2020中考数学压轴题:9种题型5种策略

数学压轴题不会做，没思路，怎么破？

中高考的设立是为了高一级学校选拔优秀人才提供依据，其中中高考压轴题更是为了考查学生综合运用知识的能力而设计的题型，具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活等特点。

因此，如何解中高考数学压轴题成了很多同学关心话题。下面介绍几种常用的压轴题的九种形式和解题策略，供大家参考学习！

九种题型

1线段、角的计算与证明问题

中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中难题了。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。

2图形位置关系

中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。

3动态几何

从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。

4一元二次方程与二次函数

在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合

5多种函数交叉综合问题

初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。所以在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。

6列方程（组）解应用题

在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。方程可以说是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考中必考内容。从近年来的中考来看，结合时事热点考的比较多，所以还需要考生有一些生活经验。实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。

7动态几何与函数问题

整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。做这类题时一定要有“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。

8几何图形的归纳、猜想问题

中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的。

9阅读理解问题

如今中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键。

解题策略

1学会运用数形结合思想

数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

纵观近几年全国各地的中考压轴题，绝大部分都是与平面直角坐标系有关，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

2学会运用函数与方程思想

从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。

用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程（组）。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。

3学会运用分类讨论的思想

分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

分类的原则：

（1）分类中的每一部分是相互的；

（2）一次分类按一个标准；

（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。

4学会运用等价转换思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。

中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。

5要学会抢得分点

一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。如中考数学压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第1小题较易，大部学生都能拿到分数；第2小题中等，起到承上启下的作用；第3题偏难，不过往往建立在1、2两小题的基础之上。因此，我们在解答时要把第1小题的分数一定拿到，第2小题的分数要力争拿到，第3小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。

中考的评分标准是按照题目所考查的知识点进行评分，解对知识点、抓住得分点就会得分。因此，对于数学中考压轴题尽可能解答“靠近”得分点，最大限度地发挥自己的水平，把中考数学压轴题变成高分踏脚石。

解中考数学压轴题，一要树立必胜的信心；二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能；三要掌握常用的解题策略。

2019-2020学年数学中考模拟试卷

一、选择题

1．若直线y ＝bx+b ﹣1经过点（m ，n+2）和（m+1，2n+1），且0＜b ＜2，则n 的值可以是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．已知P 是反比例函数8(0)y x x

=>图象上一点，点B 的坐标为（1，0），A 是y 轴正半轴上一点，且AP ⊥BP ，AP ：BP ＝1：2，那么四边形AOBP 的面积为（ ）

A.6.5

B.8

C.10

D.7 3．如图，正方形的边长为，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则该反比例函数的表达式为（ ）

A. B. C. D.

4．sin45°的值是（ ）

A ．12

B ．22

C ．32

D ．3

5．如图，ABC △中，AD 是中线，6BC B DAC =∠=∠，

，则线段AC 的长为( )

A.4

B.42

C.23

D.32

6．如图所示，E 是边长为的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值是（ ）

A ．22

B ．12

C ．32

D ．23

7．如图，这是健健同学的小测试卷，他应该得到的分数是（ ）

A ．40

B ．60

C ．80

D ．100

8．下列说法中错误的是( ) ．

A ．一个三角形中至少有一个角不少于60°

B ．三角形的中线不可能在三角形的外部

C ．直角三角形只有一条高

D ．三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分

9．下列说法正确的是（ ）

A ．周长相等的两个三角形全等

B ．面积相等的两个三角形全等

C ．三个角对应相等的两个三角形全等

D ．三条边对应相等的两个三角形全等

10．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）

A.6

B.5

C.4

D.7

11．如图，AB 为O 的切线，切点为A ，BO 交O 于点C ，点D 在O 上，若32ABO ∠=︒，则ADC

∠的度数为（ ）

A.48︒

B.29︒

C.36︒

D.72︒

12．如图是空心圆柱，则空心圆柱在正面的视图，正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题

13．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠DAB ＝60°，AE 分别交BC ，BD 于点E ，F ，CE ＝2，连接CF ．给出以下结论：①△ABF ≌△CBF ；②点E 到AB 的距离是3

；③tan ∠DCF ＝；④△ABF 的面积为．其中

正确的结论序号是_____

14．如图，已知▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD 的周长为_____．

15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线233384

y x x =

--与x 轴交于点A 、(B A 在B 左侧)，与y 轴交于点C ，经过点A 的射线AF 与y 轴正半轴相交于点E ，与抛物线的另一个交点为F ，13AE EF =，点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点P 是y 轴上一点，且AFP DAB ∠∠=，则点P 的坐标是______．

16．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P 满足S △PAB =13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点

的距离之和PA+PB的最小值为______．

17．绝对值等于2的数是_____．

18．某校为了加强学生的综合体能素质，准备购买些体育用品，已知购买5个篮球和3个足球共需900元，购买3个篮球和5个足球共需860元，则篮球和足球的售价分别是多少元？设篮球的售价是x元，足球的售价是y元，依题意，可列出方程组为_____．

三、解答题

19．今年，某社区响应泰州市“爱心一日捐”的号召，积极组织社区居民参加献爱心活动．为了解该社区居民捐款情况，对社区部分捐款户数进行分组统计（统计表如下），数据整理成如图所示的不完整统计图．请结合图中相关数据回答下列问题：

捐款分组统计表

组别捐款额（x）元

A 10≤x＜100

B 100≤x＜200

C 200≤x＜300

D 300≤x＜400

E x≥400

（1）本次调查的样本容量是多少？

（2）求出C组的频数并补全捐款户数条形统计图．

（3）若该社区有1000户住户，请估计捐款不少于200元的户数是多少？

20．对于实数a，b，定义运算“⊗”：a⊗b＝

2

2

()

()

ab b a b

a a

b a b

⎧-≥

⎨

-<

⎩

，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3＝5×3

﹣32＝6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1⊗x2等于（）

A.﹣1

B.±2

C.1

D.±1

21．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y＝x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．

（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；

（2）求A 、B 两点的坐标；

（3）在抛物线C 1上是否存在一点P ，在抛物线C 2上是否存在一点Q ，使得以AB 为边，且以A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．(1)计算：(﹣1)8+24×(﹣2)﹣3﹣4823

(2)化简：2)1x x x 1÷(1--+1

23．先化简：2211m m m m m

++⎛

⎫+÷ ⎪⎝⎭，再求值，其中m 是方程220x x --=的根． 24．甲队有50辆汽车，乙队有41辆汽车，将甲队一部分汽车调到乙队，使乙队的车数比甲队车数的2倍还多1辆，求从甲队调到乙队汽车的辆数．

25．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC 为78m ，从甲的顶部A 处测得乙的顶部D 处的俯角为49︒，测得底部C 处的俯角为58︒，求甲、乙建筑物的高度AB 和DC (结果取整数).

参考数据：tan 49 1.15︒≈，tan58 1.60︒≈.

【参】***

一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 B A B B D A B C D A

B C

二、填空题

13．①②③④

14．14

15．()0,6或1020,7P ⎛⎫-

⎪⎝⎭

16．2

17．±2 18．5390035860x y x y +=⎧⎨+=⎩

三、解答题

19．（1）50；（2）C 组的频数是：50×40%＝20；图见解析；（3）760.

【解析】

【分析】

(1)根据样本的容量=A 、B 两组捐款户数÷A、B 两组捐款户数所占的百分比即可求出

(2)C 组的频数=样本的容量×C 组所占的百分比,进而可以补全捐款户数条形统计图;

(3)捐款不少于200元的有C 、D 、E 、两组,捐款不少于200元的户数=1000×D、E 两组捐款户数所占的百分比;

【详解】

解：（1）调查样本的容量是：

（10+2）÷（1﹣40%﹣28%﹣8%）＝50；

（2）C 组的频数是：50×40%＝20；补全捐款户数条形统计图如图所示：

（3）估计捐款不少于200元的户数是：1000×（28%+8%+40%）＝760户．

【点睛】

此题综合考查了频数(率)分布表，扇形统计图，用样本估计总体，频数(率)分布直方图和扇形统计图，需要熟悉以上考点才能解答出此题

20．D

【解析】

【分析】

先解方程，求出方程的解，分为两种情况，当x 1=1，x 2=2时，当x 1=2，x 2=1时，根据题意求出即可．

【详解】

解方程x 2﹣3x+2＝0得x ＝1或x ＝2，

当x 1＝1，x 2＝2时，x 1⊗x 2＝12﹣2×1＝﹣1；

当x 1＝2，x 2＝1时，x 1⊗x 2＝2×1﹣12＝1．

【点睛】

考查解一元二次方程-因式分解法，注意分类讨论，不要漏解.

21．（1）C1的函数表示式为y＝x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）A（﹣3，0），B（1，0）；（3）存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（﹣2，5），Q（2，5）或P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）．

【解析】

【分析】

（1）由对称可求得a、n的值，则可求得两函数的对称轴，可求得m的值，则可求得两抛物线的函数表达式；

（2）由C2的函数表达式可求得A、B的坐标；

（3）由题意可知AB只能为平行四边形的边，利用平行四边形的性质，可设出P点坐标，表示出Q点坐标，代入C2的函数表达式可求得P、Q的坐标．

【详解】

解：（1）∵C1、C2关于y轴对称，

∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，

∴a＝1，n＝﹣3，

∴C1的对称轴为x＝1，

∴C2的对称轴为x＝﹣1，

∴m＝2，

∴C1的函数表示式为y＝x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；

（2）在C2的函数表达式为y＝x2+2x﹣3中，令y＝0可得x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，

∴A（﹣3，0），B（1，0）；

（3）存在．

∵AB只能为平行四边形的一边，

∴PQ∥AB且PQ＝AB，

由（2）可知AB＝1﹣（﹣3）＝4，

∴PQ＝4，

设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），

①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3＝（t+4）2+2（t+4）﹣3，解得t＝﹣2，

∴t2﹣2t﹣3＝4+4﹣3＝5，

∴P（﹣2，5），Q（2，5）；

②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3＝（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，解得t＝2，

∴t2﹣2t﹣3＝4﹣4﹣3＝﹣3，

∴P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3），

综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（﹣2，5），Q（2，5）或P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）．【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中由对称性质求得a、n的值是解题的关键，在（2）中注

意函数图象与坐标轴的交点的求法即可，在（3）中确定出PQ 的长度，设P 点坐标表示出Q 点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

22．(1)-4；(2)

11x -. 【解析】

【分析】

(1)根据幂的运算性质以及二次根式的性质化简即可；

(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．

【详解】

解：(1)原式＝1

43124()823

+⨯--＝1﹣3﹣2＝﹣4； (2)原式＝(1)(1)x x x +-÷1x x +＝(1)(1)x x x +-•1x x +＝11

x -． 【点睛】

此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

23．【解析】

【分析】

根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据m 是方程x 2-x-2=0的根且m+1≠0，m≠0，可以得到m 的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．

【详解】 解：2211m m m m m ++⎛⎫+÷ ⎪⎝

⎭ =22

211

m m m m m ++⋅+ =22

(1)1

m m m m +⋅+ =m （m+1）

=m 2

+m ，

由x 2-x-2=0，得

x 1=2，x 2=-1，

∵m+1≠0，m≠0，m 是方程x 2-x-2=0的根，

∴m=2，

当m=2时，原式=22+2=6．

【点睛】

本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

24．应从甲车队调20辆车到乙车队

【解析】

【分析】

若设从甲车队调x 辆车到乙车队，注意两个车队的同时变化．

【详解】

解：设应从甲车队调x 辆车到乙车队，

根据题意，得方程41+x ＝2（50﹣x ）+1

解得：x ＝20．

答：应从甲车队调20辆车到乙车队

【点睛】

此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于掌握理解题意列出方程.

25．甲建筑物的高度AB 约为125m ，乙建筑物的高度DC 约为35m .

【解析】

【分析】

过点D 作DE AB ⊥，可得四边形BCDE 是矩形，在Rt △ABC 和Rt △AED 中，利用∠ACB 和∠ADE 的正切值即可求出AB 和AE 的长，进而可得CD 的长，即可得答案.

【详解】

如图，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .

∴90AED BED ∠∠==︒.

由题意可知，78BC =，49ADE ∠=︒，58ACB ∠=︒，

90ABC ∠=︒，90DCB ∠=︒.

∴四边形BCDE 为矩形.

∴78ED BC ==，DC EB =.

在Rt ABC ∆中，AB tan ACB BC

∠=

， ∴5878 1.60125AB BC tan =⋅︒≈⨯≈.

在Rt AED ∆中，AE tan ADE ED

∠=， ∴49AE ED tan =⋅︒. ∴584978 1.6078 1.1535EB AB AE BC tan ED tan =-=⋅︒-⋅︒≈⨯-⨯≈.

∴35DC EB =≈.

答：甲建筑物的高度AB 约为125m ，乙建筑物的高度DC 约为35m .

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.

2019-2020学年数学中考模拟试卷

一、选择题

1．如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第10个图案由( )个▲组成．

A ．30

B ．31

C ．32

D ．33

2．如图，一艘轮船在A 处测得灯塔C 在北偏西15º的方向上，该轮船又从A 处向正东方向行驶40海里到达B 处，测得灯塔C 在北偏西60º的方向上，则轮船在B 处时与灯塔C 之间的距离(即BC 的长)为（ ）

A.403海里

B.(20320)+海里

C.80海里

D.(203202)+海里

3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CBA ＝30°，AE 平分∠CAB 交BC 于D ，BE ⊥AE 于E ，给出下列结论：①BD ＝2CD ；②AE ＝3DE ；③AB ＝AC+BE ；④整个图形（不计图中字母）不是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）

A ．对角线互相垂直

B ．对边平行

C ．对边相等

D ．对角线互相平分 5．已知二次函数y ＝x 2﹣6x+m 的最小值是1，那么m 的值等于（ ）

A ．10

B ．4

C ．5

D ．6

6．岳池医药招商保持良好态势，先后签约成都百裕制药、济南爱思、重庆泰濠、四川源洪福科技、四川恒康科技、成都天瑞炳德、南充金方堂、药融园8个亿元以上医药项目和科伦药业、人福药业CS0两个医贸项目，协议投资额约51.5亿元。将51.5亿元用科学计数法表示为（ ）元

A ．95.1510⨯

B ．851.510⨯

C ．105.1510⨯

D ．751510⨯

7．九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：90分，95分，96分，96分，95分，分，则该同学这6次成绩的中位数是（ ）

B.95分

C.95.5分

D.96分

8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是BC 延长线上一点，下列等式中不一定成立的是（ ）

A ．∠1=∠2

B ．∠3=∠5

C ．∠BAD=∠DCE

D ．∠4=∠6

9．在44⨯的正方形的网格中画出了如图所示的格点ABC △，则tan ABC ∠的值为( )

A ．31313

B ．21313

C ．32

D ．23

10．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝35°，则∠C 的度数是（ ）

A ．35°

B ．45°

C ．65°

D ．55°

11．7名学生参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己是否进前4名，他除了知道自己成绩外，还要知道这7名学生成绩的（ ）

A ．众数

B ．方差

C ．平均数

D ．中位数

12．下列计算正确的是（ ）

A ．2242a a a ⋅=

B ．236()a a -=-

C ．222363a a a -=

D ．22(2)4a a -=- 二、填空题

13．如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，AC 、BD 相交于点E ，若AB 1CD 4=，则AE AC

=______．

14．两根不一样长的木杆垂直竖立在地面上，若它们的影长相等，则此时的投影是_____．（填写“平行投影”或“中心投影”）

15．在平面直角坐标系中，若点P(2x ＋6，5x)在第四象限，则x 的取值范围是_________；

16．已知线段a=4，b=1，如果线段c 是线段a 、b 的比例中项，那么c=_____．

17．如图，是某广场用地板铺设的部分图案，是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第一层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此类推，第9层中含有正三角形个数是_____．

18．计算：

＝_____．

三、解答题 19．已知：如图，一次函数y kx b =+与反比例函数3y x

=的图象有两个交点(1,)A m 和B ，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ；过点B 作BC y ⊥轴，垂足为点C ，且2BC =，连接CD .

（1）求m ，k ，b 的值；

（2）求四边形ABCD 的面积.

20．如图，在方格纸中每个小正方形的边长均为l ，线段AB 的端点在小正方形的顶点上，（所画图形顶点必须在小正方形的顶点上）．

（1）在如图中画一个以AB 为边的四边形ABCD 是中心对称图形，且四边形面积是12；

（2）在如图中画一个以AB 为边的四边形ABMN 是轴对称图形，且只有一个角是直角，面积为15．

21．如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC ＝0.6米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB ＝75°，支架AF 的长为2.5米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD ＝1.4米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE ＝60°，求篮框D 到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，．tan75°≈3.7，3≈1.7，2≈1.4）

22．某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：

原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套）

餐桌

a 270 500元 餐椅 a ﹣110 70 已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．

（1）求表中a 的值；

（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，但销售价格保持不变．商场购进了餐桌和餐椅共200张，应怎样安排成套销售的销售量（至少10套以上），使得实际全部售出后，最大利润与

（2）中相同？请求出进货方案和销售方案．

23．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：

第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12

AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ； 第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ；

第三步，连接DE 、DF ．

若BD=6，AF=4，CD=3，求线段BE 的长．

24．已知，O 的半径为1；直线CD 经过圆心O ，交O 于C 、D 两点，直径AB CD ⊥，点M 是直

线CD 上异于C D O 、、

的一个动点，直线AM 交O 于点N ，点P 是直线CD 上另一点，且PM PN =.

(Ⅰ)如图1，点M 在

O 的内部，求证：PN 是O 的切线； (Ⅱ)如图2，点M 在O 的外部，且30AMO ︒∠=，求OP 的长.

25．（1）求不等式组2151132523(2)

x x x x -+⎧-≤⎪⎨⎪-<+⎩的整数解；（2）化简2234221121x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭

【参】***

一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 B B C A A A B D D D

D B 二、填空题

13．15

14．中心投影

15．﹣3＜x ＜0

16．2

17．102

18．3

三、解答题

19．（1）3m =，32k =，32

b =.（2）6 【解析】

【分析】

（1）用代入法可求解，用待定系数法求解；（2）延长AD ，BC 交于点E ，则90E ∠=︒.根据ABE CDE ABCD S S S ∆∆=-四边形求解.

【详解】

解：（1）∵点(1,)A m 在3y x

=

上， ∴3m =，

∵点B 在3y x =上，且2BC =， ∴3(2,)2

B --.

∵y kx b =+过A ，B 两点，

∴3322k b k b +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩

， 解得3232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

， ∴3m =，32k =，32

b =. （2）如图，延长AD ，BC 交于点E ，则90E ∠=︒.

∵BC y ⊥轴，AD x ⊥轴，

∴(1,0)D ，3(0,)2C -， ∴92

AE =，3BE =， ∴ABE CDE ABCD S S S ∆∆=-四边形

1122

AE BE CE DE =⋅⋅-⋅⋅ 1913312222

=⨯⨯-⨯⨯ 6=.

∴四边形ABCD 的面积为

6.

【点睛】

考核知识点：反比例函数和一次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.

20．(1)见解析；(2)见解析；

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的底边为4，高为3，进行画图；

（2）以AB 为直角边、点A 为直角顶点构建等腰直角三角形，再依据轴对称图形且面积为15可得．

【详解】

解：（1）如图所示，平行四边形ABCD 即为所求；

（2）如图2，四边形ABMN 即为所求四边形；

【点睛】

本题主要考查了利用图形的轴对称变换和中心变换进行作图，作图时需要运用平行四边形的性质及勾股定理进行计算．注意：平行四边形是中心对称图形．

21．篮框D 到地面的距离是2.9米．

【解析】

【分析】

延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，解直角三角形即可得到结论．

【详解】

解：延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，

在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝,AB BC

∴AB ＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.22，

∴GM ＝AB ＝2.22，

在Rt △AGF 中，∵∠FAG ＝∠FHE ＝60°，sin ∠FAG ＝,FG AF

∴sin60°＝3,2.52

FG ∴FG ＝2.125，

∴DM ＝FG+GM ﹣DF≈2.9米．

答：篮框D 到地面的距离是2.9米．

【点睛】

考查解直角三角形的应用，构造直角三角形，选择合适的锐角三角函数是解题的关键.

22．（1）a ＝150；（2）购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．；（3）n 2y 43z 147=⎧⎪=⎨⎪=⎩

，

n 11y 39z 106=⎧⎪=⎨⎪=⎩，203565n y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，293124n y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩

.

【解析】

【分析】

（1）根据用600元购进的餐桌数量=用160元购进的餐椅数量列方程求解可得；

（2）设购进的餐桌为x 张，则餐椅为520x +张，由餐桌和餐椅的总数量不超过200张求出x 的取值范围，再设利润为w 元，列出利润关于x 的函数解析式，利用一次函数性质求解可得；

（3）设成套销售n 套，零售桌子y 张，零售椅子z 张，由题意得出140110207950()(4)200n y z n y n z ++=⎧⎨+++=⎩

，由,,n y z 均为整数求解可得.

【详解】

解：（1）根据题意，得：

600160110

a a =- ， 解得：150a =，

经检验150a =符合实际且有意义；

（2）设购进的餐桌为x 张，则餐椅为（5x+20）张，

520200x x ++≤ ， 解得：30x ≤，

设利润为为w 元，则：

115027070(5202)15040(520)22

245600

w x x x x x x x =⨯+⨯++---+=+ 当30x = 时，w 最大值7950=；

（3）设成套销售n 套，零售桌子y 张，零售椅子z 张，

由题意得：140110207950()(4)200n y z n y n z ++=⎧⎨+++=⎩

， 化简得：141127955200n y z n y z ++=⎧⎨++=⎩

， ∴49395n y +＝ ， 则3954844399

n n y --==+， ∴n 2y 43z 147=⎧⎪=⎨⎪=⎩，n 11y 39z 106=⎧⎪=⎨⎪=⎩，203565n y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，293124n y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩

．

23．8

【解析】

【分析】

根据作法得到MN是线段AD的垂直平分线，则AE=DE，AF=DF，所以∠EAD=∠EDA，加上∠BAD=∠CAD，得到∠EDA=∠CAD，则可判断DE∥AC，同理DF∥AE，于是可判断四边形AEDF是平行四边形，加上EA=ED，则可判断四边形AEDF为菱形，所以AE=DE=DF=AF=4，然后利用平行线分线段成比例可计算BE的长．【详解】

解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，

∴AE=DE，AF=DF

，

∴∠EAD=∠EDA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠EDA=∠CAD，

∴DE∥AC，

同理DF∥AE，

∴四边形AEDF是平行四边形，

而EA=ED，

∴四边形AEDF为菱形，

∴AE=DE=DF=AF=4，

∵DE∥AC，

∴BE：AE=BD：CD，即BE：4=6：3，

∴BE=8．

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质和平行线分线段成比例．

24．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)OP=23

3

.

【解析】

(Ⅰ)连接ON ，根据等边对等角即可证得∠1=∠2，∠PNM=∠4，然后根据直角三角形两锐角互余即可证得∠PNO=90°，即可得结论；(Ⅱ)连接ON ，由∠3=30°可得∠1=60°，即可证明△AON 是等边三角形，可得∠5=30°，根据等腰三角形的性质可得∠3=∠4=30°，进而可证明∠PNO=90°，利用∠3的余弦值求出OP 的长即可.

【详解】

(Ⅰ)如图，连接ON ，

∵AB CD ⊥，

∴1390∠∠+=︒.

∵OA ON =，

∴12∠∠=.

∵P PM N =，

∴4PNM ∠∠=.

∵34∠∠=，

∴290PNM ∠∠+=︒，即PN ON ⊥.

又∵ON 是半径，点N 在O 上， ∴PN 是O 的切线.

(Ⅱ)解：如图，∵330∠=︒，

∴160∠=︒，

∵ON=OA ，

∴AON 是等边三角形.

∴530∠=︒.

∵PM PN =，

∴4330∠∠==︒.

∴∠OPN=60°，

∴90PNO ∠=︒. ∴1235303

ON OP cos cos ∠===︒.

【点睛】

本题考查了切线的判定与锐角三角函数定义，证明切线的常用方法是连接圆心和直线与圆的公共点，然后证明垂直．熟练掌握三角函数的定义是解题关键.

25．（1）﹣1，0，1，2，3；（2）

1

1 x

x

-

+

.

【解析】

【分析】

（1）根据解不等式组的方法可以求得该不等式组的解集，从而可以求得整数解；（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．

【详解】

解：（1）

2151

1

32

523(2)

x x

x x

-+

⎧

-≤

⎪

⎨

⎪-<+

⎩

①

②

由不等式①得，

x≥﹣1，

由不等式②得，

x＜4，

∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜4，故其整数解为﹣1，0，1，2，3；

（2）原式＝

2 3422(1) (1)(1)(1)(1)(2)

x x x

x x x x x

⎛⎫

++-

-⋅

⎪

+-+-+⎝⎭

＝

2

2(1) (1)(1)(2)

x x

x x x

+-

⋅

+-+

＝

1

1 x

x

-

+

．

【点睛】

本题考查分式的混合运算、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．