三角形的中位线知识点及典型例题

【例1】已知：是的中线，是的中线，且，求证：．

【例2】在中，、分别为、边上的高，，求证：．

【例3】如右下图，在中，若，，为边的中点．求证：．

【例4】已知四边形的对角线，、分别是、的中点，连结分别交、于、，求证：．

【例5】已知：是凸四边形，且．分别是的中点，交于；交于，和交于点．求证：．

【例6】在中，，，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且．

【例7】如图，在五边形中，，，为的中点．求证：．

【例8】如图所示，是内的一点，，过作于，于，为的中点，求证．

【例9】如图所示，在中，为的中点，分别延长、到点、，使．过、分别作直线、的垂线，相交于点，设线段、的中点分别为、．求证：

（1）；

（2）．

【例10】如图所示，已知和都是直角三角形，且，连接，设为的中点．

（1）求证．

（2）设，固定Rt，让Rt移至图示位置，此时是否成立？请证明你的结论．

【例11】已知：在中，分别以、为斜边作等腰直角三角形，和，是边的中点．求证：

【例12】已知，如图四边形中，，、分别是和的中点，、、的延长线分别交于、两点．求证：．

【例13】已知：在中，，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结．过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、．

（1）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论(不需证明)．

（2）当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

【例14】如图，，，且，，为的中点，．证明：．

【例15】如左下图，在梯形中，，、分别是、中点．求证：，且．

【例16】等腰梯形中，，，与交于点，，、、分别是、、的中点，求证：是正三角形．

【例17】是的中线，是的中点，的延长线交于．求证：．

【例18】在图1至图3中，点是线段的中点，点是线段的中点．四边形和都是正方形．的中点是．

（1）如图1，点在的延长线上，点与点重合时，点与点重合，求证：，；

（2）将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：是等腰直角三角形；

（3）将图2中的缩短到图3的情况，还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）

【例19】如图，已知，线段、分别平分、、，，、为垂足，求证：．

【例20】已知中，，边上的高线与的两条内角平分线、分别交于、两点、的中点分别为、．求证：．