导数的概念及运算练习含答案

一、选择题

1．设y＝x2ex，则y′＝

(　　)

A．x2ex＋2x      B．2xex

C．(2x＋x2)ex      D．(x＋x2)ex

解析　y′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.

答案　C

2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于

(　　)

A．－e      B．－1

C．1      D．e

解析　由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋，

∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.

答案　B

3．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是

(　　)

A．x－3y＋3＝0      B．x－2y＋2＝0

C．2x－y＋1＝0      D．3x－y＋1＝0

解析　y′＝cos x＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.

答案　C

4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为

(　　)

A．e  B．－e  C.  D．－

解析　y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为.

答案　C

5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于

(　　)

A．－1      B.

C．－2      D．2

解析　∵y′＝，∴＝－1.

由条件知＝－1，∴a＝－1.

答案　A

二、填空题

6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.

解析　因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝.

答案　

7.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.

解析　由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，

∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.

答案　0

8．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.

解析　由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.

又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，

消去y，得ax2＋ax＋2＝0，

∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.

答案　8

三、解答题

9．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：

(1)斜率最小的切线方程；

(2)切线l的倾斜角α的取值范围．

解　(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，

所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，

所以斜率最小的切线过点，

斜率k＝－1，所以切线方程为x＋y－＝0.

(2)由(1)得k≥－1，

所以tan α≥－1，所以α∈∪.

10．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．

(1)求P0的坐标；

(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．

解　(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，

由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.

当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.

又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．

(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－.∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.

11．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是

(　　)

A．y＝sin x      B．y＝ln x

C．y＝ex      D．y＝x3

解析　若y＝f(x)的图像上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，

使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.

对于A：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；

对于B：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；

对于C：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；

对于D：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.

答案　A

12．(2017·合肥模拟)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为

(　　)

A．1  B.  C.  D.

解析　点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，

点P到直线y＝x－2的距离最小，

直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，

得y′＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，

故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，

点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于，

∴点P到直线y＝x－2的最小距离为.

答案　D

13．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

解析　∵f(x)＝x2－ax＋ln x，

∴f′(x)＝x－a＋(x>0)．

∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，

即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)．

答案　[2，＋∞)

14．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．

解　根据题意有f′(x)＝1＋，g′(x)＝－.

曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，

曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，

所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.

曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．

所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.

曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，

所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，

所以，两条切线不是同一条直线.