正弦定理、余弦定理综合应用典型例题

例1.设锐角三角形的内角的对边分别为，．

（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围．

解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，

由为锐角三角形得．

（Ⅱ）

．

由为锐角三角形知，，．   ，

所以．       由此有，

所以，的取值范围为．

例2.已知的周长为，且．

（）求边的长；    （）若的面积为，求角的度数．

解：（）由题意及正弦定理，得，   ，

两式相减，得．

（）由的面积，得，

由余弦定理，得　，

所以．

例3.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（），n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝           .

例4.设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求的值；

解：由余弦定理得＝    故

例5.在△中，三个角的对边边长分别为,

则的值为          .　

例6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，

则_________________.

例7.(2009年广东卷文)已知中，的对边分别为若且，则 

【解析】

由可知, ,所以,由正弦定理得,

例8.（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于  2   ，

的取值范围为  .            

解: 设由正弦定理得

由锐角得，

又，故，

例9.（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且求b         

解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:

化简并整理得：.

又由已知.解得.         

解法二:由余弦定理得:.又,。

所以…………………………………①

又， 

，即

由正弦定理得，故………②     由①，②解得。

10.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.

解：由     cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得   cos（AC）cos（A+C）=，

        cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,         sinAsinC=.

又由=ac及正弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m       

故    ，         或   （舍去），

于是  B= 或 B=.   又由  知或    所以 B=。

例11.在中，（Ⅰ）求AB的值。  （Ⅱ）求的值。

【解析】（1）解：在中，根据正弦定理，，于是

（2）解：在中，根据余弦定理，得

于是=， 从而

例12.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，sinC=2sinB，则A=

【解析】由sinC=2sinB结合正弦定理得：，所以由于余弦定理得：

，所以A=30°.

例13．（2010年高考广东卷理科11）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,  A+C=2B,则sinC=     .

【解析】由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，，即．

由知，，则，，.

例14.在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC， ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则BAC=_______.

解析：设，则，由已知条件有

，再由余弦定理分别得到，再由余弦定理得，所以．

例15．（2010年高考北京卷理科10）在△ABC中，若b = 1，c =，，则a =          。

【解】由正弦定理，解得，又，所以，所以a = b = 1。

例16．在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

     （Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.

解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得

即        由余弦定理得    故  ，A=120° 

（Ⅱ）由（Ⅰ）得： 

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。   

例17．（2010年高考浙江卷理科18）在中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C= -。

（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC，求b及c的长。

解：（Ⅰ）因为cos2C=1-2sin2C=，及0＜C＜π      所以sinC=.

（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得  c=4

由cos2C=2cos2C-1=，J及0＜C＜π得cosC=±

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2±b-12=0

解得   b=或2    所以   b= c=4   或b=    c=4