行测牛吃草问题

（1）草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

“牛吃草问题”主要有两种类型：

1、求时间

2、求头数

除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。

①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。

②已知天数求知数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。

③根据“（原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数。

图示法解题：图示法在解很多题目时非常直观、简洁，如在牛吃草、行程等问题中得到广泛的应用，以牛吃草为例说明如下：

　　【例1】一片草场的青草每天都匀速生长，这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？

　　解题思路总结：解决牛吃草问题的关键是：

　　（1）设1头牛1天吃1份草；

　　（2）要求出每天（或每周等）新生长的草量；

　　（3）要求出原有的草量；注意：原有的草量不变。

　　然后代入计算就可以了。

　　解：作线段图如下图：

　　设1头牛1天吃1份草，

　　则27头牛6天共吃草：27×6＝162份；23头牛9天共吃23×9＝207份，

　　多了207－162＝45份，相当于（9－6）天生长的草量，

　　所以每天生长的草量为： ＝15份/天；

　　则原有的草量为：162－6×15＝72份；

　　21头牛中有15头吃生长的草，那么剩下的21－15＝6头吃原有的草，

　　所以可以吃： 天，因此可供21头牛吃12天。

牛顿问题，因由牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫做牛吃草问题。英国著名的物理学家学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？

目录

解题关键 

牛顿曾提出的问题 

题目解法 

规律总结

编辑本段解题关键

　　牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步： 

　　1、求出每天长草量； 

　　2、求出牧场原有草量； 

　　3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)； 

　　4、最后求出可吃天数 

　　想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。 

　　解：新长出的草供几头牛吃1天： 

　　（10×22-16×10）÷(22-10） 

　　=（220-160）÷12 

　　=60÷12 

　　=5（头） 

　　这片草供25头牛吃的天数： 

　　（10-5）×22÷（25-5） 

　　=5×22÷20 

　　=5.5（天） 

　　答：供25头牛可以吃5.5天。 

　　------------------------------------------------------------------------------------------- 

编辑本段牛顿曾提出的问题

　　牛顿在其著作《普遍的算术》(1707年出版)中提出如下问题：＂12条公牛在四个星期内吃掉了三又三分之一由格尔的牧草；21条公牛在9星期吃掉10由格尔的牧草，问多少条公牛在18个星期内吃掉20由格尔的牧草？＂ 

　　（由格尔是古罗马的面积单位，1由格尔约等于2,500平方米）。这个著名的公牛问题叫做“牛顿问题”。 

编辑本段题目解法

　　牛顿的解法是这样的：在牧草不生产的条件下，如果12条公牛在四星期内吃掉三又三分之一由格尔的牧草、则按比例63头公牛四星期内，或16头公牛九个星期内，或八头公牛18星期内吃掉10由格尔的牧草，由于牧草在生长，所以21头公牛９星期只吃掉10由格尔牧草，即在随后的五周内，在10由格尔的草地上新长的牧草足够21-16=5头公牛吃9星期，或足够5/2头公牛吃18个星期，由此推得，14个星期（即18个星期减去初的四个星期）内新长的牧草可供7头公牛吃18个星期，因为5：14=5/2：7。前已算出，如牧草不长，则10由格尔草地牧草可供八头公牛吃18个星期，现考虑牧草生长，故应加上7头，即10由格尔草地的牧草实际可供15头公牛吃18个星期，由此按比例可算出。24由格尔草地的牧草实际可供36头公牛吃18星期。 

　　牛顿还给出代数解法：他设1由格尔草地一个星期内新长的牧草相当于面积为y由格尔，由于每头公牛每个星期所吃牧草所占的面积看成是相等的， 

　　根据题意，设若所求的公牛头数为x，则（10/3+10/3）*4y/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x 

　　解得x=36 即36条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草。 

编辑本段规律总结

　　牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量——每天（每周）新长出的草的数量。 

　　方法指导：通常思路　 

　　①把每头牛每天（周）的吃草量看作是“1”；②求出每天（周）的新生长的草量是多少；③求出原来的草量是多少；④假设几头牛专门去吃新生长的草，剩下的牛吃原来的草所用几天（周）数即为所求。 

解决牛吃草问题的多种算法

来源：环球网校 时间：2009-4-28 16:55:00 所属频道：小升初

　　历史起源：英国数学家牛顿(12—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。

　　主要类型：

　　1、求时间

　　2、求头数

　　除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。

　　基本思路：

　　①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。

　　②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。

　　③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。

　　基本公式：

　　解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶

　　(1)草的生长速度=对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数);

　　(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`

　　(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);

　　(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度

　　第一种：一般解法

　　“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽;养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢?并且牧场上的草是不断生长的。”

　　一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：

　　(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6=162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。)

　　(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9=207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。)

　　(3)1天新长的草为：(207-162)÷(9-6)=15

　　(4)牧场上原有的草为：27×6-15×6=72

　　(5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21-15)=72÷6=12(天)

　　所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。

　　第二种：公式解法

　　有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草?(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛?

　　解答：

　　1) 草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)

　　原有草量：21×8-12×8=72(份)

　　16头牛可吃：72÷(16-12)=18(天)

　　2) 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数

　　所以最多只能放12头牛。

一、牛吃草问题

牛吃草问题是一个很有趣的问题，关键在于牧场每天都长新草，通过两组条件的比较，先求出每天（周）长牧草的新草量，然后把牛分成两部分，一部分吃新草，一部分吃旧草，从而求出吃草的天数。显然牛实际上是不能这样分成两部分去吃草的，但在解数学问题中，这种分成几部分去解决问题的方法，可以使复杂的问题变成简单的问题，化繁为简是常常应用的技巧之一。

例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。如果27头牛6周吃完，23头牛9周吃完，那么21头牛几周吃完？

解：设1头牛1周吃的草为1份，27头牛6周吃27×6=162（份），23头牛9周吃23×9=207（份），这说明牧场每周长新草（207－162）÷（9－6）=15（份）。原来（牛吃前）牧场有草 162－15×6=72（份）

吃新草的牛需要 15÷1=15（头）吃旧草的牛有 21－15=6（头）

吃完草的时间 72÷6=12（周）

例2 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天，那么可供多少头牛吃10天？

解：20头牛5天吃草20×5=100（份）15头牛6天吃草15×6=90（份）

青草每天减少（100－90）÷（6－5）=10（份）牛吃草前牧场有草100＋10×5=150（份）150份草吃10天本可供150÷10=15（头）因每天减少10份草，相当于10头牛吃掉，所以只能供牛15－10=5（头）

二、牛吃草问题概念及公式

　　牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场 牛吃草问题的·历史起源：英国数学家牛顿(12—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰ 

　　假设定一头牛一天吃草量为“1” 

　　1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）； 

　　2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` 

3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； 

　　4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 

　　这四个公式是解决消长问题的基础。 

　　由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。 

　　牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。 

　　解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 

　　这类问题的基本数量关系是： 

　　1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。 

　　2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草量。

三、例题

1、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数 

　　设一个检票口一分钟一个人 

　　1个检票口30分钟30个人 

　　2个检票口10分钟20个人 

　　(30-20)÷(30-10)=0.5个人 

　　原有1×30-30×0.5=15人 

　　或2×10-10×0.5=15人 

　　2、有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？ 

　　这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。 

　　把每头牛每天吃的草看作1份。 

　　因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份 

　　所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份 

　　因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份 

　　所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份 

　　所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份 

　　所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份 

　　所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份 

　　第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份 

　　新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛 

　　所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。 

　　两种解法： 

　　解法一： 

　　设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(头) 

　　解法二：10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量 (28×45-30×30)/(45-30)=24；15亩原有草量：1260-24×45=180；15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42头