数值分析第2章习题

1、已知方程在区间存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代（ C ）次可以保证误差不超过。（二分法二分次数）

A  5；          B  7；           C  10；          D  12

2、用一般迭代法求方程的根，将方程表示为同解方程，则的根是（C）（不动点迭代法根的几何意义）

A.与的交点        B.与x轴交点的横坐标

C.与交点的横坐标  D.与x轴交点的横坐标

3、分别改写方程为和的形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内的实根，下列描述正确的是:（B）（迭代的收敛性）

A. 前者收敛，后者发散            B. 前者发散，后者收敛

C. 两者均收敛发散                D. 两者均发散 

分析：<1

4、解非线性方程的牛顿迭代法的收敛阶为（ D ）。（收敛阶数）

A线性收敛；    B局部线性收敛；  C平方收敛；      D局部平方收敛。

二、填空题（每小题5分，共计20分）

1、非线性方程的迭代函数在有解区间满足       ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。（迭代函数）

答案：

2、在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为            。（切线法）

答案：

3、求方程根的牛顿迭代公式是             。（牛顿迭代公式）

答案：

4、割线法迭代公式是                。（割线法迭代）

答案： 

三、解答题（每题12分，共计60分）

1、用牛顿法求的近似解。（牛顿迭代法）

解：由零点定理，在内有根。

由牛顿迭代公式

取得，

故取

2、用割线法求解方程x-sin x-0.5=0在1.5附近的一个根。（割线法求根）

  解：割线法迭代公式为：

取初始值x0=1.4，x1=1.6迭代计算，得到：

=1.4919426

=1.49702，=1.49730

3、设a为常数，建立计算的牛顿迭代公式，并求的近似值，要求计算结果保留小数点后5位。  （牛顿法）

解：令p(x)=x2－a，则p(x)=0的解即为。其牛顿迭代公式为： 

取a＝115，xn+1= ½(xn+ 115/xn)

f(x)=2>0 取x0=11

x1=½(11+115/11)=10.72727 

x2=½(10.72727+115/10.72727)= 10.72381

x2=½(10.72381+115/10.72381)= 10.72381

4、已知函数，                        试分析以下两种迭代公式是否可取。（迭代收敛性）

（1）    （2）

 解:由公式（1）有， 

  求导得在[2,3]内

  所以迭代公式（1）在区间内不收敛，因而不可取。

  由公式（2）有，

   求导得可知在区间内单调递增，在区间内单调递减。故有2 <<<< 3

由收敛定理可知，公式（2）在区间[2,3]内收敛，因而可取。

5、是的几重根？取用求重根的修正牛顿公式计算此根的近似值，精确至。（修正牛顿法）

解：

   故是的3重根，即m=3.

   修正牛顿迭代公式为：

   取，计算得到满足要求。

注:本试卷由电控14-3班第六组黑桃2和工商14-1班第三组梅花2整合而成，卷中题目与答案如发现错误之处，请谅解并希望大家指出，我们予以及时更改。