高三一轮复习《不等式》

    不等式是高中数学重要的知识，考试中涉及的考点也很多，从江苏目前的高中数学要求来说，除了不等式证明以外，其他形式的考察还是很多的。就内容来说，这部分分为高一难度和高考难度；从题型上来说，包含：线性规划，基本不等式，解不等式，不等式恒（能）成立，还有一些转化为不等式问题的题型。

    高一难度的不等式问题主要是线性规划，基本不等式的常规考察，解不等式（包含含参形式），涉及常规函数的不等式恒（能）成立问题。

1、线性规划

（1）掌握好线性规划，首先需要知道，线性规划的考题特点：已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程，问题一般是求解一个含有两个变量式子的范围、最值。所以，有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式，将所求解问题转化为线性规划问题。

比如：已知等差数列，，则的取值范围是              

（2）线性规划性的常规考题相对简单一些，从问题来说有三个常见形式：（1）截距型：；（2）距离型：；（3）斜率型：；如果直接考这几个类型倒还好。

比如：已知满足条件，则的最大值是        ，的最小值是           ，的取值范围是          。

（3）有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。

比如：

① 已知满足不等式组,则所在区域的面积是        

② 已知满足条件，使得取得最大值的点有无数个，则实数的值是      

③ 已知满足条件，且在点（1,0）处取得最大值，则实数的范围是      

（4）稍微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出。

比如：已知满足条件，则的取值范围是            

2、解不等式

解不等式分为含参和不含参之分，普通解不等式倒还好，不管是解一元一次不等式，一元二次不等式，分数不等式（注意分母不为零），指数、对数不等式，还是需要用“换元”解决的一些复合不等式，都还不算难；有时候可以用函数单调性解不等式，但是需要考虑定义域，这个需要在解题的时候能够想到，一般会条件这么给“已知或者能求出单调性，知道函数的零点”。

另外需要注意的是，其实解不等式和解方程的过程是差不多的，所以不等式的解集中式“边界”和不等

式对应的根式有关系的，比如：已知不等式的解是，则不等式

的解是________．

解含参不等式是相对难一点的，不过过了高一后，真正到后面的函数学习中，又不多见这种情况，只是作为不等式的内容之一，也要好好的学一学，理清楚分类讨论的思路和步骤。

而含参不等式中，最为重要的就是一元二次不等式的分类讨论，因为在高二所学的导数那部分知识中会涉及这个内容。关于这个分类讨论，条理性要注意的：首先考虑是否是一元二次不等式，其次考虑对应的一元二次方程根的情况（是否有根，有几个根，大小怎么样，是否在定义域中），最后根据题目变量x的取值范围去得出不等式的解集。

例1、解不等式    

分析： 首先因式分解，二次函数的两根为，解应该是两根之间，但是两根大小关系不确定，这就需要进行分情况讨论，

1°，解不存在；2°，即或，；3°，即或，

例2、解不等式：      

分析：因式分解，考虑到影响因素，到底解是在两根之间还是两根之外是由二次项系数决定的，所以的取值是关键，联系到二次函数，两根为

1°，不等式变为，解为，

2°，，，解为，

3°，和的大小关系不一定，这个时候就需要进行二者的讨论，

   当>时，即，或，当=时，即，，当时，或

例3、解不等式 

分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：

⑴ 当m<－1时，⊿=4（3－m）>0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵ 当－10, 图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶ 当m=3时，⊿=4（3－m）=0，图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程的根。

⑷ 当m>3时，⊿=4（3－m）<0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为。

3、不等式恒成立、不等式有解常见方法

1) 恒成立问题

（1）若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

（2）若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

（3）特别的，若上述的取不到，则最后的参数范围需要加上“=”.

（4）有一些可以转化为恒成立问题的，比如：“函数的图像横在的图像的上方恒成立”。

2) 能成立问题（也就是有解问题）

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.

3) 恰成立问题（相对少见）

若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；

若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.

以上题型和方法在函数解答题的材料中有涉及，这里就不具体展开了。

4、基本不等式

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式:（1）若，则     （2）若，则

2、基本不等式一般形式：若，则

3、基本不等式的两个重要变形：（1）若，则 （2）若，则

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；

      当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用：若，则

特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”

二、题型分析

题型：利用不等式求最值 （一）（凑项） 

1、已知，求函数的最小值；

2、已知，求函数的最大值；

题型：巧用“1”的代换求最值问题或者两者相乘

1、已知，求的最小值；

法一：                                        法二：

变式：已知，求的最小值；

变式：已知，求的最小值；

变式：已知，求的最小值；

变式：已知，求的最小值；

变式：已知，求的最小值；

变式：已知，求的最小值；

变式：已知且恒成立，如果，求的最小值；（参考：4）

（提示：分离参数，换元法）

变式：已知，求的最小值；

变式：已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，求的最小值；

题型：分离换元法求最值（了解）

1、求函数的值域；

变式：求函数的最小值；

2、求函数的最大值；（提示：换元法）

变式：求函数的最大值；

题型：基本不等式的综合应用

1、已知，求的最小值

2、已知，求的最小值；

3、已知，，求最小值；

变式1：已知，满足，求范围；

变式2：已知，，求最大值；（提示：通分或三角换元）

变式3：已知，，求最大值；

4、设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为            

（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）

变式：设是正数，满足，求的最小值；

变式：设是正数，满足，求的最小值；