利用放缩法证明数列型不等式压轴题(最新整理)

摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。

关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题主体：

一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用

1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式

问题。裂项放缩法主要有两种类型：

（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。

例1设数列的前项的和。设，

{}n a n 1412

2333

n n n S a +=-⨯+1,2,3,n = 2n n n T S =，证明：。1,2,3,n = 13

2

n

i i T =<

∑证明：易得，12(21)(21),3n n

n S +=--11

32311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----112231

1

131********

()()221212212121212121n

n i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑ =

113113(221212

n +-<--点评： 此题的关键是将裂项成，然后再求和，即可12(21)(21)n n n +--111

2121

n n +-

--达到目标。

（2）先放缩通项，然后将其裂成项之和，然后再结合其余条件进行(3)n n ≥二次放缩。

例2 已知数列和满足，数列的{}n a {}n b 112,1(1)n n n a a a a +=-=-1n n b a =-{}n b 前和为，；

n n S 2n n n T S S =-

（I ）求证：；1n n T T +>（II ）求证：当时。2n ≥2n S 711

12

n +≥

证明：（I ）1111111()2322122n n T T n n n n n n

+-=

+++-++++++++ 11121221n n n =

+-

+++10(21)(22)

n n =>++∴．

1n n T T +>（II ）112211

222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-++-+ 12211

22n n T T T T S --=+++++ 由（I ）可知递增，从而，又，n T 12222n n T T T --≥≥≥ 11217,1,212T S T =

==12211222n n n S T T T T S --∴=+++++ 21171711

(1)(1)112212

n n T T S n +≥-++=-++=

即当时。

2n ≥2n S 711

12

n +≥点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，递增，将裂成

n T 2n S 的和，从而找到了解题的突破口。

1122112222n n n n S S S S S S S ----+-++-+ 2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间

项。用于解决积式问题。

例3 已知数列的首项为点在直线上。

{}n a 13,a =()1,+n n a a )(03*

N n y x ∈=-若证明对任意的 ，不等式

3*3log 2(),n n c a n N =-∈*

n ∈N

恒成立．12111

(1)(1+)(1+)n

c c c +

⋅⋅> 证明： ，32n c n =-331313133131

(1+

)(323231332

n n n n n n c n n n n n --++=>⋅⋅=----所以3121114731

[(1)(1+)(1+)]311432

n n n c c c n ++

⋅⋅>⋅⋅⋅=+-

。12111

(1)(1+)(1+)n

c c c +

⋅⋅> 点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更

容易处理。可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两33131(1+

()32

n n c n -=-项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131

(323231332

n n n n n n n n n n --++>⋅⋅=----而通项式为的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。31

{

}32

n n +-3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。

例4

已知数列满足，

证明：{}n x 1111

,,*21n n

x x n N x +=

=∈+。1112

||()65

n n n x x -+-≤⋅证明：当时，结论成立。1n =1211

||||6n n x x x x +-=-=当时，易知2n ≥11111

01,12,12

n n n n x x x x ---<<+<=

>

+111115

(1)(1)(1)212

n n n n n x x x x x ----∴++=+

+=+≥+1111||11|||

|11(1)(1)

n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-=-=

++++211112122212

||()||(||()55565

n n n n n n x x x x x x ----≤

-≤-≤≤-= 点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。

4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标

转化。

例5已知数列的各项均为正数，且满足记

{}n a 111

122,

(),1n n

n n a a a n N a a *++-==∈-，数列的前项和为，且．2n n n b a a =-{}n b n n x 1

()2

n n f x x =

（I ）数列和的通项公式；{}n b {}n a （II ）求证：

．12231()()()

1()2()()()2

n n f x f x f x n n n N f x f x f x *+-<+++<∈ 略解：（I ） ，。

2n

n b

=n a =()21n

n f x =-

证明：（II ）11()21211

,

1()212

2(2)2

n n n n n n f x f x ++--==<--．12231()()()

()()()2

n n f x f x f x n f x f x f x +∴

+++< 11

1()2111

()2122(21)n n n n n f x f x +++-==---1111111, 22(22)22

n n n +++=->-+-12231231()()()111111

()=(1()()()22222222

n n n n f x f x f x n n n f x f x f x ++-∴

+++>-+++--> ∴

．12231()()()

12()()()2

n n f x f x f x n n f x f x f x +-<+++< 反思：右边是，感觉是个的和，而中间刚好是项，所以利用；左

2n n 1

2

n 1211212n n +-<-边是

不能用同样的方式来实现，想到

，试着考虑将12n -11

(())(()0)222

n n f n f n -=-+>缩小成是等比数列），从而找到了此题的突破口。

12121n n +--1

({}2

n n c c -5、二项式定理放缩法：在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特

别有效。二项式定理放缩法有两种常见类型：

（1）部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。

例6已知数列满足，（）．

{}n a a a =1(2)a ≠-1(46)410

21

n n n a n a n ++++=

+n *∈N （Ⅰ）证明数列是等比数列，并求出通项；

221n a n +⎧⎫

⎨⎬+⎩⎭

n a （Ⅱ）如果时，设数列的前项和为，试求出，并证明当时，有

1a ={}n a n n S n S 3n ≥．34111110

n S S S +++< 略解： （）， 则．

223

)12)(2(1-⋅++=

-n n n a a *n N ∈(21)(21)n

n S n =--，n

n

n n n n n C C C C ++++=-1102 当时，则．

∴3≥n 01122(1)n n n

n n n n C C C C n -=+++≥+1212+≥-n n

，则

．)12)(12(+-≥∴n n S n 1

21121(21)12)(12(11+--=+-≤n n n n S n 因此，

1

21121()9171(7151[(2111143+--++-+-≤+++n n S S S n ． 10

112151(21<+-=

n 反思：为什么会想到将

放缩成？联想到11(21)(21)n n S n =

--1

(21)(21)

n n -+，因为要证明，而是一个1111111223(1)1n n n ++=-<⋅⋅⋅++ 1

10<34111n

S S S +++ 数列前项的和，最后通过放缩很可能变成

的形式，而应是由n 1()(()0)10f n f n ->1

10

放缩后裂项而

成

，

，311

37

S =

⋅311111()35235

S <=-⋅111(21)(21)(21)(21)

n n S n n n =≤

---+，

此时刚好得到，接下来就要111

(22121

n n =--+341111111()252110n S S S n +++≤-<+ 处理，想到用二项式定理。

1212+≥-n n

（2）完全二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。

例7设数列的前项和为，且对任意的，都有

{}n a n n S *n N ∈.

0,n n a S >=(I)求的值；（II ）求数列的通项公式；（III ）证明：。

12,a a {}n a n a 21221n n n

n n n a a a +-≥+略解：（I ）（II ），；121,2a a ==n a n =证明（III ）0

1

2

2

33

(1),

n

n n n n x C C x C x C x +=++++ 012233(1),

n n n n n x C C x C x C x -=-+-+ ，令，133551(1)(1)22222n n n n n n x x C x C x C x C x nx +--=++≥= 1

2x n

=

则有，从而，即。11(1(1)122n n n n

+

--≥(21)(2)(21)n n n n n n +≥+-21221n n n n n n a a a +-≥+

点评：利用二项式定理结合放缩法证明不等式时，一定要紧密结合二项式展开式的特点，联系需证不等式的结构，通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决。

6、比较放缩法：比较法与放缩法的结合，先进行比较（作差或作商），再进行放缩。

例8在单调递增数列中，，且成等差数列，

}{n a 11=a 22=a 12212,,+-n n n a a a 成等比数列，．

22122,,++n n n a a a ,3,2,1=n （I ）分别计算，和，的值；

3a 5a 4a 6a （II ）求数列的通项公式（将用表示）；}{n a n a n （III ）设数列的前项和为，证明：，．}1{

n a n n S 2

4+S n *n N ∈略解：（I ）（II ）得，，． 33a =492a =56a =68a =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数

为奇数n n n n n a n ,8

)2(,8

)

3)(1(2

证明：（III ）由（II ），得．⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+++=为偶数为奇数

n n n n n a n ,)2(8

,)3)(1(812

显然，； 2

114341111+⨯=<==a S 当为偶数时，

n 42n n S n -=+22211111148244466

(2)(2)2n

n n n n ⎡⎤++++++-⎢⎥⨯⨯⨯+++⎣⎦ 11111148242446(2)(2)2n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪

⨯⨯⨯⨯⨯+++⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111114824466822n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++--

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ； 11480222n n n ⎛⎫=--

= ⎪++⎝⎭

当为奇数（）时，

n 3≥n 14144(1)8422(1)2(1)(3)2

n n n n n n n S S n a n n n n n ---=+-<+-

++-++++.128401(1)(3)2(1)(2)(3)n n n n n n n n n ⎡⎤-=+-=-<⎢⎥+++++++⎣⎦

综上所述，即，． 402n n S n -<+2

4+S n *n N ∈点评： 此题在作差比较中实施裂项放缩，进而得到最后结果小于0，从而得证。

7、单调函数放缩法：根据题目特征，构造特殊的单调函数，再进行放缩求解。例9设函数，其中．证明对任意的正整数，不等式

2

()ln(1)f x x b x =++0b ≠n

都成立．23111

ln 1n n n

⎛⎫+>- ⎪⎝⎭分析：欲证上述结论，直接作差比较，无从下手；接着想到令23111ln 1()n n n

⎛⎫

+--

⎪⎝⎭，判断函数的单调性，由于定义域为正整数，

23111()ln 1()g n n n n

⎛⎫

=+-- ⎪⎝⎭()(*)g n n N ∈不能用导数，只能计算，其结果还是很难处理；联想到数列是一种特殊的函(1)()g n g n +-数，将命题加强，令

，判断函数的单调性，1(0)x n

=∈+∞，32

()[ln(1)](0)h x x x x x =--+>如果在单调，则函数也单调。

(0,)+∞()g n 解：令函数，

3

2

3

2

()[ln(1)]ln(1)h x x x x x x x =--+=-++则．32

2

13(1)()3211

x x h x x x x x +-'=-+=

++当时，所以函数在上单调递增，∴[)0x ∈+∞，'()0h x >()h x [)0+∞，时，恒有，即恒成立．

(0)x ∴∈+∞，()(0)0h x h >=23ln(1)x x x >-+故当时，有．(0)x ∈+∞，2

3

ln(1)x x x +>-对任意正整数取，则有．n 1(0)x n =

∈+∞，23111ln 1n n n

⎛⎫+>- ⎪⎝⎭二、放缩法的注意问题以及解题策略

1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是

大于某个项，则缩小。

2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定

是对全部项进行放缩。

3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：

（1<<

（2）在分式中放大或缩小分子或分母：

；

2111

(2)(1)(1)

k k k k k k <<≥+-真分数分子分母同时加上一个正数，则变大；，

；1

1n n n n -<+假分数分子分母同时加上一个正数，则变小，如；212221

n n

n n +>-

（3）应用基本不等式放缩：

；222n n n n ++>=+（4）二项式定理放缩：如；

2121(3)n

n n -≥+≥（5）舍掉（或加进）一些项，如：。

121321||||||||(2)n n n a a a a a a a a n --≤-+-++-≥ 4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、

最难把握的问题。这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎

刃而解。

再看例2，若构造函数，

2111711

()(11(*)223212

n n n n f n S n N +=-+=+

+++-∈ 则(1)()f n f n +-=1111718(123212n n ++++++-

- 111711

(123212

n n +++++- 11112122222n n n n =+++-+++ 1717120221221212

n n n >⋅-=-=-<+前后不等号不一致，不能确定的单调性，此时放缩过当，此题不适宜用单调函数放缩()f n 法。若要证明，则2(1)2n n S ≥+(1)()f n f n +-=11113

(1)

2322

n n +++

+++- 1112(1)2322n n +-++++- 11112122222n n n n =+++-

+++ ，所以，从而递增，11112022222

n

n n >⋅-=-=+(1)()f n f n +>()(*)f n n N ∈，所以成立，此时用单调函数放缩法可行。同样

13()(1)1022f n f ≥=+-=2(12

n n

S ≥+的题干，稍有调整，我们所用的方法便有不同。

5、放缩法的策略以及精度的控制

例10已知数列的前项和为，且满足。{}n a n n S 111

,20(2)2

n n n a a S S n -=+=≥（I ）数列是否为等差数列？并证明你的结论；1

{

}n

S （II ）求和；

n S n a （III ）求证：。2

2

2

2

12312

n S S S S ++++<

简解：（1）（2）；1

(1)12

,12(2)2(1)

n n n S a n n n n ⎧=⎪⎪==⎨

⎪-≥-⎪⎩（3）证法一：当时，成立；1n =2

111

42

S =

<

当，2

211112,()441n n S n n n

≥=

<--2222

123111*********[(1)441223(1)442231n S S S S n n n n

++++<

++++=+-+-++-⨯⨯-⨯- =

111111(1)4422

n n +-=-<综上所述。2

2

2

2

1231

2

n S S S S ++++<

证法二：2

22111111(441(21)(21)22121

n S n n n n n n =

<==--+--+。

2222

123111111111(1(1233521212212

n S S S S n n n ++++<-+-++-=-<-++ 点评：两种证法的不同在于策略的选择不同。方法一是将放大成，需从

214n 21

44n n

-第二项起，要分类讨论；而方法二是将放大成。明显比大很多，

214n 2141

n -241n -2

44n n -比更接近。从中可以发现放缩后的式子越接近放缩前的式子，即放

2141n -2144n n -2

1

4n 缩程度越小，精确程度越高，保留的项就越少，运算就越简单。因此，在放缩时，要尽量缩小放缩度，提高放缩精度，避免运算上的麻烦。

本文选取的例题都是高考或模拟考中的压轴题，有一定难度，从中我们可以发现放缩法是证明数列型不等式的压轴题的最重要的方法。对于某个题目可能用到单一的放缩法，也可能用到复合型的放缩法，在平时或考试中遇到数列型不等式的证明问题，我们不能望题兴叹，也不能轻言放弃，更不能盲目瞎撞。多想几个为什么：用放缩法能否解决，是哪种类型的放缩法，要注意什么问题等等。只有正确把握了放缩法的方法思路和规律特征，我们在证明数列型不等式的压轴题时，就会豁然开朗，快速找到突破口，成为解决此类题的高手。