第2章《有理数的运算》知识点及典型例题

知识要点总结  

先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算

除以一个数（不等于0），等于乘以这个数的倒数

0除以任何一个不等于0的数都得零

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除

任何数与零相乘，积为零

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘

互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数

异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值

同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加

有理数的混合运算

加法

有理数的运算

乘法法则

倒数

乘法

交换律、结合律、分配律

多个不为零的有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正

若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数；0没有倒数

乘法运算律

除法法则

除法与乘法间的关系

除法

考点一、有理数的加减乘除乘方运算

考点二、运用运算律进行简便运算

考点三、数轴与绝对值的综合

考点四、带绝对值的分类讨论

考点五、求汽车来回运动最后停在何处的问题

考点六、科学计数法及近似数的综合

考点七、给你4个数，计算24点

考点八、基准量是否发生变化的应用题

考点九、乘方在生活中的实际应用

考点详解

考点一、有理数的加减乘除乘方运算

1、 (-3)3÷2×(-)2 – 4-23×（-）   2、 -32+(-2)3 –(0.1)2×(-10)3

3、 -0.5-（-3）+2.75+（-7）          4、（-23）-（-5）+（-）-（-12）

5、如果，求的值．

考点二、运用运算律进行简便运算

1、-(-5.6)+10.2-8.6+(-4.2)                   2、(-+-+)×(-12)

3、()×36-6×1.43+3.93×6     4、49×(-5)

考点三、与数轴相关的计算或判断

1、已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，下列错误的是（    ）

A、b+c<0            B、-a+b+c<0                    c     b   0    a

C、|a+b|<|a+c|    D、|a+b|>|a+c|

2、a，b在数轴上的位置如图所示，则a，b，a+b，a-b中，负数的个数是（　　）

A．1个     B．2个    C．3个    D．4个

3、若a．b．c在数轴上位置如图所示，则必有（　　）

A．abc＞0     B．ab-ac＞0    C．（a+b）c＞0     D．（a-c）b＞0

4、有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则在a+b，a-b，ab，，这五个数中，正数的个数是（　　）

A．2          B．3        C．4           D．5

5、有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示，则（     ）

A．a + b＜0    B．a + b＞0    C．a－b = 0    D．a－b＞0

6、a、b在数轴上的位置如图，化简＝      ，＝       ，＝       。

考点四、带绝对值的分类讨论

1、若，则a和b的关系是                 

2、；。

3、已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，x的绝对值是1，则         。

4、已知ab>0，试求的值。

考点五、求汽车来回运动最后停在何处的问题

1、体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师。如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：＋15，－4，＋13，―10，―12，＋3,―13,―17。

（1）当最后一名教师到达目的地时，小王距离接送第一位教师的出发地什么方向，多少千米？

（2）若汽车耗油量为0.43升1千米，这天下午汽车共耗油多少升？

考点六、科学计数法及近似数的综合

1、近似数1.2×109精确到        位；近似数5.10万精确到        位；近似0.0074精确到        位

2、如果一个近似数是1.60,则它的精确值x的取值范围是（    ）

A 1.5943、我国2013年参加高考报名的总人数约为1230万人，则该人数可用科学记数法表示为          人。

4、2.75×109是        位整数；62100…00用科学计算数表示为               

考点七、基准量是否发生变化的应用题

1、股民小王上星期五买进某股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票收盘价比前一天的涨跌情况（单位：元）：（+表示收盘价比前一天涨）

（2）本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？

（3）已知买进股票时需付1.5‰的手续费，卖出时需付成交额的1.5‰（千分之1.5）的手续费和3‰的交易税。如果小王在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？（收益=卖股票收入-买股票支出-卖股票手续费和交易税-买股票手续费）

（4）谈谈你对股市的看法：

2、某摩托车厂本周计划每日生产250辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班的人数不一定相等，实际每日的生产量与计划量相比较的情况如下表。记超出的为正，不足的为负；（单位：辆）：

（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？

（3）用简便方法算出本周实际总产量

考点八、给你4个数，计算24点

1、四张牌为：-6、-9、2、7将这四个数（每个数只用一次）进行加减乘除乘方运算，使其结果为24，用四种方法表示。

2、四张牌为：-12、-1、12、3将这四个数（每个数只用一次）进行加减乘除乘方运算，使其结果为24，用三种方法表示。

3、四张牌为：-1、2、-2、3将这四个数（每个数只用一次）进行加减乘除乘方运算，使其结果为24，用三种方法表示。

考点九、乘方在生活中的实际应用

1、一个池塘的水浮莲，每天都在生长，且每天的面积是前一天的2倍。如果12天就能把整个池塘遮满，那么水浮莲长到遮住半个池塘需要（    ）

A. 6天  B. 8天  C. 10天   D. 11天

2、一种细胞，可以一分钟成两个，再过一分钟成四个，这样一小时可装满一个瓶子；那么如果一开始就在瓶子里装进两个细胞，那么这样（    ）天就装满瓶子。

A. 29   B. 30   C. 59    D. 60

3、1根1m长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第6次剩下的绳子长度为（     ）

A. ()6m    B. ()5m    C. ()3m    D. ()12m

4、将一个边长为1m的正方形，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的纸板面积为        

5、将一张纸按同一方向连续对折3次，可得到     条折痕。折n次，可得到       条折痕，此时若按折痕将纸撕开，可以得到       张纸。

6、你喜欢吃拉面吗?拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合、拉伸，反复多次，就能拉成许多细面条．如图所示：

(1)经过第3次捏合后，可以拉出        根细面条；

(2)到第      次捏合后可拉出32根细面条；

(3)经过第n次捏合后，可以拉出            根细面条(用含n的式子表示)．

巩  固  练  习

一、选择题

1、下列各数：-（-1），-|-5|，(-4)2，(-3)2，-24，其中负数有（    ）

A. 2个   B. 3个   C. 4个    D. 5个

2.有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，则（    ）

A.a+b<0    B.a+b>0    C.a－b=0    D.a－b>0

3.计算的值是（    ）

A.0  　B.－54　　C.－72　 D.－18

4.下列说法中正确的有（     ）

①同号两数相乘，符号不变；

②异号两数相乘，积取负号；

③互为相反数的两数相乘，积一定为负；

④两个有理数的积的绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积．

A.1个   　　　     B.2个 　　　　   C.3个　　　　D.4个

5.气象部门测定发现：高度每增加1 km，气温约下降5 ℃．现在地面气温是15 ℃，那么4 km高空的气温是（    ）

A.5 ℃   B.0 ℃　  C.－5 ℃　　D.－15 ℃

6.计算等于（     ）

A.－1            B.1            C.－4            D.4

7.若规定“!”是一种数算符号，且1!=1，2!=1×2=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，⋯，则的值为（     ）

A.           B.99!           C.9 900           D.2!

8.已知，，且，则的值为（     ）

A.－13                B.＋13               C.－3或＋13             D.＋3或－13

9.下列各近似数中，精确到百位的是（    ）

A.1234                B.1.234×106               C.0.012             D.1.23万

10、已知a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（　　）

①ab＞0；②b-c＞0；③|b-c|＞c-b；④；⑤ 

A. 1个   B. 2个   C. 3个    D. 4个

11、若－2减去一个有理数的差是－5，则－2乘这个有理数的积是（  ）

（A）10.          （B）－10.           （C）6.           （D）－6.

12、算式（－－）×24的值为（  ）

（A）－16.        （B）16.              （C）24.         （D）－24.

13、已知不为零的a,b两数互为相反数，则下列各数不是互为相反数的是（  ）

（A）5 a与5 b.     (B)a与b.           (C)与.       (D)a与b.

14.某城市按以下规定收取每月煤气费，用煤气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米， 超过部分按每立方米1.2元收费。已知甲用户某月份用煤气80每立方米，那么这个月甲用户应交煤气费 (     )

    A.元           B.66元             C.72元             D.96元

15. 3是3的近似值，其中3叫做真值，若某数由四舍五入得到的近似数是27，则下列各数中不可能是27的真值的是    (    )

    A.26.48           B.26.53            C.26.99             D.27.02

16.小华和小丽最近测了自己的身高，小华量得自己约1.6m，小丽测得自己的身高约为1.60m，下列关于她俩身高的说法正确的是    (    )

    A.小华和小丽一样高   B.小华比小丽高    C.小华比小丽低       D.无法确定谁高

二、填空题

1.若规定a※b=5a+2b-1，则(-4) ※6的值为_________        .

2.甲、乙两同学进行数字猜谜游戏.甲说：一个数a的相反数就是它本身，乙说：一个数b的倒数也等于它本身，请你猜一猜|b+a|=_______.

3.某次数学测验共20道选择题，规则是：选对一道得5分，选错一道得－1分，不选得零分，王明同学的卷面成绩是：选对16道题，选错2道题，有2道题未做，他的得分是          .

4.(1)近似数2.50万精确到     位；1纳米等于十亿分之一米，用科学记数法表示25米=             纳米

5.数轴上表示有理数－3.5与4.5两点的距离是       .

6.(－1)2+(－1)3+…+(－1)2010=           ；(-2)2014-22013=         

7.a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数.如：3的差倒数是，已知a1=2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2010=             。

8.如图是一个数值转换机的示意图，若输入的值为3，的值为－2，则输出的结果为           ．

9.如图，在一个边长为1的正方形纸板上依次贴上面积为，，，，……，的小长方形纸片，请你写出最后余下未贴部分的面积的表达式：               . 

10.电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从K0向左跳1个单位到K1，第二步从K1向右跳2个单位到K2，第三步从K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4……按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100，且所表示的数恰好是19.94，则电子跳蚤的初始位置K0所表示的数为               

三、解答题

1.（1）；               （2）；

（3）；    （4）.

2.已知：，，且，求的值

3.下表是某水站记录的潮汛期某河一周内的水位变化情况(正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，上周的水位恰好达到警戒水位，单位：米)

(2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降了?

4.出租车司机老王某天上午营运全是在东西走向的路上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车里程（单位：km）如下：

+8，+4，-10，-3，+6，-5，-2，-7，+4，+6，-9，-11

（1）将第几名乘客送到目的地时，老好回到上午出发点？

（2）将最后一名乘客送到目的地时，老王距上午出发点多远？

（3）若汽车耗油量为0.4升每千米，这天上午老王耗油多少升？

5.“十一”黄金周期间，某市风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：

（1）请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？

（2）若9月30日的游客人数为2万人，求这7天的游客总人数是多少万人？

6.观察下列各式：

….

猜想：

（1）的值是多少？

（2）如果为正整数，那么的值是多少？

★．在1到100的整数中，求出10个数，使它们的倒数和等于1．

解：1=（1-）+（-）+（-）+（-）+（-）+（-）+（-）+（-）+（-）+=+++++++++．1，2，6，10，12，20，30，42，56，72，90．