3.3幂函数-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修一同步讲义

1、幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

2、常见的5种幂函数的图象

（1）幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

（2）当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

（3）当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

（4）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

题型一 基本定义

例 1 若函数是幂函数且为奇函数，则的值为（）

A．2 ．3 ．4 ．2或4

【详解】

由题意，函数是幂函数，可得，

解得或，

当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意；

当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意，

故选D.

题型二 大小比较

例 2 已知幂函数在上单调递减，若，，，则下列不等关系正确的是（ ）

A． ．

C． D．

【详解】

由于函数为幂函数，且在上单调递减，

则，解得，

，，，

由于指数函数在上为增函数，因此，，故选：B.

题型三 性质应用

例 3 已知幂函数f（x）=的图象与x轴和y轴都无交点．

（1）求f（x）的解析式；

（2）解不等式f（x+1）>f（x–2）

【详解】

（1）因为f（x）是幂函数，所以m3–m+1=1，解得m∈{0，±1}，

又f（x）的图象与x轴和y轴都无交点，

经检验，只有当m=1时符合题意，

所以m=1，此时f（x）=x–4；

（2）f（x）=x–4是偶函数且在（0，+∞）递减，

所以要使f（x+1）>f（x–2）成立，只需|x+1|<|x–2|，解得x<，

又f（x）的定义域为{x|x≠0}，所以不等式的解集为{x|x<，x≠0}．

题型四 定点问题

例 4 已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（ ）

A.   

【答案】B

【详解】

由于为幂函数，则，解得：，

函数，且，当时， ，故 的图像所经过的定点为，

所以，即，解得：,

故答案选B

题型五 恒成立问题

例 5 已知幂函数为偶函数，且在区间内是单调递增函数．

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【详解】

（1）∵幂函数f（x）（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．

∴﹣m2+2m+3＞0，且﹣m2+2m+3为偶数，

解得m＝1，

∴f（x）＝x4．

（2）函数g（x）2x+c＝x2+2x，

g（x）<0，化为＞x2+2x＝（x+1）2-1．

∵g（x）<0对恒成立，

∴＞[（x+1）2-1]max＝3，当且仅当x＝1时取等号．

∴实数c的取值范围是＞3．

1、幂函数在上增函数，则________.

【答案】3

由于函数为幂函数，所以，解得或，当时，函数为，不满足在上递增，故舍去.当时，符合题意.综上所述，的值为.

2、幂函数y=xα中α的取值集合C是{–1，0，，1，2，3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为

A.{–1，0，} ，1，2}

C.{–1，，1，3} ，1，2，3}

【详解】

根据幂函数y=x–1，y=x0，y=，y=x，y=x2，y=x3的图象和解析式可知，当α=–1时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为；当α=时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为；当α=1时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为R；当α=3时，相应幂函数的值域与定义域相同，均为R，故选C．

3、已知α为常数，幂函数f（x）=xα满足，则f（3）=

A.2 

C.

法二：∵ 为常数，幂函数 满足

∴

∴

∴

故选B．

4、函数是幂函数，对任意的，且，满足，若，且，则的值

A.恒大于0 恒小于0 等于0 无法判断

【答案】A

【详解】

由已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）是幂函数，可得m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1，

当m=2时，f（x）=x3；当m=﹣1时，f（x）=x﹣6．

对任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足>0，

函数是单调增函数，∴m=2，f（x）=x3．

又a+b＞0，∴f（a）>f（-b）=-f（b）

则f（a）+f（b）恒大于0．

故选：A．

5、已知幂函数f（x）=xa的图象过点则函数g（x）=（x﹣1）f（x）在区间上的最小值是__．

【答案】﹣1．

【详解】

由幂函数f（x）=xa的图象过点（2，），

可得2α=，解得α=﹣1，

即有f（x）=，

函数g（x）=（x﹣1）f（x）=1﹣在区间[，2]上单调递增，

则g（x）的最小值为g（）=1﹣2=﹣1．

故答案为：﹣1．

6、已知幂函数在上单调递增，函数．

（1）求 的值；

（2）当时，记，的值域分别为集合 ，若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）依题意得：，解得或．

当时，在上单调递减，与题设矛盾，故舍去，；

（2）由（1）知，，当时，、单调递增，

，，，，，

故实数的范围．

7、已知幂函数f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx是单调函数，求m的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【详解】

(1)∵幂函数f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，

∴(2k－1)(3－k)>0，解得∵k∈Z，∴k＝1或k＝2.

当k＝1时，(2k－1)(3－k)＝2，

满足函数f(x)为偶函数，

当k＝2时，(2k－1)(3－k)＝3，

不满足函数f(x)为偶函数， 

∴k＝1，且f(x)＝x2.

(2)∵f(x)＝x2，

∴g(x)＝f(x)－mx＝x2－mx，

函数g(x)的对称轴为直线x＝.

要使函数g(x)当x∈[－1,1]时是单调函数，

则≤－1或≥1，

解得m≤－2或m≥2，

故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

8、已知幂函数f（x）=x（m∈N*）的图象经过点．

（1）试求m的值，并写出该幂函数的解析式；

（2）试求满足f（1+a）>f（3–）的实数a的取值范围．

【详解】

（1）由幂函数的图象经过点，∴，即，

解得或，

∵m∈N*，故，故；

（2）∵在递增，

由，得，解得，

故的取值范围是．