天津市2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题

高二数学

一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）

1．复数，则（   ）

A．0                B．                C．1                D．

2．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为（   ）

A．16                B．15                C．14                D．13

3．下列叙述中正确的是（   ）

A．若，则“”的充分条件是“”

B．若，则“”的充要条件是“”

C．命题“”的否定是“”

D．是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件

4．已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆在第二象限的交点为M，与轴的交点为N，是椭圆的右焦点,且，则椭圆的方程为（   ）

A．      B．       C．       D．

5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（   ） 

A．                                     B．             

C．                                     D．

6．已知，，则是的（    ）

A．充分不必要条件                        B．必要不充分条件  

C．充要条件                              D．既不充分也不必要条件

7．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（    ）

A．或             B．或

C．或                 D．或

8．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，若，则双曲线的离心率是（    ）

A．           B．           C．            D．

二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）

9．已知方程表示椭圆，则的取值范围为__________.

10．设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若，则__________.

11．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________.

12．已知，，且，则的最小值等于__________.

13．设抛物线 （）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足为. 若，且三角形的面积为，则的值为___________.

14．已知函数，若是函数唯一的极值点，则实数的取值范围为__________.

三、解答题（共6小题，共80分）

15．（13分）数列的前项和为，已知，. 其中

（Ⅰ）证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和.

16．（13分）已知函数在处取得极值.

（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.

17．（13分）在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求平面与平面所成的二面角的正弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得直线与

平面所成的角是. 若存在，指出点的位置；

若不存在，请说明理由.

18．（13分）已知数列满足，，其中

（Ⅰ）设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.

19．（14分）已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点. 点为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；

（Ⅲ）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最大值.

20．（14分）已知函数，.

（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；    

（Ⅱ）设，试讨论函数的单调性；

（Ⅲ）当时，若存在正实数满足，求证：.

天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末六校联考

高二数学参

1．D   2．B   3．C   4．D   5．B   6．A   7．C   8．A

9．  10．2   11．    12．    13．   14．

15．

（Ⅰ）证明：∵，∴，

∴，  又，∴，

∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.…………… …………… 6分 

（Ⅱ）由（1）知，，

∴，

∴ ，①

 . ②

①-②得

                       ，

∴.               …………… …………… 7分 

16．

（Ⅰ）时，取得极值，

故解得.经检验符合题意。

     …………… …………… 6分      

（Ⅱ）由知，

得

    令

    则在上恰有两个不同的实数根，

    等价于上恰有两个不同实数根.

    当时，，于是上单调递增；

    当时，，于是在上单调递增；

依题意有 

解得  . …………… ……………7分 

17．（Ⅰ）证明：∵， 是的中点，∴，

又平面，∴，

∵，∴平面，

∴．                   …………… …………… 3分 

（Ⅱ）以为原点，分别以， 为， 轴，如图建立坐标系．则：

， ， ， ， ，

， ， ， ，

设平面的一个法向量，则： ，

取， ， ，所以，

设平面的一个法向量，则：

取， ， ，所以，

．

故平面与平面所成的二面角的正弦值为． …………… …………… 5分 

（Ⅲ）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，

设且， ，

∴，

∴， ， ，∴，

若直线与平面所成的的角为，则： ，

解得，

所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，

点为棱的中点．                  …………… …………… 5分 

18．（Ⅰ）证明：，

所以数列是等差数列，

，因此，

由.                 …………… …………… 6分 

（Ⅱ）由，

所以，

所以，

因为，所以恒成立，

依题意要使对于，恒成立，只需，且解得，的最小值为.     …………… …………… 7分 

19．（Ⅰ）∵左顶点为  ∴

又∵   ∴

又∵    ∴椭圆的标准方程为．…………… ……3分 

（Ⅱ）直线的方程为，由消元得

化简得， ，则

当时， ，

∴

∵点为的中点

∴点的坐标为，则.

直线的方程为，令，得点的坐标为，假设存在定点使得,则，即恒成立，

∴恒成立

∴即

∴定点的坐标为.                 …………… …………… 5分 

（Ⅲ）∵

∴的方程可设为，由得点的横坐标为

由，得

  ，

当且仅当即时取等号，

∴当时， 的最小值为．

所以，原式最大值为                      …………… …………… 6分 

20．（Ⅰ）解：因为，所以，

因为在处取得极值，

所以，解得．                     

验证：当时，在处取得极大值．        …………… …………3分                   

（Ⅱ）解：因为  

所以．

①若，则当时，，所以函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减． 

②若，，

当时，易得函数在和上单调递增，

在上单调递减；                                  

当时，恒成立，所以函数在上单调递增；

当时，易得函数在和上单调递增，

在上单调递减．               …………… …………… 5分                          

（Ⅲ）证明：当时，，

因为，

所以，

即，

所以．               

令，，

则，

当时，，所以函数在上单调递减；

当时，，所以函数在上单调递增．

所以函数在时，取得最小值，最小值为．   

所以，

即，所以或．

因为为正实数，所以． 

当时，，此时不存在满足条件，

所以．                  …………… …………… 6分