中考数学四边形专题训练50题含参

(单选、填空、解答题)

一、单选题

1．如图，已知，那么的大小是（       ）

A． ． ． ．

2．在▱ABCD中，∠A，∠B的度数之比为4∶5，则∠C的度数为(     )

A．60° ．80° ．100° ．120°

3．如图，在菱形中，，，O为对角线的中点，过O作，垂足为E，则的长为（       ）

A．1 ．2 ．3 ．4

4．如图，四边形和四边形是两个矩形，点在边上，若，，则矩形的面积为（       ）

A．2 ． ． ．

5．已知▱ABCD相邻两个内角的比为2：3，则其中较大的内角是（　　）

A．60° ．72° ．120° ．108°

6．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则重叠部分（即）的面积为（　　）

A．6 ．7.5 ．10 ．20

7．如图，在矩形中，，点E是的中点，点F是边上一动点，当的周长最小时，则的长为(     )

A．1 ．2 ．3 ．4

8．如图，在四边形ABCD中，，与，相邻的外角都是120°，则的值为（       ）

A．50° ．55° ．60° ．65°

9．如图，点E为正方形ABCD外一点，且，连接AE，交BD于点F．若，则的度数为(     )

A． ． ． ．

10．在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE∶EC=3：2，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（     ）

A．3：5 ．9：4 ．9：25 ．3：2

11．如图，四边形ABCD是正方形，直线a、b、c分别经过A、D、C三点，且．若a与b之间的距离是2，b与c之间的距离是3，则正方形ABCD的面积是（       ）

A．12 ．13 ．14 ．15

12．如图，在△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点．则下列说法不正确的是（　　）

A．四边形AEDF是平行四边形

B．若∠B+∠C＝90°，则四边形AEDF是矩形

C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形

D．若BD＝AD＝DC，则四边形AEDF是矩形

13．小明在计算某多边形的内角和时，由于马虎漏掉了一个角，结果得到970°，则原多边形是一个（       ）

A．七边形 ．八边形 ．九边形 ．十边形

14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，点E是AD边的中点，连接OE，则OE的长为（　　）

A．10 ． ．5 ．4

15．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（   ）

①平行四边形；②菱形；③任意四边形；④对角线互相垂直的四边形

A．①③ ．②③ ．③④ ．②④

16．如图，已知点O为△ABC的AC边上的中点，连接BO并延长到D，使得OD＝OB，要使四边形ABCD为矩形，△ABC中需添加的条件是（　　）

A．AB＝BC    B．∠ABC＝90° ．∠BAC＝45° ．∠BCA＝45°

17．如图，在矩形中，10，12，点，分别在，上，且，，为边上一动点，连接，将沿所在直线折叠得到△，当点恰好落在线段上时，的长为　　

A．5 ．5 ．3 ．3

18．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点，若∠AEF＝120°，则线段EF的长度的整数值的个数有（　　）

A．1个 ．2个 ．3个 ．4个

19．如图，正方形边长为，，分别为线段，上一点，且，，与相交于，为线段上一点（不与端点重合），为线段上一点（不与端点重合），则的最小值为（   ）

A． ． ． ．

二、填空题

20．如图，已知点的坐标是，，点的坐标是，，菱形的对角线交于坐标原点，则点的坐标是______．

21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则的值为__________．

22．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠E＝20°，则∠ADB＝______．

23．如图，□ABCD的对角线交于点O，且AB=4，△OCD的周长为13，则□ABCD的两条对角线长度之和为________．

24．一个多边形的内角和等于它外角和的7倍，则这个多边形的边数为_________．

25．如图，在矩形中，，，点E为BC上一动点，把沿AE折叠，当点B的对应点落在或的角平分线上时，则点到BC的距离为______________．

26．如图，在平行四边形中，点是的中点，与相交于点，那么S四边形BDMN等于_______．

27．如图，在周长为16，面积为6的矩形纸片中，是的中点．是上一动点，将沿直线折叠，点落在点处．在上任取一点，连接，，则的最小值为___________．

28．如图，△ABC中∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，若正方形DEFG的顶点D在AB上，顶点F、G都在AC上，射线AE交BC边于点H，则CH长为___．

29．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，H是CD边上一点，现将沿BH折叠，点C的对应点正好落在AD边上，点E、F分别是AD、BH边上的动点，再将四边形ABHD沿EF折叠，若点A的对应点正好落在线段BH上，且，则线段AE的长为______．

30．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动，若出发t秒后，，则_________秒．

31．如图，已知菱形ABCD的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD边上有2013个不同的点，过作于，于，的值为_______________

32．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”，图①是由边长的正方形薄板分成7块制作成的“七巧板”图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为_______(结果保留根号).

33．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为_________________．

34．在菱形ABCD的纸板中画，随意向其投掷一枚飞镖若，，则飞镖落在中的概率的最大值为______．

35．如图，在中，为边中点，为边中点，为上一点且，连接，取中点并连接，取中点，延长与边交于点，若，则_________．

36．如图所示，AE是▱ABCD的∠DAB的平分线，且交BC于点E，EF∥AB交AD于点F，则四边形ABEF一定是____________．

37．如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若，，则线段AE的长为______．

38．如图，在矩形中，，，点在边上，且连接，将沿折叠，若点的对应点落在矩形的边上，则的值为______ ．

39．如图，Rt△ABC，AB＝3，AC＝4，点D在以C为圆心3为半径的圆上，F是BD的中点，则线段AF的最大值是_____．

三、解答题

40．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且，，AE=CF．

(1)证明；；

(2)证明：四边形ABCD是平行四边形．

41． 如图．在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点A出发沿AC方向以4cm∕秒的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿BA方向以2cm∕秒的速度向点A匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒（0＜t＜15），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；

（2）当t为何值时，动点D恰好在AF的垂直平分线上；

（3）点D、F在运动过程中是否存在t的值，使△DEF是直角三角形，若存在求出t的值，若不存在，说明理由．

42．如图，在中，，，分别是，的中点，连接，过点作EFCD，交的延长线于点．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)若四边形的周长是，的长为，求线段、的长．

43．知：如图，边形.

(1)求证：边形的内角和等于；

(2)在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°，求这个多边形的内角和；

(3)粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为1180°，这个多加的外角度数为   ，多边形的边数为  .

44．如图，在中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE.

（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若，°，.

①直接写出的边BC上的高h的值；

②当点E从点D向点A运动的过程中，下面关于四边形AFCE的形状的变化的说法中，正确的是

A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形

B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形

C．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形

D．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形

45．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形．

求证：四边形ADCE是矩形

46．已知正方形OABC在直角坐标系中（如图），A（1，﹣3），求点B、C的坐标．

47．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．(正方形四条边都相等，四个角都是直角)

1.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

(1)猜想图1中线段BG和线段DE的长度和位置关系：______________．

(2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度a，得到如图2.如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断上述猜想是否仍然成立：_______（成立、不成立）若成立，请你选取图2或图3中的一种情况说明你的判断．

48．在矩形ABCD中，点P是射线BC上一动点，点B关于直线AP的对称点为E，直线PE与直线CD交于点F．

(1)如图1，当A，C，E共线时，若，判断△ACF的形状，并证明；

(2)若当点P在线段BC上的某个位置时（不与B，C重合），有，求证：当点P在BC延长线上任意位置时，都有．

49．【教材呈现】下图是华师版数学教材的部分内容

探索

如图24.2.1，画，并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．

相信你与你的伙伴一定会发现：恰好是的一半，下面让我们演绎推理证明这一猜想．

已知：如图24.2.2，在，，是斜边上的中线．

求证：．

【证明】请根据教材图24.2.2的提示，完成直角三角形的性质“直角三角形斜边中线等于斜边一半”

的证明

【延伸】如图①，在四边形中，，，点、分别为，的中点，连结、，则线段与的数量关系是___________．

【应用】（1）如图②，在【延伸】的条件下，当平分，时，则的大小为______．

（2）如图③，在【延伸】的条件下，当，四边形是菱形时，直接写出四边形的面积．

参：

1．B

【分析】根据多边形外角和为度进行求解即可．

【详解】解：∵，，

∴，

故选B．

【点睛】本题主要考查了多边形外角和，熟知多边形外角和为是解题的关键．

2．B

【分析】根据平行四边形邻角互补,即可将角A和角B的度数求出,再利用对角相等即可求出角C.

【详解】∵四边形ABCD为平行四边形,

∴∠A+∠B=180°,

∵∠A，∠B的度数之比为4∶5

∴∠A=180°=80°,

即∠C=80°,

故选B.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质,属于简单题,熟悉平行四边形的性质是解题关键.

3．A

【分析】先求出OB的长和的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出BE的值．

【详解】解：在菱形ABCD中，AB=AD，

，

是等边三角形，

，

O为BD的中点，

，

，

，

．

故选A．

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．

4．B

【分析】根据勾股定理可求出BC的长度，再求解∠ACB的度数，进而求出CF的长度，最后用矩形面积公式求解即可．

【详解】∵四边形和四边形是两个矩形，

∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理可得：，

连接BD交AC于点O，

∵四边形是矩形，

∴BD=AC=2，

∴CO=DO==1，

∵CD=1，

∴△CDO为等边三角形，

∴∠ACD=60°， 

∴∠ACB=30°，

∵四边形是矩形，

∴，

∴∠CBF=∠ACB=30°，

∴CF=BC=，

∴矩形的面积=AC×CF=2×=；

故选：B

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，含有30°角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练地掌握相关内容是解题的关键．

5．D

【分析】根据平行四边形邻角互补的性质及题意，可得出较大内角的度数.

【详解】解：∵平行四边形ABCD

∴相邻内角和为

∵相邻内角的比为2:3

∴较大内角度数是：

故答案是：D.

【点睛】本题主要考查平行四边形邻角互补，准确应用平行四边形的性质是解题的关键.

6．C

【分析】由折叠结合矩形的性质先证明设 则 再利用勾股定理求解 从而可得的面积．

【详解】解： 长方形ABCD，

由对折可得： 

设 则 

由 

故选：

【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题，勾股定理的应用，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．

7．D

【分析】作点E关于直线CD的对称点E'，连接AE'交CD于点F，再根据即可求出CF的长，进而得出DF的长．

【详解】解：如图所示：

作点E关于直线CD的对称点E'，连接AE'交CD于点F，此时，△AEF的周长最小，

∵在矩形ABCD中，AB=6，BC= 8，点E是BC中点，

∴，

∵，

∴，

∴ ，即，

解得：，

∴；

故选：D．

【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出E点关于直线CD的对称点E'，再根据轴对称的性质求出CE'的长，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论，熟练应用轴对称和相似的判定与性质相关知识解决问题是解题的关键．

8．A

【分析】先求出∠ABC=∠BAD=60°，再根据四边形的内角和等于360°，可得∠ADC=130°，即可求解．

【详解】解：∵与，相邻的外角都是120°，

∴∠ABC=∠BAD=60°，

∵，

∴∠ADC=360°-∠ABC-∠BAD-∠BCD=130°，

∴．

故选：A.

【点睛】本题主要考查了四边形的内角和定理、邻补角，熟练掌握四边形的内角和等于360°是解题的关键．

9．A

【分析】根据正方形的性质，得，，得；根据，得；根据等边对等角，，可求出；根据三角形的内角和，得；根据和全等，得，即可求出的角度．

【详解】∵四边形正方形

∴，

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴在中，

∴

∴

∵在和中

∴

∴

∴

∴．

故选：A．

【点睛】本题考查正方形和三角形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角．

10．C

【分析】先判断△DEF∽△BAF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，DC=AB，

∴△DEF∽△BAF，

∴．

又∵DE：EC＝3：2，

∴，

∴．

故选C．

【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

11．B

【分析】先作辅助线AE⊥直线b于点E，CF⊥直线b于点F，然后根据题目中的条件，可以证明△AED和△DFC全等，即可得到DF＝AE，然后根据勾股定理，即可得到CD的长，从而可以得到正方形ABCD的面积．

【详解】解：作AE⊥直线b于点E，作CF⊥直线b于点F，则AE＝2，CF＝3，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，∠ADC＝90°，

∴∠ADE+∠CDF＝90°，

∵AE⊥直线b，CF⊥直线b，

∴∠AED＝∠DFC＝90°，

∴∠ADE+∠DAE＝90°，

∴∠DAE＝∠CDF，

在△AED和△DFC中，

，

∴△AED≌△DFC(AAS)，

∴AE＝DF，

∵AE＝2，CF＝3，∠CFD＝90°，

∴DF＝2，

∴CD＝＝＝，

∴正方形ABCD的面积是：×＝13，

故选：B．

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，平行线之间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

12．C

【分析】根据平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】解：∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，故A选项正确；

∵四边形AEDF是平行四边形，∠B+∠C=90°，

∴∠BAC=90°，

∴四边形AEDF是矩形，故B选项正确；

若BD=CD，

则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形，故C选项错误；

∵BD＝AD＝DC，

∴∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，

∴∠DAB+∠DAC=90°，即∠BAC=90°，

∴四边形AEDF是矩形，

故选C．

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的判定方法，难度不大．

13．B

【分析】根据n边形的内角和是（n-2）•180°，少计算了一个内角，结果得970度．则内角和（n-2）•180°与970°的差大于0度，且（n-2）•180°小于970°+180°．因而可以解不等式，多边形的边数n一定是最小的整数值即可．

【详解】解：设多边形的边数是n，

依题意有：

解得：，

∴则多边形的边数n=8；

故选B．

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键．

14．B

【分析】根据菱形的性质得到OA＝AC＝3，OD＝BD＝4，AC⊥BD，利用勾股定理求出AD，再根据直角三角形斜边中线的性质求出OE即可．

【详解】∵四边形ABCD为菱形，

∴OA＝AC＝3，OD＝BD＝4，AC⊥BD，

∴AD＝＝5，

∵点E是边AD的中点，

∴OE＝AD=，

故选：B．

【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟记菱形的性质是解题的关键．

15．D

【分析】根据中点四边形为平行四边形，当四边形的对角线互相垂直时则平行四边形为矩形，即可得到答案．

【详解】解：顺次连接一个四边形的各边中点，得到的四边形是平行四边形，

若四边形的对角线互相垂直，则所得平行四边形为矩形，则满足条件的是②④，

故选：D．

【点睛】此题考查中点四边形的判定，矩形的判定，熟记判定定理是解题的关键．

16．B

【分析】由题意可证四边形ABCD是平行四边形，由矩形的判定可求解．

【详解】解：∵点O为△ABC的AC边上的中点，

∴AO＝CO，且OD＝OB，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵有一个角为直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，

∴添加条件为∠ABC＝90°，

故选B．

【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定是本题的关键．

17．A

【分析】设CE=x，则C′E=x，证明四边形MNCD是矩形，由矩形的性质得出∠DMN=∠MNC=90°，MN=CD=10，由折叠的性质得出C′D=CD=10，求出，则,在中，由勾股定理得出，解方程可得出答案．

【详解】解：设CE=x，则C′E=x，

∵矩形ABCD中，AB=10，

∴CD=AB=10，AD=BC=12，AD∥BC，

∵点M，N分别在AD，BC上，且3AM=AD，BN=AM，

∴DM=CN=8，

∴四边形CDMN为平行四边形，

∵∠NCD=90°，

∴四边形MNCD是矩形，

∴∠DMN=∠MNC=90°，MN=CD=10，

由折叠知，C′D=CD,10，

∴，

∴，

∵EN=CN-CE=8-x，

∴C′E2-NE2=C′N2，

∴，

解得，，

即．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，一元一次方程的应用，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

18．C

【分析】连结CE，根据菱形的性质和全等三角形的判定可得△ABE≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，可得∠ECF＝∠EFC，根据等角对等边可得CE＝EF，从而得到AE＝EF，在Rt△ABO中，根据含30°的直角三角形的性质得到AO＝2，可得2≤AE≤4，从而得到EF的长的整数值可能是2，3，4．

【详解】解：如图，连结CE

，

∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE＝BE，

∴△ABE≌△CBE，

∴AE＝CE，

设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，

∴∠DEF＝120°﹣（90°﹣a）＝30°+a，

∴∠EFC＝∠CDE+∠DEF＝30°+30°+a＝60°+a，

∵∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a，

∴∠ECF＝∠EFC，

∴CE＝EF，

∴AE＝EF，

∵AB＝4，∠ABE＝30°，

∴在Rt△ABO中，AO＝2，

∵OA≤AE≤AB，

∴2≤AE≤4，

∴AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4．

故选C．

【点睛】考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，根据含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，证明△ABE≌△CBE．

19．C

【分析】作点E关于AC的对称点K，EI+IJ=KI+KJ，当EJ⊥DF时有最小值，如下图所示，延长KJ交DC于N点，过N作NM∥AD，得到△KMN≌△FCD，再由△DJ0N∽△DCF求出J0N，最后KN减去J0N即为所求.

【详解】解：如图，作点E关于AC的对称点K，当EJ⊥DF时EI+IJ有最小值为KJ0，此时设KN与DF、CD的交点分别为J0和N点，过N点作MN∥AD交AB于点M.

∵∠KND+∠FDC=90°，

∠DFC+∠FDC=90°

∴∠KND=∠DFC

又∵AB∥CD

∴∠MKN=∠KND=∠DFC

在△MKN和△CFD中

，∴△MKN≌△CFD(AAS)

∴,

又△DJ0N∽△DCF

∴，代入数据：，得

∴.

故答案为：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质和判定、线段最值问题等，两条折线段的最值问题一般通过平移、对称等转移到一条线段上去，然后再根据两点之间线段最短或点到直线的距离垂线段最短求解即可.

20．

【分析】根据菱形具有的平行四边形基本性质，对角线互相平分，且交点为坐标原点，则，关于原点对称， 因此在直角坐标系中两点的坐标关于原点对称，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数便可得.

【详解】∵四边形 是菱形，对角线相交于坐标原点 

∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，和； 和均关于原点对称 

根据直角坐标系上一点 关于原点对称的点为可得

已知点的坐标是 ，则点的坐标是 .

故答案为：.

【点睛】本题旨在考查菱形的基本性质及直角坐标系中关于原点对称点的坐标的知识点，熟练理解掌握该知识点为解题的关键.

21．

【分析】过点A作于点H，分别利用勾股定理和等面积法求出AH和OH的长度，从而可结合正切函数求出，进而结合题意可得出，即可得出结论．

【详解】解：在中，∵，

∴，

∴，

如解图，过点A作于点H，

∴，

∴，

∴，

∴在中，，

∴，

又∵，

∴在中，，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查矩形的性质，正切函数的定义等，理解矩形的基本性质，掌握正切函数的定义是解题关键．

22．40°

【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E＝∠DAE、BD＝AC＝CE，知∠E＝∠CAE，而∠E＝20°，可得∠ADB度数．

【详解】解：连接AC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BE，AC＝BD，且∠E＝20°，

∴∠E＝∠DAE，

又∵BD＝CE，

∴CE＝CA，

∴∠E＝∠CAE，

∵∠ADB＝∠CAD＝∠CAE+∠DAE＝2∠E＝40°，

故答案为：40°．

【点睛】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．

23．18

【详解】由平行四边形的性质和已知条件计算即可，解题注意求平行四边形ABCD的两条对角线的和时要把两条对角线看作一个整体.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=4，

∵△OCD的周长是13，

∴OD+OC=13-4=9，

∵BD=2DO，AC=2OC，

∴平行四边形的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=18

故选A.

 “点睛”本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题.平行四边形的基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形两组对边分别相等；③平行四边形的两种对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分.

24．16

【详解】设多边形的边数为n，依题意，得：

(n−2)⋅180°=7×360°，

解得n=16，

故答案为16.

25．2或1或

【分析】过点作于M，延长交于点H，则于点H，则，，分点B的对应点落在的角平分线上和点B的对应点落在的角平分线两种情况，利用勾股定理列方程，即可求得答案．

【详解】解：四边形是矩形，

，  

过点作于M，延长交于点H，则于点H，则，，

①当点B的对应点落在的角平分线上时，连接，

∴设，则，又由折叠的性质知， 

∴在直角中，由勾股定理得到：

，即， 

解得：， 

则点到的距离为或． 

②当点B的对应点落在的角平分线上时，

∴设，又由折叠的性质知， 

∴在直角中，由勾股定理得到：

，即， 

解得：（不合题意，舍去），

则点到的距离为． 

故答案为：2或1或．

【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、勾股定理、矩形的性质、解一元二次方程等知识点，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．

26．2：5

【详解】试题分析：根据平行四边形的性质可得△ABN∽△MCN，再结合点是的中点，根据相似三角形的性质及三角形的面积公式求解即可.

∵平行四边形

∴△ABN∽△MCN

∵点是的中点

∴AN=2MN

∴△CAN的面积是△MCN的面积的2倍，△BCD的面积是△MCN的面积的6倍

∴四边形BDMN是△MCN的面积的5倍

∴=2：5．

考点：平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式

点评：平行四边形的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.

27．

【分析】连接AC交EF于H，连接A′H，当点G与点H重合时，此时A'G+GC的值最小，由勾股定理求出AC的长，则可得出答案．

【详解】解：连接AC交EF于H，连接A′H，当点G与点H重合时，此时A'G+GC的值最小，

设AB=x，BC=y，

∵矩形ABCD的周长为16，面积为6，

∴，

∴，

∴．

∴A'G+GC的最小值为2．

故答案为：2．

【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．

28．

【分析】根据题意可知，再利用正方形的性质求解即可.

【详解】解：∵四边形DEFG是正方形，

∴DG=GF=EF，∠DGF=∠EFA=90°，

∴∠DGA=90°，

∴，

∵∠ACB=90°，BC=2，AC=4，

∴，

∴，

∴,

∴

∴，

∴,

故答案为：

【点睛】本题主要考查了正方形的性质和解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握解直角三角形的相关知识.

29．

【分析】过点A作MN⊥BC，分别交BC于M，交AD于N，则四边形ABMN是矩形，AM=AN，MN=AB=6，然后证明，得到，，再由折叠的性质可得，，，则可由勾股定理得到，则，从而可以求得，得到，则，设，则，由，得到，解方程即可．

【详解】解：如图所示，过点A作MN⊥BC，分别交BC于M，交AD于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴ ，CD⊥BC，

∴四边形ABMN是矩形，

∴AM=AN，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，，

由折叠的性质可得，，，

∴，

∴，

设，则，

∵，

∴，

解得，

∴，

∴，

∴，

设，则，

∵，

∴，

解得，

∴,

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质与判定．

30．4-

【分析】根据矩形的性质和勾股定理，用含t的代数式表示出PA，PC，再列出方程，即可求解．

【详解】解：∵在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动，

∴PA=2t，PC=，

∵，

∴2t=，解得：t1=4-，t2=4+（舍去），

故答案是：4-．

【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次根式，一元二次方程，用用含t的代数式表示出PA，PC，是解题的关键．

31．2013

【详解】试题分析：在菱形ABCD中，BD⊥AC，BD与AC互相平分，因为∠BAD=60°，所以∠BAC=30°，又因为AC=2，设BD的一半为x，则AB=2x，根据勾股定理，得AB=BD=AD=，连接,因为于，于，利用等面积法，得·AD·+·AB·=·BD·，得（+）=，所以+=1,同理可得，=2013×1=2013.

考点：菱形的相关性质和等面积法的应用

点评：该题主要考查学生对菱形性质的理解和掌握程度，同时要求学生提高对题目的观察能力，找出其中的规律．

32．

【分析】由题目中第一个图可到小正方形的边长与小等腰三角形的直角边相等，与平行四边形的短边相等，所以大正方形的对角线长度为4倍小正方形边长，设出小正方形边长，利用大正方形面积列出方程，解出方程即可

【详解】设小正方形边长为a，由题目中第一个图可到小正方形的边长与小等腰三角形的直角边相等，与平行四边形的短边相等， 所以大正方形对角线长4a，S大正方形==10×10，解得，舍去负值，得到，故填

【点睛】本题主要考查正方形的面积公式，能够用a表示出正方形对角线的长度是本题关键

33．或

【分析】根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相加即可得出答案．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6，

①如图：

由平行四边形面积公式得：BC×AE＝CD×AF＝15，

求出AE＝，AF＝3，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，

把AB＝5，AE＝代入求出BE＝，

同理DF＝3，

∴CE＝6+，CF＝3+5，

即CE+CF＝11+，

②如图：

∵AB＝5，AE＝，在△ABE中，由勾股定理得：BE＝，

同理DF＝3，由①知：CE＝6﹣，CF＝3﹣5，

∴CE+CF＝1+，

故答案为：11+或1+．

【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理的应用，主要培养学生的理解能力和计算能力，注意：要分类讨论．

34．

【分析】如图，为菱形ABCD的内切圆，作于E，先根据菱形的性质判断为等边三角形，再计算出，接着计算出圆的面积与菱形的面积比，然后利用为菱形ABCD的内切圆时，飞镖落在中的概率最大，从而得到飞镖落在中的概率的最大值．

【详解】当为菱形ABCD的内切圆时，飞镖落在中的概率最大，

如图，为菱形ABCD的内切圆，作于E，

，，

为等边三角形，

，，

，

，，

，

飞镖落在中的概率的最大值为

故答案为

【点睛】本题考查了几何概率：某事件的概率相应的面积与总面积之比也考查了菱形的性质和切线的性质．

35．1

【分析】连接QP，通过中位线定理求得PQ的长度并证明，再结合已知条件求得，最后根据即可得出答案．

【详解】如图连接PQ，

∴由中位线定理得：且，

∵，

∴，，

∵G为QD中点，

∴，

∵在与中：，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∵D为BC中点，

∴,

∴，

∴

故答案为：1．

【点睛】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．

36．菱形

【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，求出四边形ABFE是平行四边形，求出AB=AE，根据菱形的判定得出即可．

【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，即AE∥BF，

∵EF∥AB，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∵AE∥BF，

∴∠AEB=∠ABE，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE，

∴平行四边形ABFE是菱形．

故答案为菱形.

【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，能综合运用性质和判定进行推理是解此题的关键．

37．##

【分析】根据矩形的性质可知，又根据，可得，根据折叠的性质，可得，即可证得，即得，即可得出．

【详解】解： ∵四边形ABCD是矩形

∴，，

∴，

∵

∴

∵把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，

∴

在，

∴

∴，

∴

∴

∴

故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用与折叠，矩形的性质，三角全等等知识，熟练掌握三角全等知识和勾股定理的应用是解题的关键．

38．或

【分析】分两种情况：①点落在边上，根据矩形与折叠的性质易得，即可求出的值；②点落在边上，证明∽，根据相似三角形对应边成比例即可求出的值．

【详解】解：分两种情况：

①当点落在边上时，如图，

四边形是矩形，

，

将沿折叠，点的对应点落在边上，

，

，

，

；

②当点落在边上时，如图．

四边形是矩形，

，．

将沿折叠，点的对应点落在边上，

，，，

，，

，，

∽，

，

解得，舍去．

综上，所求的值为或，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，进行分类讨论与数形结合是解题的关键．

39．4

【分析】取BC的中点N，连接AN，NF，DC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得AN和NF的长，然后确定AF的范围．

【详解】解：取BC的中点N，连接AN，NF，DC，

∵Rt△ABC，AB＝3，AC＝4，

∴BC＝＝5，

∵N为BC的中点，

∴AN＝BC＝，

又∵F为BD的中点，

∴NF是△CDB的中位线，

∴NF＝DC＝，

∵﹣≤AF≤+，即1≤AF≤4．

∴最大值为4，

故答案为：4．

【点睛】本题考查圆的综合问题，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理．熟练掌握直角三角形中线定理和三角形中位线定理，能正确构造辅助线是解题关键．

40．(1)过程见解析

(2)过程见解析

【分析】对于（1），根据“ASA”证明即可；

对于（2），先根据全等三角形的对应边相等得OE=OF，再结合AE=CF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出答案．

【详解】（1）∵∠1=∠2，OB=OD，∠BOE=∠DOF，

∴△BOE≌△DOF（ASA）；

（2）∵△BOE≌△DOF，

∴OE=OF．

∵AE=CF，

∴AE+OE=CF+OF，

即AO=CO．

∵OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定等，灵活选择判定定理是解题的关键．

41．（1）见解析；（2）5；（3）存在，秒或

【分析】（1）由题意知BE=2t、AD=4t，根据Rt△ABC中∠A=60°得CD=60-4t、AE=30-2t，由DF⊥BC知DF∥AE、DF=DC=30-2t，从而得出DF=AE，据此可得证；

（2）由AD=AE，构建方程求解即可；

（3）∠FDE=90°时，证四边形BEDF是矩形得DF=BE=2t、∠ADE=∠C=30°，据此知AD=2AE=60-4t，再结合AD=4t即可求得t的值；∠DEF=90°时由AD∥EF知∠ADE=∠DEF=90°，从而得AE=2AD，据此可求得t的值．

【详解】（1）证明： ∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，

由题意知，BE=2t、AD=4t，

则CD=AC-AD=60-4t，AE=AB-BE=30-2t，

∵DF⊥BC，∠A=60°、∠B=90°，

∴∠C=30°，∠DFC=∠B=90°，即DF∥AE，

∴DF=DC=30-2t，

∴DF=AE，

∴四边形AEFD是平行四边形；

（2）解：∵动点D恰好在AF的垂直平分线上，

∴DA=DF，

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴四边形AEFD是菱形，

∴AD=AE，

∴30-2t=4t，

解得：t=5，

故当t=5时，动点D恰好在AF的垂直平分线上；

（3）解：点D、F在运动过程中存在t的值，使△DEF是直角三角形．理由如下：

如图1，当∠FDE=90°时，

∵∠DFC=∠B=∠FDE=90°，

∴四边形BEDF是矩形，

∴DF=BE=2t，DE∥BC，

∴∠ADE=∠C=30°，

∴AD=2AE=60-4t，

又AD=4t，

∴4t=60-4t，

解得：t=；

如图2，当∠DEF=90°时，

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴AD∥EF，

∴∠ADE=∠DEF=90°，

∵∠A=60°，

∴∠AED=30°，

∴AE=2AD，即30-2t=8t，

解得：t=3；

综上，当t=3或t=时，△DEF为直角三角形．

【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形、菱形、矩形的判定与性质及直角三角形的有关性质．

42．(1)见解析

(2)

【分析】（1）利用三角形的中位线证明，从而可得结论；

（2）利用三角形的中位线的性质先求解EC， 再利用勾股定理求解DE，可得BC，再利用勾股定理可得答案．

【详解】（1）证明：，分别是，的中点，

是的中位线，

，

又，

四边形是平行四边形；

（2）解：是的中点，

，

四边形的周长是，

，

，

，

在中，由勾股定理，，

，

，

又是的中位线，

，

．

【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的性质，勾股定理的应用，熟练的应用平行四边形的性质解决问题是关键．

43．(1)见详解

(2)1260°

(3)100°，8

【分析】（1）根据从n边形的一个顶点可以作（n−3）条对角线，这（n−3）条对角线要和多边形的两边组成三角形，得出把三角形分割成的三角形个数．欲证明多边形的内角和定理，可以把多边形的内角转移到三角形中，利用三角形内角和等于180°解答；

（2）设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）°，根据题意列出方程可得答案；

（3）根据多边形的内角和公式（n−2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解．

(1)

证明：如图：

∵从n边形的一个顶点可以作（n−3）条对角线，

∴（n−3）条对角线把n边形分成（n−2）个三角形，

∵这（n−2）个三角形的内角和都等于180°，

∴n边形的内角和是（n−2）•180°，

∴∠A1＋∠A2＋∠A3＋＋…＋∠An＝（n−2）•180°

(2)

解：设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）°，

由题意，得（3α＋20）＋α＝180，

解得α＝40，

即多边形的每个外角为40°，

∵多边形的外角和为360°，

∴多边形的边数为360°÷40°＝9，

内角和为（9−2）×180°＝1260°，

答：这个多边形的内角和为1260°；

(3)

设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则

（n−2）•180°＝1180°−α，

∵1180°＝6×180°＋100°，内角和应是180°的倍数，

∴小明多加的一个外角为100°，

∴这是6＋2＝8边形的内角和．

答：这个外角的度数是100°，该多边形的边数是8．

故答案是：100°，8．

【点睛】本题考查了多边形的内角和定理的证明和运用，解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°的倍数．

44．（1）见解析；（2）①；②D

【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC，AO＝CO，根据“AAS”证明△AOE≌△COF，可得OE＝OF，从而可证四边形AFCE是平行四边形；

（2）①作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的知识即可求出AH的值；

②根据图形结合平行四边形、矩形、菱形的判定逐个阶段进行判断即可.

【详解】（1）证明：在中，对角线AC，BD相交于点O.

∴，.

∴，.

∴.

∴.

∵，，

∴四边形AFCE是平行四边形.

（2）①作AH⊥BC于点H，

∵AD∥BC，∠DAC＝60°，

∴∠ACF=∠DAC＝60°，

∴AH=AC·sin∠ACF=，

∴BC上的高h=；

②在整个运动过程中，OA=OC,OE=OF,

∴四边形AFCE恒为平行四边形，

E点开始运动时，随着它的运动，∠FAC逐渐减小，

当∠FAC=∠EAC=60°时，即AC为∠FAE的角平分线，

∵四边形AFCE恒为平行四边形，

∴四边形AFCE为菱形，

当∠FAC+∠EAC=90°时，即∠FAC=30°，

此时AF⊥FC,

∴此时四边形AFCE为矩形，

综上，在点E从点D向点A运动过程中，四边形AFCE先后为平行四边形、菱形、平行四边形、矩形、平行四边形.

故选D．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定、菱形的判定及正方形的判定，及锐角三角函数的知识，主要考查学生的理解能力和推理能力，题目比较好，难度适中．

45．见解析

【详解】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，

∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD．

∵D为BC的中点，

∴CD＝DB．

∴CD∥AE       CD＝AE，

∴四边形ADCE是平行四边形．

∵AB＝AC，

∴AC＝DE．

∴平行四边形ADCE是矩形．

46．B（﹣2，﹣4），C（﹣3，﹣1）

【详解】试题分析：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，BF⊥CE于F，如图，根据正方形的性质得OC=OA，∠AOC=90°，则利用同角的余角相等得∠OAD=∠EOC，则可根据“AAS”判断△COE≌△OAD，所以OE=AD=3，CE=OD=1，同样方法可证得△BFC≌△CEO，则BF=CE=1，CF=OE=3，然后利用第三象限点的坐标特征写出B、C点坐标．

解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，BF⊥CE于F，如图，

∵A点坐标为（1，﹣3），

∴OD=1，AD=3，

∵四边形ABCD为正方形，

∴OC=OA，∠AOC=90°，

∵∠EOC+∠AOD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，

∴∠OAD=∠EOC，

在△COE和△OAD中

，

∴△COE≌△OAD，

∴OE=AD=3，CE=OD=1，

∴C（﹣3，﹣1），

同样方法可证得△BFC≌△CEO，

∴BF=CE=1，CF=OE=3，

∴B（﹣2，﹣4）．

考点：全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．

47．（1）BG=DE，BG⊥DE；（2）成立，证明见详解.

【分析】（1）根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；

（2）结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论．

【详解】解：（1）BG=DE，BG⊥DE；

∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，

∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，

∴∠BCG=∠DCE，

在△BCG和△DCE中，

 BC=DC∠BCG=∠DCE CG=CE，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴BG=DE；

延长BG交DE于点H，

∵△BCG≌△DCE，

∴∠CBG=∠CDE，

又∠CBG+∠BGC=90°，

∴∠CDE+∠DGH=90°，

∴∠DHG=90°，

∴BH⊥DE，即BG⊥DE；

（2）BG=DE，BG⊥DE仍然成立，

在图（2）中证明如下

∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形

∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°

∴∠BCG=∠DCE，

∴△BCG≌△DCE（SAS）

∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，

又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°

∴∠CDE+∠DHO=90°

∴∠DOH=90°

∴BG⊥DE．

【点睛】此题考查的知识点是正方形的性质，解答本题关键要充分利用正方形的特殊性质，利用三角形全等论证．

48．(1)等边三角形，证明见解析；

(2)证明见解析．

【分析】（1）由矩形的性质可求出．根据含角的直角三角形的性质可求出．根据E点为B点关于AP的对称点，即得出，，从而推出，即可证明FP为线段AC的垂直平分线，得出，即证明为等边三角形；

（2）当点P在线段BC上时，由题意可知，，，从而可推出，由此可证，即得出AD=AE，从而可得出AB=AD，即证明矩形ABCD为正方形．当点P在线段BC延长线上时，由正方形的性质可知AD=AE，，从而可求证，即得出．设，则．由，可得出．由，即可求出，即证明．

（1）

证明：∵四边形ABCD为矩形，，

∴，即．

∵在中，，

∴．

∵点B关于直线AP的对称点为E，

∴，，

∴，即点E为AC中点，

∴FP为线段AC的垂直平分线，

∴，

∴为等边三角形；

（2）

证明：当点P在线段BC上时，如图，

∵，

∴．

∵，

∴，

∴． 

∵点B关于直线AP的对称点为E，

∴，AB=AE．

∴在和中，，

∴，

∴AD=AE，

∴AB=AD，即矩形ABCD为正方形．

当点P在线段BC延长线上时，如图，

∵矩形ABCD为正方形，

∴AD=AE，，

∴在和中，，

∴，

∴．

设，则．

∴．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质．综合性强，较难．利用数形结合的思想是解题的关键．

49．证明：见解析；延伸：DE=EF；应用:（1）60°，（2）.

【分析】证明：延长CD至点E，使DE=CD,连结AE、BE．证明四边形ACBE是平行四边形，再证明四边形ACBE是矩形，得出CE=AB,即可得出结论;

延伸：利用直角三角形斜边的中线性质和三角形的中位线性质可得结论;

应用：（1）先证明，根据∠DEF = 90°列方程得:∠BAD的度数;

(2)先证明四边形ABCD为直角梯形，再求出AD的值，根据梯形计算公式计算即可.

【详解】证明：如图，延长CD至点E，使DE=CD，连结AE、BE

∵CD是斜边AB上的中线,

∴AD=BD，

又∵DE=CD,

∴四边形ACBE是平行四边形

又∴∠ACB = 90°，

∴四边形ACBE是矩形，

∴CE=AB，

∴.

延伸：在中, 

∵∠ADC=90°，点E是AC的中点，

∴,

∴点E、F分别为AC、BC的中点，

∴,

∵

∴,

故答案为：DE=EF

应用：（1）在延伸的条件下，∵AC平分∠BAD

∴

∵EF//AB，

∴

∵

∴

∴

又∵，

∴,

∴,

∴,

故答案为：；

（2）∵，

∴EF=1

又∵四边形CDEF是菱形，

∴，,

∵

∴

又∵,

∴四边形ABCD为直角梯形，

∴，

∴，

∴

故答案为：

【点睛】本题考查了四边形的综合问题，解题的关键是掌握三角形的中位线定理、直角三角形斜边的中线的性质、菱形的性质及直角梯形的面积等知识.由题目原型到探究再到结论，步步深入，符合认知规律．