2011年高考全国百所名校精粹重组卷(7)数学试题

数 学 试 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知＝1－ni，其中m、n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝        （　　）

A．1＋2i            B．1－2i           C．2＋i            D．2－i

2．若方程x+y-6+3k=0仅表示一条射线，则实数k的取值范围是                     （    ）

A．（-∞,3）       B．（-∞,0或k=3       C．k=3             D．（- ∞,0）或k=3

3．如果函数f（x）=x2+bx+c对任意的实数x，都有，那么        （    ）

    A．        B．

    C．        D．

4．天津“夏季达沃斯论坛”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为                      （    ）

    A．    B．        C．        D．

5．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是        （    ）

    A．1205秒         B．1200秒          C．1195秒           D．1190秒

6．已知x<，则函数y＝2x＋的最大值是            （　　）

A．2                B．1               C．－1          D．－2

7．已知、、三点不共线，且点满足，则下列结论正确的是    （    ）

A．                   B．

C．                  D．

8．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是    （    ）

A．5              B．6               C．7              D．8

9．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC

与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是              （    ）

    A．直线             B．圆         

    C．双曲线          D．抛物线

10．如图，四边形ABCD是一个边长为1的正方形，△MPN是正方形的一个

内接正三角形，且MN∥AB，若向正方形内部随机投入一个质点，则质

点恰好落在△MPN的概率为                              （　　）

A．                  B．           

C．                D．

11．函数f（x）=其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x）,x∈P}，f（M）={y|y=f（x）,x∈M}.给出下列四个判断：

①若P∩M=，则f（P）∩f（M）=    ②若P∩M≠，则f（P）∩f（M） ≠；

③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R    ④若P∪M≠R，则f（P） ∪f（M）≠R.

其中正确判断有                （    ）

    A．0个             B．1个            C．2个             D．4个

12．已知是偶函数，而是奇函数，且对任意，都有，则的大小关系是        （    ）

    A．         B．          C．          D．

第II卷（非选择题   共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．若不等式的解集是，则________

14．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为  120°，

底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为　　　　　. 

15．下图是求的值的程序框图，则正整数     ．

16．①存在使

②存在区间（a，b）使为减函数而＜0

③在其定义域内为增函数

④既有最大、最小值，又是偶函数

⑤最小正周期为π

以上命题错误的为____________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知．

   （Ⅰ）将化为的形式；

   （Ⅱ）写出的最值及相应的值；

   （Ⅲ）若，且，求．

18．（12分）一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收、抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.

（Ⅰ）求这箱产品被用户接收的概率；

（Ⅱ）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB。

   （1）求证：AB⊥平面PCB；

   （2）求二面角C—PA—B的大小的余弦值。

20．（本小题满分12分）

已知各项都不为零的数列的前n项和是S n，且（N﹡），a1=1.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若数列满足（N﹡），求证：.

21．（12分）

定义在区间（－1，1）上的函数f （x）满足：①对任意的x，y∈（－1，1），都有f （x） + f （y） =; ②当x∈（－1，0），f （x） > 0. 

（1）求证f （x）为奇函数；

（2）试解不等式：f （x） + f （x－1） .

22．已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线

l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.

（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；

（Ⅱ）若，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程. 

参

一、选择题

1．C [解析]：＝＝－i＝1－ni，∴＝1，n＝＝1.

故m＝2，n＝1，则m＋ni＝2＋i，选C.

2．C    [解析]：  令=t, 方程x+y-6+3k=0为t2-6t+3k=0

∵方程x+y-6+3k=0仅表示一条射线

∴t2-6t+3k=0的

3．D  [解析]： 依题意，由知，二次函数的对称轴为x=,因为开口向上，且f（0）=f（1）,f（-2）=f（3）,所以，选择D.

4．A   [解析]: 先从14名志愿者挑选12名参加接待工作，再从12人中依次挑选早、中、晚三班各4人，则开幕式当天不同的排班种数为=

5．C   [解析]：每次闪烁时间5秒，共5×120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×（120-1）=595s．总共就有600+595=1195s．

6．C  [解析]：y＝2x＋＝－[（1－2x）＋]＋1，由x<可得1－2x>0，

根据基本不等式可得（1－2x）＋≥2，当且仅当1－2x＝即x＝0时取等号，则ymax＝－1.正确答案为C.

7．D  [解析]：依题意，由得，所以，选择D

8．C [解析]：第5项二项式系数为且中只有最大，故．

常数项是=7．

9．D  [解析]：∵P到直线直线C1D1的距离就是P到C1的距离,

∴点P到直线BC与点C1的距离相等

故动点P的轨迹所在的曲线是以C1为焦点、以直线BC为准线的抛物线

10．D [解析]：易知质点落在三角形MNP内的概率P＝＝＝.

11．A  [解析]：①②③④错

若P={1}, M={- 1}则f（P）={1},f（M）={1} 则f（P）∩f（M） ≠故①错

若P={1,2}, M={1}则f（P）={1,2},f（M）={1}则f（P）∩f（M） =故②错

若P={非负实数},M={负实数}则f（P）={ 非负实数},f（M）={ 正实数} 则f（P） ∪f（M）≠R.

故③错

若P={非负实数},M={正实数}则f（P）={ 非负实数},f（M）={ 负实数} 则f（P） ∪f（M）=R.

故④错

12．A   [解析]：依题意，图像关于y轴成轴对称，因为是奇函数，所以的对称中心为（0，0），所以的对称中心为（1,0），即f（x）=f（-x）=-f（2+x）=f（x+4），因此函数的周期为4，有，，，因为对任意，都有，所以在[0,1]上为增函数，所以在[0,2]上为增函数，又，所以.

二、填空题

13． 1 ,  [解析]：不等式的解集是

等价于有两个根0,1

14．π  [解析]：因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积V＝×π×12×2＝.

是

15．100   [解析]：本题考查算法语言，属中档题.因为第一次判断执行后，,第二次判断执行后，，而题目要求计算，故n=100. 

16．①②③⑤  [解析]：①当时，故①错

②若为减函数则，此时>0，故②错

③当x分别去时，y都是0，故③错

④∵=

∴既有最大、最小值，又是偶函数，故④对

⑤最小正周期为，故⑤错

三、解答题

17．（本小题满分12分）

    解: （Ⅰ）．

    2分

4分

    （Ⅱ）．当即时5分

    得到最小值6分

    当即时7分

    得到最大值8分

    （Ⅲ）．由得

    ∵，∴，∴ 9分

∴

    10分

    ∴

    12分

18．解：（Ⅰ）设“这箱产品被用户接收”为事件，.      ……3分

即这箱产品被用户接收的概率为．                           ……4分

（Ⅱ）的可能取值为1，2，3．                                    ……5分

=，                                                 

=，                                             

=，                                    ……8分

∴的概率分布列为：

19．解：（1）  …………1分

  …………2分

又 …………3分

   （2）取AP的中点E，连结CE、DE。

  …………4分

由（1）

20．（1）当n=1，由

当时，由，得.

因为，所以.

从而，，N.

故（N），，数列是等差数列；

（2）由（1）得，

因为，

所以，，，

，

即，

，因此有

21．解：（1）解：令x = y = 0，则

        f （0） + f （0） =   ∴ f （0） = 0

        令x∈（－1, 1）  ∴－x∈（－1, 1）

        ∴ f （x） + f （－x） = f （） = f （0） = 0

        ∴ f （－x） =－f （x）

        ∴ f （x） 在（－1，1）上为奇函数…………………4分

   （2）解：令－1< x1 < x2 < 1

        则f （x1） －f （x2） = f （x1） + f （－x2） = 

        ∵x1－x2 < 0，1－x1x2 > 0

        ∴  ∴ > 0

        ∴ f （x1） > f （x2）  ∴ f （x） 在（－1，1）上为减函数

        又f （x） + f （x－1） >

        …………………8分

        ∴ 不等式化为

    或

    ∴ 不等式的解集为…………………12分

22．（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，

所以A、B的坐标分别是.

    所以点M的坐标是（）.    由

即 

证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是

所以      

因为点M在椭圆上，所以  

即

   解得

   （Ⅱ）当时，所以   

由△MF1F2的周长为6，得

所以  椭圆方程为