

故只要即可，故的取值范围为．

【答案】

【例8】求证：方程只有一个根．

【考点】导数与三角函数综合    【难度】2星        【题型】解答

【关键词】

【解析】设，．，故在上单调递增，而，

因此方程只有一个根．

【答案】略

【例9】设函数，图象的一条对称轴是直线．

⑴求；⑵求函数的单调增区间；

⑶证明直线与函数的图象不相切．

【考点】导数与三角函数综合    【难度】3星        【题型】解答

【关键词】2005，全国Ⅰ，高考

【解析】⑴∵是函数的图象的对称轴，∴．

∴．．

∵，∴．

⑵由⑴知，因此．

由题意得，

所以函数的单调增区间为．

⑶∵，

所以曲线的切线斜率取值范围为，而直线的斜率为，所以直线与函数的图象不相切．

【答案】⑴；⑵；⑶略．

【例10】已知向量令，是否存在实数，使（其中是的导函数）．若存在，则求出的值；若不存在，则证明之．

【考点】导数与三角函数综合    【难度】3星        【题型】解答

【关键词】2005，江西，高考

【解析】

．

令，即，

可得，所以存在实数，使．

【答案】存在，．

【例11】设，且曲线在处的切线与轴平行．

⑴ 求的值，并讨论的单调性；

⑵ 证明：当时，．

【考点】导数与三角函数综合    【难度】3星        【题型】解答

【关键词】2009，辽宁，高考

【解析】⑴ ．由条件知，

，故．

于是．

故当时，；

当时，．

从而在，单调减少，在单调增加．

⑵ 由⑴知在单调增加，故在的最大值为，最小值为．

从而对任意，，有．

而当时，．

从而．

【答案】⑴，在，单调减少，在单调增加．⑵略．

【例12】已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为．

⑴求，的值；

⑵是否存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由．

⑶求证：（，）．

【考点】导数与三角函数综合    【难度】4星        【题型】解答

【关键词】

4【解析】⑴，依题意，得，即，解得．

∵，∴．

⑵，令，得．

当时，；当时，；

当时，．从而在处取到极大值．

又，，．

因此，当时，的最大值为．

要使得不等式对于恒成立，则．

所以，存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立． 

⑶

．

又∵，∴，在上单调递增，．

∴．

综上可得，（，）．

【答案】⑴，；⑵存在，；⑶略．

【例13】已知函数，且．

⑴若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；

⑵当时，求函数的最大值和最小值．

⑶当时，求函数的最大值和最小值．

【考点】导数与三角函数综合    【难度】3星        【题型】解答

【关键词】2009，崇文，一模

5【解析】

．

⑴∵曲线在点处的切线垂直于轴，

由导数的几何意义得，∴．

⑵设，只需求函数的最大值和最小值．

令，解得或．

∵，∴．

当变化时，与的变化情况如下表：

时，，函数在上为减函数．

∴，．

当时，的最小值为，最大值为．

⑶当时，，函数的极小值为上的最小值，

∴．

函数在上的最大值为与中的较大者．

∵，．

∴当时，，此时；

当时，，此时．

当时，，此时．

综上，当时，的最小值为，最大值为；

当时，的最小值为，最大值为．

【答案】⑴；⑵当时，的最小值为，最大值为．

⑶当时，的最小值为，最大值为；

当时，的最小值为，最大值为．

【例14】设函数．

⑴证明，其中为为整数；

⑵设为的一个极值点，证明；

⑶设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，

证明：

【考点】导数与三角函数综合    【难度】5星        【题型】解答

【关键词】2005，天津，高考

【解析】⑴由函数的定义，对任意整数，有

．

⑵函数在定义域上可导，　　①

令，得．显然，对于满足上述方程的有，上述方程化简为，结合图象知此方程一定有解（与的图象略）．

的极值点一定满足．

由，得．

因此，．

⑶设是的任意正实数根，即，

则存在一个非负整数，使，即在第二或第四象限内．

由①式，在第二或第四象限中的符号可列表如下：

由题设条件，，，…，，…为方程的全部正实数根且满足，

那么对于，．　②

由于，，则，

由于，由②式知．由此可知必在第二象限，

即．

综上，．

【答案】略．

【例15】已知函数，其中，为参数，且．

⑴当时，判断函数是否有极值；

⑵要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；

⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．

【考点】导数与三角函数综合    【难度】5星        【题型】解答

【关键词】2006，天津，高考

1【解析】⑴当时，，则在内是增函数，故无极值．

⑵，令，得，

由⑴，只需分下面两种情况讨论．

①当时，随的变化的符号及的变化情况如下表：

要使，必有，可得．

故或；

当时，随的变化，的符号及的变化情况如下表：

若，则．矛盾．所以当时，的极小值不会大于零．

综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为．

⑶由题意知：函数在与上恒为增函数，

由题设在内为增函数，

故需要满足不等式：或，

由⑵知，的取值范围为，，

要满足上述不等式恒成立，需要或．

即的取值范围是．

【答案】⑴无极值．⑵的取值范围为．⑶的取值范围是．

【例16】已知函数，其中，为参数，且．

⑴当时，判断函数是否有极值；

⑵要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；

⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．

【考点】导数与三角函数综合    【难度】4星        【题型】解答

【关键词】2006，天津，高考

2【解析】⑴当时，，则在内是增函数，故无极值．

⑵，令，得．

由及⑴，只需考虑的情况．

当变化时，的符号及的变化情况如下表：

因此，函数在处取得极小值，且

要使，必有，可得，所以．

⑶由⑵知，函数在区间与内都是增函数．

由题设，函数在内是增函数，

则需满足不等式组或，

由⑵，参数时，．

要使不等式关于参数恒成立，必有．

综上，解得或．所以的取值范围是．

【答案】⑴无极值；⑵；⑶的取值范围是．