必修四1-3 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 练习题

1.3 同角三角函数的基本关系式及诱导公式

一、填空题

1．已知cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，则tan x＝________.

解析　由cos(π＋x)＝－cos x＝，得cos x＝－＜0，所以x∈.

此时sin x＝－，故tan x＝.

答案　

2. 已知f(cosx)=cos2x,则f(sin75)=          . 

解析 ∵sin75=sin(90-15)=cos15, 

∴f(sin75)=f(cos15)=cos)=cos30. 

答案

3．设tan(5π＋α)＝m，则的值为________．

解析　∵

＝

＝＝

＝＝，又tan(5π＋α)＝m，

∴tan(π＋α)＝m，tan α＝m，

∴原式＝.

答案　

4．若tanα＝2，则的值是________．

解析  原式分子与分母同除以cosα得：＝＝－.

答案 －

5．已知cos＝，则sin＝________.

解析　sin＝sin

＝－sin＝－cos＝－.

答案　－

6．已知cos(π－α)＝，α∈，则tan α＝________.

解析　cos(π－α)＝－cos α＝，即cos α＝－.

又α∈，∴sin α＜0.

所以sin α＝－＝－.

故tan α＝＝.

答案　

7．已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值是________．

解析　1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2＝，

又∵＜α＜，sin α＞cos α.∴cos α－sin α＝－.

答案　－

8．若x∈，则2tan x＋tan的最小值为________．

解析　因为x∈，所以tan x>0.

所以2tan x＋tan＝2tan x＋≥2，所以2tan x＋tan的最小值为2.

答案　2

9．已知sin x＋sin y＝，则sin y－cos2x的最大值为________．

解析　因为sin x＋sin y＝，所以sin y＝－sin x.

又－1≤sin y≤1，所以－1≤－sin x≤1，得－≤sin x≤1.

因此，sin y－cos2x＝－sin x－(1－sin2x)

＝－－sin x＋sin2x

＝2－，

所以当sin x＝－时，sin y－cos2x取最大值.

答案　

10．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin2°＝________.

解析　sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin2°

＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋sin2(90°－1°)

＝sin21°＋sin22°＋…＋2＋…＋cos22°＋cos21°

＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋

＝44＋＝.

答案　

11．已知2tan α·sin α＝3，－＜α＜0，则cos的值是________．

解析　依题意得＝3，即2cos2α＋3cos α－2＝0，

解得cos α＝或cos α＝－2(舍去)．又－＜α＜0，因此α＝－，

故cos＝cos＝cos＝0.

答案　0

12．设α∈，sin α＋cos α＝，则tan α＝________.

解析　将sin α＋cos α＝，①

两端平方得：sin αcos α＝，②

由①②得：或

又因为0＜α＜，所以sin α＜cos α，

所以，故tan α＝.

答案　

13.化简:           . 

解析 原式

tantansinx. 

答案 sinx 

二、解答题

14．化简：

(1)；

(2)sin120°·cos330°＋sin(－690°)·cos(－660°)＋tan675°＋.

解析 (1)原式＝＝－＝－1.

(2)原式＝sin(180°－60°)·cos(360°－30°)＋sin(720°－690°)·cos(720°－660°)＋tan(720°－45°)＋

＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＋tan(－45°)＋1＝1.

15.设f(cosx)=cos5x. 

求:(1)f(cos;;(3)f(sinx). 

解析 (1)在原式中,令得f(coscos 

=cos(cos. 

(2)∵cos 

∴在原函数式中,令得 

coscoscos(2cos. 

(3)∵sinx=cos 

∴用代原函数式中的x,得 

f(sinx)=f，求f(x)的值域；

(2)若x∈，且sin 2x＝，求f(x)的值．

解析　(1)f(x)＝sin x＋cos x＝sin.因为x∈，

所以x＋∈，

所以－≤sin≤1，所以f(x)的值域为．

(2)因为2＝(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x＝1＋sin 2x＝，

且f(x)＞0，所以f(x)＝.

18．已知－＜x＜0，sin x＋cos x＝.

(1)求sin x－cos x的值；

(2)求的值．

思路分析　(思路一)：由已知条件与平方关系联立方程组求解；(思路二)：先求sin x－cos x再与已知条件联立方程组求解．

解析　(1)法一　联立方程，得

由①得sin x＝－将其代入②，整理得

25cos2x－5cos x－12＝0.

因为－＜x＜0，所以

所以sin x－cos x＝－.

法二　由sin x＋cos x＝，

得(sin x＋cos x)2＝2，

即1＋2sin xcos x＝，

所以2sin xcos x＝－.

因为(sin x－cos x)2＝sin2x－2sin xcos x＋cos2x

＝1－2sin xcos x＝1＋＝①

且－＜x＜0，所以sin x＜0，cos x＞0，

所以sin x－cos x＜0.②

由①②可知，sin x－cos x＝－.

(2)由已知条件及(1)可知

解得

所以tan x＝－.

所以＝＝

＝＝.

【点评】 要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要构造方程来解决，在平时的学习中应该不断积累用方程的思想解题的方法.