一元一次不等式复习讲义

一、知识梳理

1.知识结构图

二、知识点回顾

用不等号连接起来的式子叫做不等式． 

常见的不等号有五种：  “≠”、  “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”．

2．不等式的解与解集

不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．

不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。

说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．

3．不等式的基本性质（重点）

(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果，那么

(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果，那么（或）

(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果那么（或）

说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：

①若a－b＞0，则a大于b ；②若a－b＜0，则a小于b ；③若a－b≥0，则a不小于b ；④若a－b≤0，则a不大于b ；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号。

任意两个实数a、b的大小关系：①a-b>Oa>b；②a-b=Oa=b；③a-b不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c。

4．一元一次不等式（重点）

只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．   

注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)．

5．解一元一次不等式的一般步骤（重难点） 

(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；  (4)合并同类项；(5)化系数为1．    

说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．

例： 

6．一元一次不等式组

含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 

说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．   

7．一元一次不等式组的解集

 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．

一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．

8. 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b）（重难点）

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；

(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．

三、常见题型归纳和经典例题讲解

1.常见题型分类(加粗体例题需要作答)

定义类

1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（      ）

A.            B.              C.            D. 

2.若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为     .

用不等式表示

a与6的和小于5；                       x与2的差小于－1；

数轴题

1.a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空：

a_____b;        |a|_____|b|;           a+b_______0

a－b_____0;     a+b______a－b;         ab____ __a.

2.已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（     ）

  A、ab＞0       B、      C、a－b＞0      D、a＋b＞0

  同等变换  

1.与2x<6不同解的不等式是（      ）

A.2x+1<7                B.4x<12             C.－4x>－12           D.－2x<－6

  借助数轴解不等式(组):   (这类试题在中考中很多见)

 1.（2010湖北随州）解不等式组

 2.（2010福建宁德）解不等式≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．

3.（2006年绵阳市）

此类试题易错知识辨析

（1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.

       如不等式（或）（）的形式的解集：

        当时，（或）

        当时，（或）

        当时，（或）

4 若不等式(a＋1)x＞a＋1的解集是x＜1，则a必满足(    )．

(A)a＜0    (B)a＞－1    (C)a＜－1    (D)a＜1

5 若m＞5，试用m表示出不等式(5－m)x＞1－m的解集______．

6.如果不等式(m－2)x>2－m的解集是x<－1,则有（      ）

A.m>2                    B.m<2               C.m=2                D.m≠2

7.如果不等式(a－3)x＜b的解集是x＜，那么a的取值范围是________.

  条件的解 

1.不等式3(x－2)≤x+4的非负整数解有几个.（      ）

A.4                    B.5                 C.6                   D.无数个

2.不等式4x－的最大的整数解为（      ）

A.1                    B.0                 C.－1               D.不存在

含绝对值不等式 

1.不等式|x|<的整数解是________.不等式|x|<1的解集是________.

 分类讨论 

1.已知ax＜2a(a≠0)是关于x的不等式，那么它的解集是(    )

A.x＜2       B.x＞－2       C.当a＞0时，x＜2     D.当a＞0时，x＜2;当a＜0时，

x＞2

 不等式的性质及应用 

1.若x＋y＞x－y，y－x＞y，那么（1）x＋y＞0，（2）y－x＜0，（3）xy≤0,（4）＜0中，正确结论的序号为________。

2（2010四川乐山）下列不等式变形正确的是（     ）

(A)由＞，得＜       

(B)由＞，得＜     

(C)由＞，得＞                

(D)由＞，得＞

 依据题意列不等式 

1.当x_______时,代数式2x－5的值不大于0.

2.当x________时，代数式的值是非负数.

3.当代数式－3x的值大于10时，x的取值范围是________.

4.已知x的与3的差小于x的－与－6的和，根据这个条件列出不等式.你能估计出它的解集吗？

 已知解集求范围 

1.关于x的方程5－a(1－x)＝8x－(3－a)x的解是负数，则a的取值范围是(       )

A、a＜－4               B、a＞5              C、a＞－5                D、a＜－5

2.已知－4是不等式ax＞9的解集中的一个值，试求a的取值范围.

3.已知不等式－1＞x与ax－6＞5x同解，试求a的值.

4.如果关于x的不等式－k－x＋6＞0的正整数解为1，2，3，正整数k应取怎样的值？

5.不等式a(x－1)>x+1－2a的解集是x<－1,请确定a是怎样的值.

6．已知关于x，y的方程组的解满足x＞y，求p的取值范围．

7.若关于x的方程3x+2m=2的解是正数，则m的取值范围是（      ）

A.m>1                    B.m<1               C.m≥1                D.m≤1

 字母不等式 

1已知关于的不等式2＜的解集为＜，则的取值范围是（      ）．

A．＞0   B.＞1   C.＜0   D.＜1

2（2010山东泰安）若关于的不等式的整数解共有4个，则的取值范围是（     ）

A．        B．        C．        D． 

3关于x的方程的解为正实数，则k的取值范围是                ．

4已知关于 x，y 的方程组的解满足x＞y，求p的取值．

5若不等式组有解，则k的取值范围是(    )．

(A)k＜2    (B)k≥2    (C)k＜1    (D)1≤k＜2

6等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是(    )．

(A)m≤2    (B)m≥2    (C)m≤1    (D)m≥1

7知(x－2)2＋｜2x－3y－a｜＝0，y是正数，则a的取值范围是______．

8 k满足______时，方程组中的x大于1，y小于1．

9 若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m2－1)x＞n．

10已知方程组的解满足x＋y＜0，求m的取值范围．

强化练习题

1.当时，求关于x的不等式的解集．

2.当k取何值时，方程组的解x，y都是负数．

3.已知中的x，y满足0＜y－x＜1，求k的取值范围．

4.已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值．

5.关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值范围．

6.k取哪些整数时，关于x的方程5x＋4＝16k－x的根大于2且小于10?

7.已知关于x，y的方程组的解为正数，求m的取值范围．

8.若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．

9.（2009年山东烟台）如果不等式组的解集是，那么的值为        ．

10.（2009年湖北恩施）如果一元一次不等式组的解集为．则的取值范围是(　)

A．          B．         C．         D．

11.（2009湖北荆门）若不等式组有解，则a的取值范围是（    ）

A．           B．         C．         D．

12.（2009年湖北孝感）关于x的不等式组的解集是，则m =       ．

13.（2009年湖南长沙）已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数的取值范围是        ．