探究绝对值函数最值的求法

2011年陕西省理科高考试题第14题。题目是：植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为             米。该题考查了求绝对值函数的最小值问题，转化为求函数的最小值问题。另外2009年上海高考有一道数学试题；其题目是：某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外）     为发行站，使6个零售点沿街道发行站之同路程的和最短。该题也需要转化为求绝对值函数

的最小值问题。那么如何求这种多个绝对值和的函数的最小值问题呢？对此，笔者运用以下方法进行了探索研究，得出了解决这种问题的基本方法，以此与各位同仁商榷。

一、利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值：由于含绝对值函数可以等价化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。

例1求函数的最小值。

解：由于函数，

作出其图象如右图：由图象可知其当时，

原绝对值函数的最小值为0。

例2求函数的最小值。

解：由于该函数

，作出其

图象如右图所示。则当时，其函数的最

小值为3：

例3、求函数的最小值。

解：由于该函数可化成分段函数，则

=

作出其图象如右图：

结论1：对于函数，当且仅当时，函数有最小值。

证明如下：由于函数

该函数等价于：

，

作出其图象如右图：从图象可知，当时，

该函数的最小值为。

结论2：对于函数，当且仅当时，函数有最小值为。

证明如下：由于函数

         该函数等价于

该函数的图象如右图所示：

由图象中知：当且仅当时该函数的最小值为。

  以上两个结论可推广到任意个绝对值的和的最值问题。结论如下：

 推论1：对于函数

当且仅当时，函数有最小值为

（）。

推论2：对于函数（）当且仅当

       时，函数有最小值（）

二．运用以上推论，达到求函数最值的目的：

下面我们来解以下高考试题：

例1：（2011年陕西省理科高考试题第14题）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为               

分析：该题是一个实际应用题，考查的知识点是绝对值求和的最值问题。先将该题放在数轴上来研究。即将实际问题抽象成数学问题，通过建立数学模型来解决此问题。

解：以一段直线公路为轴，建立如图所示的数轴坐标系。

设领取树苗的坐标为

时，每位同学前来

领取树苗往返所走的

路程和为米，则，根据推论1可知：当且仅当米时，函数有最小值：

=2000（米）

或

+=2000（米）

例2：（2009年上海高考数学试题）某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外）          为发行站，使6个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。

分析：该题是一个实际应用题；考查的知识点也是求绝对值和的最值问题。该题已经将格点放在平面直角坐标系中，由于发行站与各报刊之间只能沿轴与轴两个方向穿越，因此可将该问题转化为求轴与轴两个方向上含绝对值和的最值问题。

解：设发行站格点为P时，使6个零售点沿街道发行站之间路程的和为，则

要求以上含绝对值和的最值问题，可分别求函数

与函数

两个函数的最小值。

根据以上推论1可知当且仅当即时，有最小值

=14；当且仅当时，由于即或时，有最小值为：，所以

的最小值为14+9=23此时，发行站应设在点（3，3）或（3，4 ）处，但是由于题意，发行站不能作为零售点，因此，发行站只能为（3，3）处。

根据以上两种求函数最值的方法：图象法和推论法，它们的本质都来源于去掉绝对值符号；当然对于简单的绝对值函数值域问题（两个或三个绝对值符号），可直接运用图象法比较直观；对于多个含绝对值最值问题，可运用推论来解决，相对简单；当然，对于绝对值求最值问题方法很多，以上方法仅与各位同仁探讨。

陕西省西乡县第二中学：王仕林

2011-12-17