高中数学竞赛典型题目(一)

1.(2004美国数学竞赛)设是整数列,并且他们的最大公因子是1.令S是一个整数集,具有性质:

（1）

（2）,其中可以相同

（3）对于，若，则

证明：S为全体整数的集合。

2．(2004美国数学竞赛)是正实数，证明：

3．(2004加拿大数学竞赛)T为的所有正约数的集合，求集合T的子集S中的最大可能的元素个数。其中S中没有两个元素，一个是另一个的倍数。

4．(2004英国数学竞赛)证明：存在一个整数满足下列条件：

（1）的二进制表达式中恰好有2004个1和2004个0；

（2）2004能整除.

5．(2004英国数学竞赛)在0和1之间，用十进制表示为的实数满足：在表达式中至多有2004个不同的区块形式，，证明：是有理数。

6．(2004亚太地区数学竞赛)求所有由正整数组成的有限非空数集S，满足：如果，则

7．(2004亚太地区数学竞赛)平面上有2004个点，并且无三点共线，S为通过任何两点的直线的集合。证明：点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当S中有奇数条直线分离这两点。

8．(2004亚太地区数学竞赛)证明：是  偶数。

9．(2004亚太地区数学竞赛)是正实数，证明：

10．（2003越南数学竞赛）函数满足，令

，求在区间的上最值。

11．（2003越南数学竞赛）定义，证明：

（1）每个多项式都有三个不同的实根；

（2）令A为的最大实根，B为的最大实根，证明： 

12．（2003越南数学竞赛）令F为所有满足且对任意成立的函数的集合。求最大实数A使得对所有都成立。

13．（2003美国数学竞赛）证明：对于每个，我们可以找到一个位数，他的所有数字都是奇数，并且可以被整除。

14．（2003美国数学竞赛）一个凸多边形的所有边和所有对角线都是有理数，连接所有的对角线将多边形分成若干的小凸边形，证明：所有小多边形的边长都是有理数。

15．（2003巴尔干数学竞赛）一个矩形ABCD的边其中是互质的奇数。矩形被分成了个单位正方形，对角线AC交单位正方形于点，证明： 

16．（2002美国数学竞赛）S为含有2002个元素的集合，并且P是Ｓ所有子集的集合，证明：对于任意，我们可以将Ｐ的个元素染成白色，其余染成黑色，使得Ｐ的任何两个具有相同元素的并集仍有相同的颜色。

17．（2002美国数学竞赛）求所有定义在实数集上的实值函数满足：对于任意实数成立。

18．（2001美国数学竞赛）非负实数满足，证明： 

19．（2002巴尔干数学竞赛）数列

，求所有使是完全平方数。

20．（2002巴尔干数学竞赛）Ｎ为正整数的集合，求所有使得

21．（2009年协作体）求证：存在无穷多个棱长都是整数的长方体，使其满足每个面的面积都是两个数的平方和，并且其体积等于对角线的平方。

22．（200１巴尔干数学竞赛）一个凸五边形的边长是有理数，并且５个角相等，证明：它是正五边形。

23．（200１巴尔干数学竞赛）正实数满足，证明： 

24．（200１加拿大数学竞赛）位于半径为１的圆上，并且不是直径，点列定义如下：是的外心，证明：共线，并求所有的使得是一个整数的５０次幂。

25．（2002年越南数学竞赛）为正整数，证明：方程有唯一的解，且时， 

26．（2001年越南）对于实数定义如下数列：由，确定

（1）若证明：对于任何a，数列有极限;

（2）若证明：对于某些a，数列没有极限.

27．（2000年越南）定义一个正实数序列： ，求所有实数c，使得对所有，数列存在极限.

28．（2002波兰数学竞赛）是正整数，数列，证明：数列中的任两项互质。

29．（2001波兰数学竞赛）数列，一个数如果在数列中出现的次数超过１次，就称它是“重复的”，证明：我们可以选择使数列中有超过２０００个重复值，但没有无穷多个重复值。

30．（2001波兰数学竞赛）都是整数，使得对所有非负整数都是完全平方数，证明： 

31．（2001波兰数学竞赛）数列定义如下：和为素数，为的最大素因子。证明：数列有界.

32．（2001波兰数学竞赛）是一个多项式，次数为奇次，满足对所有成立。证明： 

33．（1978年国际数学竞赛）将集合分成六个不同的集合，即且，求证：在某个中存在一个元素是其他两个元素的和或者一个元素是另一个元素的２倍。

34．（1999年国际数学竞赛）设n是一个固定的正偶数.考虑一块的正方板，它被分成个单位正方格.板上两个不同的正方格，如果有一条公共边，就称它们为相邻的.将板上N个单位正方格作上标记，使得板上的任意正方格（作上标记的或者没有作上标记的）都与至少一个作上标记的正方格相邻.确定N的最小值.

35．一个方格能否被15个方格和6个Ｌ型方格（由3个小方格组成）和3个单位方格覆盖？

36．已知边长为的正方形及其内部的个点，其中无3点共线，证明：必存在3个点，以其为顶点的三角形的面积不大于。

37．已知是循环节为的纯循环小数，是无限小数，其小数点后的第位与数小数点后的第位的数字相同，问：是否是有理数？

38．求所有的正整数使得

39．，证明：除第一项外，中无完全平方数。

40．是实系数多项式，且对于任何整数是完全平方数，证明：，其中是整数。

41．能否找到含有1990个正整数的集合Ｓ，使

（1）S中任意两个数互质；

（2）S中任意个数的和是合数。

42．（1998年越南数学竞赛）是否存在，使得有一个无穷的正数列满足：  .

43．一个整数有限序列称为一个二次序列，如果对于每个；

（1）证明：对于任何两个整数，都存在一个正整数和一个二次序列使；

（2）求满足下列条件的最小正整数，使

44．是正实数，求证：

45．用16个矩形和一个正方形拼成一个正方形，求证：正方形要么在大正方形中心，要么在大正方形边界上。

46．环形公路上有个加油站，每个加油站有汽油若干桶，个站的总存油量够一辆汽车行驶一周，证明：必存在一站，从该站起，汽车逆时针行驶（每到一站装上所有汽油）可回到原站。

47．正实数满足，求证：＋

48．，证明：

49．数列，证明： 

50．求方程的正整数解

51．求所有三次多项式使得对任意的非负实数有

52．，对于整数，若，证明： 

53．，已知，求

54．（波兰）数列由确定，证明：

55．非负实数满足，证明： 

56．圆周上有7个点，将他们两两连线，求这些直线在圆内部交点个数的最小值。

57．是否存在一个能被103整除的正整数，满足

58．正实数满足，证明： 

59．（2009塞尔维亚数学竞赛）求能被整除且数字和是的最小的正整数。

60．对方格染色，使得任意方格中最多有2个方格被染色，问：最多可以将多少个方格染色？

61．空间中有9个点，其中任意4点不共面。在这9个点间连接若干条线段，但图中不存在四面体，问：图中三角形最多多少个？

62．（2009加拿大数学竞赛）由一个纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分成个相等的扇形，且每个圆的个扇形涂成白色的，另个扇形涂成黑色的。将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合。

求证：总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有个扇形位于大圆的同色扇形上。

63．（2009年印度尼西亚数学竞赛）是大于１的奇数，证明： 

．（2009年英国数学竞赛）求定义在实数集上的函数使

65．（2009年英国数学竞赛）将不大于２５００的正整数写成二进制，其中以１开头的数字串所表示的整数的不同个数记为，求证：时，，并确定取等条件。

66．一个圆桌周围有个位置，第一个人任意坐下，第二个人从第一个人逆时针开始数2个位置坐下，即第二个人坐在第一个人旁边，第人从第个人逆时针开始数个位置坐下。如果按照这种坐法，个人恰好坐满个位置，求得所有可能值。

67．（2009加拿大数学竞赛）已知为完全平方数，求所有的有序整数对。

68．求所有的质数使

69．求所有的质数使

70．数列，其中是常数。

（1）求所有使数列收敛；

（2）若，求证： 

71．数列，求所有的正整数，使得数列中的每一项都是完全平方数。

72．求证：数列中有无穷多个完全平方数。

73． 

（1）证明：存在无穷多个使得；

（2）证明：存在无穷多个使得。

74．（2006全国高中数赛）设记， 

证明： 

75．实数列满足，证明： 

76．Ｐ为边长为１的正四面体内一点，证明：Ｐ到各个顶点的距离和至多为3。

77．，证明： 

78．是否一定有

79．证明：是合数。

80．，若正整数满足

，证明： 

81．把一个实数用与它相岭的两个整数之一代替称为“整化”，证明：对于给定的个实数，存在一种整化方式，使得这些数中任意若干个数的和与这些数整化后对应的和之差不大于。

82．（1997美国数学竞赛）求证：存在无穷多个正整数，使得可以用两种不同的方式表示为两个平方数的和。

83．（1996年保加利亚）数列：，，证明：时， 

84．在正三角形三个顶点上各放置一个整数使得：三个数的和是整数，若某个顶点上的数，三个顶点上的数相应变换为，只要有负数，操作就一直进行下去。问：操作能否在有限步之后停止？

85．（2003年德国数学竞赛）数列：，

，证明： 是正整数．

86．（2004年克罗地亚数学竞赛）求使数列：每一项均为负数的所有实数

87．（2003瑞典数学竞赛）求所有实数满足方程

88．（2004俄罗斯数学竞赛）求所有的正整数使得不等式对于任何锐角三角形的三个内角都成立。

．（2004数学竞赛）正实数满足，证明： 

90．（2003克罗地亚数学竞赛）对于大于２的整数，证明： 

91．数列满足，若，求

92．数列定义如下：，证明：对所有有

93．求整数，使且存在，使是整数倍.

94．（2003年德国竞赛）证明：存在无穷多个正整数使

（1），（2），（3）.

95．已知射线现将该射线绕点逆时针转动角，形成一个区域，试证：无论多么小，区域中总存在无穷多个格点满足：

（1）与均为完全平方数；

（2），.

96．（2003保加利亚数学竞赛）求实数，使得等式对于任意的正整数成立。

97．（2002芬兰数学竞赛）设是大于2的整数，是最大的位数，满足其既不是两个数的平方和也不是两个数的平方差。

（1）求；

(2)求的最小值，使的各位数字的平方和是一个完全平方数。

98．设是一个三角形的三边长，且，若，证明： 

99．（2002年芬兰数学竞赛），令，求

100．设正数满足，求    求函数的最小值.

101.正实数满足:,证明:

102.是正实数,证明:的最小值.

103.S是至少有4个元素的实数集,对任意有,求证:对于所有这样的集合S,存在使

104.在中,求的最大值

105.已知正整数满足是的倍数,若是质数,证明: 

106.正实数满足,证明: 

107.在一个的方格表中填上互不相等的个数,并且把每列数值交大的前个数作上标记,在把每行数值交大的前个数作上标记,证明:至少有个数作了两次标记.

108.在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字，则称它“好数码”（如，等），则长度不超过（为正整数）的所有“好数码”有多少个？

109.(2008罗马尼亚数学竞赛)存在无穷个使，存在无穷多个使不能整除．

110.设是一个给定的正整数,是平面上的个点,无三点共线,无四点共圆,设是使的外接圆包含的的个数,记,证明:存在一个仅依赖于的函数,使得S中的点为一个凸多边形的顶点当且仅当

111.定义,设是大于1的10个正整数,且他们两两的最大公约数都不相同但都大于1,求证:存在整数使互不相同.

112.(1)是每项都大于等于2的正整数列，数列满足：，证明：数列收敛，并且它的极限在                                    

(2) 证明：对存在满足条件（1）的数列，其极限是.

113.（1998年印度）设正整数满足，一个正边形有个顶点涂红色，其余涂蓝色，证明：存在两个至少有个顶点的全等多边形满足：一个多边形全是红顶点，另一个多边形全是蓝顶点。

114.考虑每个数正偶数因子的个数，并且相加得到一个数，类似考察每个数的正奇数因子得到另一个数，证明：这两个数的差至少是。

115.(1998年波兰数学竞赛)数列，证明：数列中有无限项是7的倍数。

116.（1995年保加利亚数学竞赛）已知且，证明：（）

117.（2002年俄罗斯数学竞赛）正整数，证明：对一切，都有

118.正整数满足，求最大的常数使得，这里是满足上面方程组得解且

119.（2005亚太数学竞赛）正实数满足，证明： ++

120.（2006罗马尼亚）证明：数列中有无穷多个偶数，也有无穷多个奇数。