二阶三点数值微分公式的外推算法

2 二阶三点数值微分公式的外推算法

 下面给出问题的条件：

 设为定义在区间上的函数，给定在节点处的函数值为。设,,为等距节点，即且在的某邻域内任意次可微，在的某邻域内具有连续的4阶导数，即。目前的教材都给出公式：

其中为2次lagrange插值多项式。

1）中间节点的二阶数值微分公式的外推算法

根据已知条件，利用（1）式可得中间一点的二阶数值微分公式

利用Taylor公式，分别将 和 在 内展开称泰勒级数：

将（3）、（4）代入（2）式右端后整理，得

记有

（4）

记，有

对于固定的，显然是与h无关的常数。故上面的误差估计式，即（5）式符合Richardson外推算法，所以有

（6）

由。整理得

记，得

以此类推，一直外推可得递推序列如下

其中的阶段误差为。

即利用Richardson外推算法经k次外推后得到高精度的二阶数值微分公式，将截断误差由原来的减小到

2）左边节点的二阶数值微分公式的外推算法

根据已知条件，利用（1）式可得中间一点的二阶数值微分公式

（7）

利用Taylor公式有:

（8）

其中

（9）

其中

将（8）、（9)代入（7）式右端后整理，得

记。有

记，有

（10）

对于固定的，显然是与无关的常数。故上面的误差估计式，即（10）可利用RIchardson外推法外推一次得

（11）

由2（11）-（10），整理得

记得

。其中，

所以外推后的截断误差为

由推导过程可以看出，截断误差的渐进展开式中多项式各项次数的变化大小，利用RIchardson外推算法外推时收敛阶数提高不明显，所以利用Taylor公式展开时只展开到四阶。

3）右左边节点的二阶数值微分公式的外推算法

根据已知条件，利用（1）式可得中间一点的二阶数值微分公式

利用Taylor公式有:

其中

将(13)、(14)代入（12）式右端后整理，得

记

有

记，有

对于固定的，显然是与无关的常数。故上面的误差估计式，即（10）可利用RIchardson外推法外推一次得

由（2）（16）-（15），整理得

记得

 其中，

所以外推后的截断误差为