应用数值分析(第四版)课后习题答案第5章

1、给出数据点: 

(1)用构造二次插值多项式,并计算的近似值。

(2)用构造二次插值多项式,并计算的近似值。

(3)用事后误差估计方法估计、的误差。

解:(1)利用,作插值函数

代入可得。

(2)利用,构造如下差商表：

代入可得。

(3)用事后误差估计的方法可得误差为

◆

2、设插值基函数是

试证明:对,有

其中为互异的插值节点。

证明：由插值多项式的误差表达式知，对于函数进行插值，其误差为，亦即精确成立，亦即。

      分别取被插值函数，当时插值多项式的误差表达式，即，亦即，对于，由可知结论成立；对于时，特别地取，则有；而当时知其插值误差为，于是有，即，特别取可得，证毕。◆

3、试验证插值多项式满足。

解：由插值多项式

可知◆

4、已知，求函数的阶差商。

解：由差商和函数值的关系式可知，当时总有

                                                            ◆

5、若，试证明：

证明：由差商定义

                   ◆

6、若已知，求和。

解：由向前差分、中心差分和函数值的关系可得

7、考虑构造一个函数的等距节点函数表，要使分段线性插值的误差不大于，最大步长应取多大？

解：由等距分段线性插值的误差表达式

从而可得

8、考虑构造一个函数的等距节点函数表，要使分段插值的误差不大于，最大步长应取多大？

解：由等距分段插值的误差表达式

从而可得

9、对函数，取节点，且已知；

试对构造二次插值多项式

确定上式中基函数。

若要使存在且唯一，插值节点应满足什么条件？

解：依题意，二次多项式基函数应分别满足：

                                            （1）

                                            （2）

                                            （3）

由（1）（2）（3）可得

，

，

由（1）（2）（3）可知欲使存在且唯一，只需且必须插值节点互异且。

10、设，证明：

其中。

证明：令二次多项式

则易见满足： 

于是满足： 

因而，引入辅助函数，则共有四个零点，依广义定理，存在满足：

从而，。证毕。

11、设为插值基函数，，试证明：

证明：由插值，其误差表达式

，故对于次数不高于一次的多项式函数有，从而，特别地取，分别可得

； 

12、试构造一个三次多项式逼近函数，满足以下条件。

解：取，由插值，，其中

，

，

，

代入可得。

13、试判断下面函数是否为三次样条函数：

解：据三次样条函数的定义中函数是三次样条函数，中函数不是三次样条函数，因其在内节点处二阶导数不连续。

14、给出如下的数据：

试用重节点差商法构造五次插值多项式满足所给条件，并给出插值误差式。

若用型基本函数法，应如何构造节点基函数。

解：利用重节点构造如下差商表

插值误差为: 

若用型基本函数法,设基函数为,

其中均为五次多项式且满足

,

,

,

,

,

。

15、已知数据对

给出自然边界条件，试用三弯矩方程构造三次样条函数，并计算的近似值。

给出固定边界条件，试用三转角方程构造三次样条函数，并计算的近似值。

解：依三弯矩方程及自然边界条件可得线性方程组

解得，于是可得

依固定边界条件可得