数学毕业论文级数敛散性的判别方法

  2012  届学士学位论文                                              

级数敛散性的判别方法

系       别:        数学系        

专    业:     数学与应用数学    

学       号:       ***********     

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指 导 教 师:********************

指导教师职称:         讲 师        

2012年  5 月  10 日

级数敛散性的判别方法

赵 高

(淮北师范大学信息学院，淮北，235000)

摘 要

级数有很多重要的性质，其中敛散性是级数的一个非常重要的性质，敛散性的判别方法也一直是人们研究的热点.通过判别级数的敛散性进一步了解级数的性质.本文探论了正项级数、交错级数以及任意项级数敛散性的判别方法，正项级数、交错级数、任意项级数通项的多变性,决定了判别正项级数、交错级数、任意项级数敛散性的方法会有多种，主要有达朗贝尔判别法、柯西判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法.当然由于通项的特殊性也会有特殊的方法判别.本文通过归纳一些判别正项级数与交错级数敛散性的方法,让人们在学习过程中对级数敛散性的判别能够很好的把握，并掌握这些判别法成立的条件.

关键词：正项级数、交错级数、敛散性、判别法.

The Convergence of the Series of Discriminant Method

Zhao Gao

College of Information Technology Huaibei Normal University, Huaibei,235000

Abstract

The series has a lot of important properties, which is the series convergence and divergence of a very important properties, criteria for convergence and divergence has been the focus of study. Through judging the convergence of series to further understand the series nature. This article of the series of positive terms, staggered series as well as any series convergence and divergence sexual discriminant method, a series of positive terms, staggered series, series of any general variability, determines the identification of series of positive terms, staggered series, any of the convergence of the series will have a variety of methods, mainly the d'Alembert discriminant method, Cauchy method, Leibniz method, di Like dilichlet discriminance. Of course due to the particularity of the general will also have the special methods of discriminant. This paper summarized some criteria for positive term series and the convergence of alternate series method, let people in the learning process of convergence of series of discriminant can be a very good grasp of, and grasp the discriminant conditions.

Key words:   Series of positive terms，Alternating series，Convergence and divergence，Discriminant analysis method

引言    1

一、级数及其敛散性的有关概念    1

二、正项级数敛散性的判别方法    2

1、比式判别法（达朗贝尔判别法）    2

2、根式判别法（柯西判别法）    3

3、拉贝判别法    4

4、高斯判别法    5

5、对数判别法    5

6、隔项比值判别法    5

7、运用微分中值定理判别级数敛散性    6

8、利用数列判别级数的敛散性    6

9、运用等价无穷小替换判别级数的敛散性    7

三、交错级数敛散性的判别方法    8

1、利用级数敛散性定义判定    8

2、莱布尼茨判别法    9

3、极限判别法    10

4、添加括号法    11

5、通项变形法    12

6、微分形式判别法    13

7、比值判别法或根值判别法    14

四、任意项级数敛散性判别法    15

总 结    16

参考文献    16

致  谢    17

引言

级数是数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及数值计算的一种工具.对于一个级数，我们首先要讨论其敛散性，然后才讨论其求和问题.本文就级数的敛散性的判别方法作了一些探讨.正项级数和交错级数是整个级数家族中比较重要和特殊的.对其敛散性的判别方法也有别于一般的级数，除适用于一般级数的敛散性判别法外，还有许多专门针对正项级数和交错级数敛散性的判别方法，常见的如达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法、莱布尼茨判别法、狄利克雷判别法、微分形式判别法等.其实正项级数敛散性的判别方法远不止这些，下面就介绍几种级数敛散性的判别法.

一、级数及其敛散性的有关概念

定义1 给定数列{}：

,, ,

则式子= 称为无穷级数，简称为级数.

定义2 如果级数满足0（=1，2，）则称为正项级数.

如果级数是正负项交错出现的，即，

或(0，=1,2) 则称为交错级数.

由定义，级数表示无穷多个数的和，但不能理解为无穷多个数逐次求和.事实上，这样也做不到.利用数列极限可以表示级数的和，同时给出级数敛散性的定义.

定义3 级数前项之和记为=，称为级数的第次部分和. 当分别取1,2, ,,时，得到级数的部分和数列{}：如果当时，的极限存在，即时，则称级数是收敛的，且称为级数的和，记为=;如果当时，的极限不存在, 即不存在，则称级数是发散的.由定义，只有收敛的级数才有和的问题，发散的级数没有和，或者说发散级数的和不存在.所以有必要研究级数的敛散性.

由于正项级数是各项的符号均为正号的级数，它是数项级数中最简单也是最有代表意义的数项级数. 所以它收敛的最基本的判别方法也是从级数的判敛性质中引出，因此本文先讨论正项级数的敛散性. 有了着一方法来判断某些简单的正项级数的敛散性后，以它作为参照，可以判断另外一些稍微复杂的正项级数的敛散性.下面先来介绍正项级数敛散性的判别方法.

二、正项级数敛散性的判别方法

1、比式判别法（达朗贝尔判别法）

     定理 设有正项级数，如果，则

（1） 当0<1时，级数收敛；

（2） 当1<+时，级数发散；

（3） 当=1时，此法失效.

例1  判断正项级数的敛散性.

解：<1

所以满足定理1中的（1），故正项级数收敛.

例2  判别正项级数的敛散性.

解：由   

可知满足定理1中的（1），所以正项级数收敛.

像正项级数 （x>0）、等都可采用此法判断.

2、根式判别法（柯西判别法）

定理 设有正项级数，如果，则

（1）当0<1时，级数收敛；

（2）当1<+时，级数发散；

（3）当=1时，此法失效.

例3  研究级数的敛散性.

解：由于     

所以级数是收敛的.

注：级数、 、（>0,>0）等都可采用此法判

断.

比式判别法与根式判别法都是建立在正项级数比较判别法基础上的，所用的比较级数是收敛速度相对比较快的等比级数.这两种方法虽然更方便，但是它们也只能用于判别那些比等比级数收敛速度更快的级数，而对于那一类比等比级数收敛速度更缓慢的级数，这两种判别法就为力了. 

这两种判别方法是我们用得比较多，因为它们用起来很方便.但是，对于比值判别法与根值判别法存在两点不足：

1) 当时，判别法失效，既有收敛的，也有发散的级.

2) 判别法可能由于  根本不存在而失效.

3、拉贝判别法

     定理 （拉贝判别法） 设>0 （1,2,3）

   如果存在r>1使得时有，那么级数收敛；

   如果对充分大的都有，那么级数发散.

    定理 （拉贝判别法的极限形式） 设>0 (=1，2，)，满足

，那么

（1）若>1, 则级数收敛；

（2）若<1，则级数发散.

注：拉贝判别法在判别范围上比比式判别法更加广泛些，在使用时会方便些.

4、高斯判别法

     定理 设正项数列满足 (),那么（1）当>1时级数收敛；

（2）当<1时级数发散.

注：高斯判别法是最强的，凡是能用比式判别法、根式判别法、拉贝判别法判别敛散性的正项级数，均可采用高斯判别法来判定.

5、对数判别法

定理 设>0 (=1,2,), 如果满足，则

（1）  当>1时，级数收敛；

（2）  当<1时，级数发散.

6、隔项比值判别法

    定理 设正项级数的项是递减的，如果，则

（1）  当<时，级数收敛；

（2）  当>时，级数发散.

7、运用微分中值定理判别级数敛散性

    定理 设在（0，1）内可导，且导函数有界，则级数

 绝对收敛.

    例4 试判断级数的敛散性.

    解：易知在（0，1）内可导，同时的导函数有界，由微分

中值定理可以得出绝对收敛.

8、利用数列判别级数的敛散性

定理 若数列有界，则级数当时绝对收敛.

    推论1 若数列 （）有上界，则正项级数 当时收敛.

    推论2 若数列 （）有界，则正项级数 当时收敛.

    定理 当时，正项级数发散.

    定理 若数列 （）收敛于,则正项级数 当时收敛.

定理 设为一数列，且，若，则：

（1）当  时正项级数收敛；

（2）当  时正项级数发散；

（3）当  时正项级数也发散.

9、运用等价无穷小替换判别级数的敛散性

    定理 设和均为正项级数，且当时，为等价无穷小量，则和的敛散性保持一致.

    例5   证明：  若极限 ，则级数收敛.

    证： 因为， 即当时，等价，

而     ，

所以    ，   又由于收敛，

故级数收敛.

    例6 判别级数的敛散性.

解：因为时，  而

当时，该级数收敛；当时，该级数发散.

故  当时，收敛；

当时，发散.

正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但每种判别方法都有它的优势和劣势，没有一种万能的判别方法.我们不能单单只知道这个定理的公式，而应真正去认识这个定理，了解这个定理的特点和它的使用局限.同时还要了解在哪些情况下用这个定理可能会相对方便简单，这就有很好的应用意义，给解题带来很大的方便.对于一种判别方法，它可能在处理此问题时好用，而在处理彼问题时却失效.例如，用达朗贝尔判别方法判别正项级数的收敛性就为力了，但用拉贝判别法却可以非常方便地解决这一问题.因此，在判别正项级数敛散性问题时，不妨多尝试几种方法，一种不行就换另一种，总之，应用最简单的方法去解决级数敛散性问题. 

三、交错级数敛散性的判别方法

1、利用级数敛散性定义判定

例7  判别级数的敛散性.

    分析  此为交错级数，但不满足，设为级数的部分和，先证单调减少而有下界； =括号内各项均小于零，因而单调减少，又因

= 有下界，

故存在，设=,又

因此，=,从而=,故原级数收敛.

   例8  判别下列级数的敛散性.

     分析

而级数发散，故=，故原级数发散.

注：该方法是最原始的也是最基本的方法，应用起来思路比较简单.

2、莱布尼茨判别法

   定理 若交错级数满足下述两个条件：

  （1） ；

  （2） 数列单调递减，

则该交错级数收敛.

   例9 判别下列级数的敛散性.

（1）           （2） 

   解：（1）、此级数为交错级数，，则；

且，即：数列单调递减.

因此，交错级数收敛.

（2）、此级数为交错级数，，；显然数列单

调递减.

因此，交错级数收敛.

注：例中两个交错级数虽然都收敛，但是，它们通项的绝对值所组成的级数，即正项级数发散，而正项级数收敛.因此，级数条件收敛，而级数绝对收敛.

虽然莱布尼茨判别法可以判别交错级数的敛散性，但是在具体应用过程中也存在一些问题：①判别法中的两个条件难于验证;②在级数收敛时,不能直接判别级数是绝对收敛还是条件收敛;③该判别法只给出了级数什么时候收敛,没有给出级数发散的条件.因此我们需要学习其他的判别法，以下介绍了其他的判别法.

3、极限判别法

   定理 若交错级数满足：，则

(1)当时，原交错级数收敛，

特别地，当时，原交错级数绝对收敛，

         当时，原交错级数条件收敛；

(2)当时，原交错级数发散.

注：由于该定理无法给出和的情况，所以要具体情况具体讨论，不过该定理明确了交错级数何时绝对收敛，何时条件收敛，具有十分重要的意义.一般我们遇到以下情况时用该定理非常方便：①通项含有连乘积；②通项含有阶乘项或次方的乘积等.

4、添加括号法

定理设交错级数的通项趋于0，若将级数不改变次序地任意添加一些括号，且诸括号里所含最大项数有限，则构成的新级数与原级数同敛散.

利用以上定理，我们在判别交错级数的敛散性时，首先只需看一般项是否趋于0，然后再随意添加括号，看看由此得到的新级数是否收敛，即知原级数是否收敛了.

     例10 求()的敛散性.

     分析  所给级数的通项趋于0，将原级数加括号后成为如下级数

由于=1，又级数发散，从而加括号后的级数发散，故所给级数发散.

   例11 求级数的敛散性.

   分析  将原级数加括号后成为如下级数

由于，又级数收敛，从而加括号的级数收敛，故所给级数收敛.

注：其实添加括号法就是将有相同规律的项用括号括起来组成一个新项，进而组成一个新的级数，再用其它的判别法判别其敛散性.

5、通项变形法

将级数的通项用适当的方法变形，使之分解为几个级数，讨论各级数的敛散性，再利用收敛级数的运算性质来判别交错级数的敛散性，这是一种较常用的行之有效的方法.

   例12判别级数的敛散性.

分析  将通项==

因为收敛，发散，故原级数发散.

   例13判别级数的敛散性.

   分析  利用泰勒公式对级数的通项进行展开，由得到=

故

上式右边各个级数均收敛，故原级数收敛.

注：通项变形法就是将级数的通项化简一下，然后再判别其敛散性.

6、微分形式判别法

 定理  对于交错级数           ①

设当时，为正的连续可导函数，令，

若 

（1）当(包括+)时，级数①收敛，其中在时，级数①条件收敛，而当(包括+)时，级数①绝对收敛；

（2）当(包括-)时,级数①发散.

    例14 判别级数的敛散性.

解：令，  ，则

   ，

由定理17可知: 

当时，级数收敛；

当时，级数条件收敛,

当时，级数绝对收敛；当时，级数发散，

所以原级数条件收敛.

    例15 判别级数的敛散性.

解： 令 ，，则

，

所以所给级数收敛且绝对收敛.

注：微分形式判别法是通过对通项求导的方法来判别交错级数的敛散性.它应用起来方便有效,且作为交错级数的一个判别法所起的作用是莱布尼兹判别法所不能替代的.

7、比值判别法或根值判别法

   定理 比值判别法：时，发散，当r<1时，收敛.

根值判别法：当时，发散，当r<1时，收敛.

   例16 判别级数的敛散性.

   解：  由    =>1

故由比值判别法可知交错级数发散.

例17 判别级数的敛散性.

分析   

又，从而

， ，

故由根值判别法知原级数收敛.

注：交错级数敛散性的判别方法有很多，但是每种方法都有它的优点和劣点，没有一种万能的判别方法.所以我们在运用时要灵活变通，使用最恰当的方法，

这样会让我们做起题来得心应手.

四、任意项级数敛散性判别法

设任意项级数

    ①

（其中  =1，2，3） 令

定理  任意项级数①收敛交错级数收敛.

比值审敛法解决的是正项级数的敛散问题.对任意项级数比值法也为力.但是任意项级数的敛散性，依赖于,即正项级数的敛散性.对此，有两种情况:

第一，若收敛，则绝对收敛；

第二，若发散.则可能收敛，也可能发散，即对后者的敛散性没有定论.通过研究，我们发现，若的发散性是由比值法判断而得，则一定也发散，故可以得出以下定理.

定理  若比值审敛法判断发散，则也发散.

总 结

级数敛散性的判别方法有多种，本文主要讨论了正项级数与交错级数的判别方法，判别方法有很多种，但是每种判别方法都有其优点与缺点，没有一种万能的判别方法，这需要我们在做题过程中自己寻找合适的方法来做题，只有这样才能使得我们能够迅速解决问题. 有些通项特殊的级数我们可以用一些特殊的方法判别，这样会使的题目简单化.

参考文献：

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[2]毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳（下册）[M]. 武汉：华中科技大学出版社.

[3]同济大学数学教研室.高等数学（下）[M].5版.北京：高等教育出版社，2OO7.

[4]邹应.数学分析（下册）[M].高等教育出版社，1995.

[5]刘玉琏，傅沛二.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1981.

[6]刘晓玲，张艳霞.交错级数收敛性的一个判别法[J].高等数学研究.2007, 5：51-53.

[7]陈文灯等.数学复习指南（经济类）[M]. 北京：世界图书出版公司，1999.

[8]孙清华等.数学分析内容、方法与技巧（下）[M]. 武汉：华中科技大学出版社, 2003.

[9]徐政先.任意项级数敛散性判别法[J].青岛教育学院学报.1993, 12: 68-70.

致  谢

  本研究及学位论文是在我的导师陈冬君老师的亲切关怀和悉心指导下完成的.他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我.陈冬君老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向陈冬君老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.我还要感谢在一起愉快的度过毕业论文小组的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成.