立体几何高考大题集

2、如图所示,已知△ABC在平面α外,AB,BC,AC的延长线分别交平面α于P,Q,R三点.求证:P,Q,R三点共线. 

3、如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°,BC      AD,BE       FA,G,H分别为FA，FD的中点.

(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;

(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么? 

4、如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点.且CG=  BC，CH=     DC.

求证：

（1）E，F，G，H

         四点共面；

（2）三直线FH，EG，

        AC共点. 

5、［2009年高考福建卷］设m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是(        )

A.m∥β且l1∥α          B.m∥l1且n∥l2

C.m∥β且n∥β           D.m∥β且n∥l2

6、α，β，γ是三个平面,a,b是两条直线，有下列三个条件：

①a∥γ,b β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a γ.

如果命题“α∩β=a,b γ,且               ，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是(        )

A.①或②           B.②或③          C.①或③      D.只有② 

7、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F，求证：EF∥平面ABCD.

8、如图 所示，矩形ABCD和梯形BEFC有公共边BC,BE∥CF,∠BCF=90°,求证：AE∥平面DCF. 

9、如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH. 

10、如图，已知ABCD—A1B1C1D1

是棱长为3的正方体，点E在AA1上， 

点F在CC1上，点G在BB1上，且 

AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点.

（1）求证：E,B,F,D1四点共面；

（2）求证：平面A1GH∥平面BED1F. 

11、如图，已知α∥β，异面直线AB,CD和平面α,β分别交于A,B,C,D四点，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证：

（1）E,F,G,H共面;

（2）平面EFGH∥平面α.

12、如图,AB为圆O的直径,C为圆周上异于AB的任一点,PA⊥面ABC,问:图有多少个Rt△?

13、如图,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F.

(1)求证:AF⊥SC;

(2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD.

14、如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.

（1）求证：MN⊥CD；

（2）若∠PDA=       ，

求证：MN ⊥ 平面PCD.

15、如图所示,Rt△ABC的斜边为AB，过A作AP⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：PB⊥平面AEF.

16、［2009年高考山东卷］如图7-5-6，在直四棱柱ABCD

—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰 

梯形，图AB∥CD,AB=4,BC=CD=2, 

AA1=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点. 

（1）设F是棱AB的中点，证明： 

直线EE1∥平面FCC1;

（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C. 

17、如图,△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC且EC=CA=2BD,M为EA中点.求证：

（1）平面BDM⊥平面ACE；

（2）平面DEA⊥平面ECA.

1、【证明】如图,∵A1A∥C1C,

∴A1A,C1C确定平面A1C. 

∵A1C 平面A1C,O∈A1C,

∴O∈平面A1C,而O=平面BDC1∩线A1C,

∴O∈平面BDC1,

∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上.

∵AC∩BD=M,∴M∈平面BDC1且M∈平面A1C,∴平面BDC1∩平面A1C=C1M,

∴O∈CM,即M,O,C1三点共线.

2、证明:设△ABC所在平面为β,因为AP∩α=P,AP β,所以β与α相交于过点P的直线l,即P∈l.因为BQ∩α=Q,BQ β,所以Q∈β,Q∈α.所以Q∈l.同理可证R∈l.所以P,Q,R三点共线.

3、【解析】如图，(1)证明:由已知FG=GA,FH=HD,可得

GH       AD.又BC      AD,∴EH    BC,

∴四边形BCHG为平行四边形.

(2)C,D,F,E四点共面,证明如下:

由BE      AF,G为FA中点知,

BE     FG,∴四边形BEFG为平行四边形,

∴EF∥BG.

由(1)知BG∥CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面.

又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面.

4、证明：（1）连接EF，GH.

由E,F分别为AB,AD中点，

∴EF        BD,由CG=    BC

   CH=       DC，

∴HG         BD，

∴EF∥HG且EF≠HG.

∵EF,HG可确定平面α,

∴E,F,G,H四点共面. 

（2）由（1）知,EFHG为平面图形，且EF∥HG，EF≠HG.

∴四边形EFHG为梯形，设直线FH∩直线EG=O，

∵点O∈直线FH，直线FH   面ACD，

∴点O∈平面ACD.同理点O∈平面ABC.

又面ACD∩面ABC=AC，∴点O∈直线AC（公理2）.

∴三直线FH，EG，AC共点.

5、【解析】∵m∥l1,且n∥l2,又l1,l2是平面β内的两条相 

交直线,∴α∥β,而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2.

故应选B. 

6、【解析】①中，a∥γ,a β,b β,β∩γ=b a∥b（线面平行的性质）.③中，b∥β,b γ,a γ, 

β∩γ=a a∥b（线面平行的性质）.

         故应选C. 

7、【证明】证法一：分别过E，F作EM⊥AB于M，         FN⊥BC于N，连结MN.

∵BB1⊥平面ABCD，

∴BB1⊥AB,BB1⊥BC,

∴EM∥BB1,FN∥BB1,

∴EM∥FN.

又B1E=C1F，∴EM=FN，

故四边形MNFE是平行四边形,

∴EF∥MN.

又MN在平面ABCD中，

∴EF∥平面ABCD.

8、【证明】过点E作EG⊥CF交CF于G，连结DG,可得四边形BCGE为矩形.

又ABCD为矩形，

所以AD     EG,

从而四边形ADGE为平行四边形，

故AE∥DG.

因为AE 平面DCF,DG 平面DCF,

所以AE∥平面DCF. 

9、【证明】如图，连接AC交BD于O，连接MO.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC中点，又M是PC的中点， 

∴AP∥OM.

则有PA∥平面BMD. 

（根据直线和平面平行的判定定理）

∵平面PAHG∩平面BMD=GH,

∴PA∥GH.（根据直线和平面平行的性质定理） 

10、【证明】（1）∵AE=B1G=1,∴BG=A1E=2,

∴BG     A1E,∴A1G∥BE.

又同理，C1F    B1G,

∴四边形C1FGB1是平行四边形，

∴FG   C1B1      D1A1,

∴四边形A1GFD1是平行四边形.

∴A1G     D1F,∴D1F     EB,

故E,B,F,D1四点共面.

（2）∵H是B1C1的中点，∴B1H=     .

又B1G=1,∴              .

又                ,且∠FCB=∠GB1H=90°,

∴△B1HG∽△CBF,

∴∠B1GH=∠CFB=∠FBG,

∴HG∥FB.

又由（1）知A1G∥BE,且HG∩A1G=G,FB∩BE=B,

∴平面A1GH∥平面BED1F. 

11、【证明】（1）∵E,H分别是AB,DA的中点，

∴EH∥BD且EH=    BD.

同理，FG∥BD且FG=    BD，∴FG∥EH且FG=EH.

∴四边形EFGH是平行四边形，即E,F,G,H共面.

12、【解析】∵PA⊥面ABC,

∴PA⊥AC,PA⊥BC,PA⊥AB. 

∵AB为圆O的直径,∴AC⊥BC.

又∵AC⊥BC,PA⊥BC,PA∩AC=A,

∴BC⊥面PAC.

∵PC 平面PAC,∴BC⊥PC.

故图中有四个直角三角形:△PAC,△PBC,△PAB,△ABC.

13、证明: (1)∵SA⊥平面AC,BC 平面AC,

∴SA⊥BC,

∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC,∴BC⊥平面SAB,

∴BC⊥AE,又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC,

∴AE⊥SC,又EF⊥SC,

∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.

(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC,

又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD,∴DC⊥AG,

又由(1)有SC⊥平面AEF,AG 平面AEF,

∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,

∴AG⊥SD.

14【证明】  (1)如图,连接AC，AN，BN，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，

在Rt△PAC中，N为PC中点，

∴AN=   PC.

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BC，又BC⊥AB，

    PA∩AB=A,

∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，

从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，

∴BN=    PC.∴AN=BN,∴△ABN为等腰三角形,

又M为底边的中点,∴MN⊥AB,又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.

(2)连接PM,CM，∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.

∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC，∴PA=BC.

又∵M为AB的中点，∴AM=BM.

而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.

又N为PC的中点，∴MN⊥PC.

由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,

∴MN⊥平面PCD.

15、略

16、【证明】（1）证法一：取A1B1的中点为F1.

连结FF1,C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1,

所以F1∈平面FCC1,

因此平面FCC1即为平面C1CFF1.

连结A1D,F1C, 由于A1F1      D1C1    CD,

所以四边形A1DCF1为平行四边形，

因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D,得EE1∥F1C.

而EE1 平面FCC1，F1C 平面FCC1，

故EE1∥平面FCC1.

(2)连结AC，在△FBC中，FC=BC=FB,

又F为AB的中点，所以AF=FC=FB.

因此∠ACB=90°,即AC⊥BC.

又AC⊥CC1，且CC1∩BC=C,

所以AC⊥平面BB1C1C.

而AC 平面D1AC,

故平面D1AC⊥平面BB1C1C.

17、【证明】 (1)取CA中点N，连结MN,BN，在△ACE中，M,N分别为AE,AC中点，

∴MN∥EC，MN=   EC.

而BD∥EC，BD=    EC,

∴BD ∥ MN,∴B,D,M,N四点共面.

∵EC⊥平面ABC，BN 平面ABC，

∴EC⊥BN.

又∵BN⊥AC，BN⊥EC，AC∩EC=C,

∴BN⊥面ECA.

又BN 面BMD，∴平面BMD⊥平面ACE.

(2)∵DM∥BN，BN⊥平面ACE,

∴DM⊥平面ACE.

又DM 平面DEA，∴平面DEA⊥平面ACE.