函数的单调性的判断与证明练习题含答案

学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________

1.  下列函数中，在其定义域上为增函数的是(        ) 

A. . . .

2.  下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的是(        ) 

A. . . .

3.  下列函数在上是增函数的是(        ) 

A. . . .

4.  已知函数，则         

A.是偶函数，且在上是增函数

B.是奇函数，且在上是增函数

C.是偶函数，且在上是减函数

D.是奇函数，且在上是减函数

5.  下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为(        ) 

A. . . .

6.  已知函数，则（        ） 

A.是奇函数，且在上是增函数

B.是偶函数，且在上是增函数

C.是奇函数，且在上是减函数

D.是偶函数，且在上是减函数

7.  已知函数满足对于任意实数，都有成立，那么的取值范围是(        ) 

A. . . .

8.  给定下列函数，其中在区间上单调递增的函数是（        ） 

A. . . .

9.  函数的部分图象大致是(         ) 

A. .

C. .

10.  已知函数若，则实数的取值范围是 

A. . . .

11.  已知定义在上的函数，且，函数的图象关于点中心对称，对于任意，，都有成立．则的解集为(        ) 

A. .

C. .

12.  定义在上的函数满足：①对于任意的，都有；②当时，；③，则关于的不等式的解集是(        ) 

A. .

C. .

13.  函数的单调递增区间是________. 

14.  若＝是定义在上的减函数，则的取值范围是________. 

15.  已知是定义在上的偶函数，则实数________，此函数的单调增区间为________． 

16.  已知函数，若，则实数的取值范围为________. 

17.  符号表示不超过的最大整数，如， ，定义函数．给出下列四个命题：

①函数的定义域为，值域是；

②方程有无数个解；

③函数是奇函数；

④函数是增函数．正确命题的序号是________. 

18.  若函数是偶函数，则的递减区间是________． 

19.  已知函数，若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是________. 

20. 已知.  

判断在的单调性，并用定义加以证明；

求函在的最值.

21. 已知函数是定义在 上的奇函数．  

求实数的值；

判断函数的单调性，并利用定义证明．

22. 已知，.  

用定义证明函数在上为增函数；

若，求实数的取值范围．

23. 已知函数是奇函数．  

求实数的值；

判断的单调性（不用证明）；

求不等式的解集．

24. 已知，函数．  

判断函数在上的单调性，并证明；

设，若对任意，恒成立，求的取值范围．

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函数的单调性的判断与证明练习题含答案

一、 选择题 （本题共计 12 小题  ，每题 3 分 ，共计36分 ） 

1.

【答案】

C

【考点】

函数单调性的判断与证明

利用导数研究函数的单调性

【解析】

利用常见的幂函数，指数函数分析选项中函数的单调性，利用导数研究中函数的单调性即可得到答案.

【解答】

解：，函数在上单调递增，在上单调递减，不满足题意；

，在定义域内单调递减，不满足题意；

，的定义域为，且，

∴在其定义域上单调递增，满足题意；

，在定义域内单调递减，不符合题意.

故选.

2.

【答案】

D

【考点】

函数单调性的判断与证明

函数奇偶性的判断

【解析】

利用函数奇偶性，单调性，逐项判定得解.

【解答】

解：对于，设，，不是奇函数，故不符合题意；

对于，由题设知函数为奇函数，在，单调递减，在，单调递增，故不符合题意；

对于，函数为奇函数，在，分别单调递增，故不符合题意；

对于，可得函数为奇函数，且在定义域单调递增，故符合题意.

故选.

3.

【答案】

D

【考点】

函数单调性的判断与证明

【解析】

对于在定义域上单调递减，不符合题意；

对于函数在，上单调递减，不符合题意；

对于，定义域为，不符合题意；

对于，函数在上单调递减，在上单调递增，满足条件．

故选： . 

【解答】

解：对于，在定义域上单调递减，不符合题意；

对于，函数在，上单调递减，不符合题意；

对于，，定义域为，不符合题意；

对于，，函数在上单调递减，在上单调递增，满足条件．

故选 . 

4.

【答案】

B

【考点】

函数单调性的判断与证明

函数奇偶性的判断

【解析】

本题主要考查函数的奇偶性和单调性.

【解答】

解：易知函数的定义域为，

，

所以为奇函数.

因为在上是减函数，

所以在上是增函数，

又在上是增函数，

所以函数在上是增函数.

故选.

5.

【答案】

D

【考点】

函数奇偶性的判断

函数单调性的判断与证明

【解析】

根据奇偶性及单调性，首先判断奇偶性，再判断单调性即可.

【解答】

解：对于，函数为非奇非偶函数，故不满足题意；

对于，函数为偶函数，故不满足题意；

对于，函数为奇函数，在，上为减函数，故不满足题意；

对于，函数为奇函数，且在上是增函数，故满足题意.

故选.

6.

【答案】

A

【考点】

函数奇偶性的判断

函数单调性的判断与证明

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：因为，且定义域为，

所以，

即函数是奇函数．又在上是增函数，

在上是减函数，所以在上是增函数．

故选．

7.

【答案】

C

【考点】

函数单调性的判断与证明

分段函数的应用

【解析】

由已知可得函数是定义在上的增函数，则解得的取值范围．

【解答】

解：对于任意实数，都有成立，

故函数是定义在上的增函数，

则解得.

故选．

8.

【答案】

B

【考点】

函数单调性的判断与证明

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：对于，为二次函数，其图像的开口向下，对称轴是直线，

所以在区间上单调递减；

对于，当时，，

因为抛物线的对称轴是直线，且开口向下，所以函数在区间上单调递增；

对于，，因为，所以函数在区间上单调递减；

对于，，当且仅当时等号成立，所以由对勾函数的性质知函数在区间上单调递减．

故选．

9.

【答案】

A

【考点】

函数奇偶性的判断

函数图象的作法

函数单调性的判断与证明

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由已知函数的定义域为，定义域关于原点对称，

由于

，即，

所以是奇函数，排除选项；

因为在上为减函数，排除选项；

当时，，排除选项．

故选．

10.

【答案】

D

【考点】

函数单调性的判断与证明

函数单调性的性质

【解析】

【解答】

解：根据题意知，函数

当时，，

则函数在上单调递减，有.

当时，，

则函数在上单调递减，有.

综上可得函数在上为减函数.

若，

则，解得，

即实数的取值范围为．

故选 . 

11.

【答案】

C

【考点】

函数单调性的性质

函数奇偶性的判断

函数奇偶性的性质

函数单调性的判断与证明

【解析】

首先确定函数的奇偶性，再构造新函数，并确定奇偶性及单调性，即可解出不等式.

【解答】

解：由于的图象关于点中心对称，

则的图象关于点中心对称，

即函数在定义域上为奇函数，

令，

则，

所以为偶函数，

又，，

都有，

即可得函数在为增函数，

由奇偶性与单调性的关系可得：

函数在为增函数，

又，

由，

当时，，

所以；

当时，，

所以.

综上可得：.

故选.

12.

【答案】

A

【考点】

函数新定义问题

抽象函数及其应用

函数单调性的判断与证明

【解析】

证明函数单调递增，，变换不等式为，利用函数单调性解得答案．

【解答】

解：设，则，

即函数在上单调递增．

，

．

，

，

故满足  

解得．

故选．

二、 填空题 （本题共计 7 小题  ，每题 3 分 ，共计21分 ） 

13.

【答案】

【考点】

函数单调性的判断与证明

函数的单调性及单调区间

【解析】

讨论去绝对值，即可得到函数，从而确定单调性.

【解答】

解：当时，，此时为增函数；

当时，，此时为减函数，

所以的单调增区间为.

故答案为：.

14.

【答案】

【考点】

函数单调性的性质

函数单调性的判断与证明

对数函数的单调性与特殊点

【解析】

根据分段函数的单调性可得，解不等式组即可求解．

【解答】

由题意知，

解得，所以

故答案为：

15.

【答案】

,

【考点】

偶函数

函数单调性的判断与证明

【解析】

＝是定义在上的偶函数，对称轴为轴，进而求解．

【解答】

解：是定义在上的偶函数，

对称轴为轴，则，

于是，单调增区间为．

故答案为：；.

16.

【答案】

【考点】

函数奇偶性的性质

函数奇偶性的判断

函数单调性的判断与证明

函数的单调性及单调区间

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解，

∴是奇函数，且函数在上单调递增，

∴，

∴，解得.

故答案为：.

17.

【答案】

②

【考点】

函数的值域及其求法

函数奇偶性的判断

函数单调性的判断与证明

【解析】

根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识逐一对四个命题进行正误判断.

【解答】

解：①函数的定义域是，但是，

故函数的值域为，故①错误；

②，

∴，

∴，，，，应为无数多个，故②正确；

③的定义域是，

而，，

∴是非奇非偶函数，故③错误；

④函数在每一个单调区间上是增函数，

但在整个定义域上不是增函数，故④错误．

综上所述，②正确.

故答案为：②．

18.

【答案】

【考点】

函数奇偶性的性质

函数单调性的判断与证明

【解析】

根据偶函数的性质求出值，再根据二次函数的图象即可求出其单调减区间．

【解答】

解：因为为偶函数，所以．

即，

所以，所以．

则，其递减区间为．

故答案为：．

19.

【答案】

【考点】

函数单调性的判断与证明

函数单调性的性质

函数的图象

【解析】

可先将采用代入法转化为常规表达式，采用分类讨论去绝对值的方式，来进一步探讨不等式是否成立

，进一步确定参数的范围

【解答】

可等价转化为对任意恒成立，

当时，不等式转化为对任意恒成立，显然无解；

当时，不等式转化为，即，显然当时不成立；

当时，，即对任意恒成立，经检验，恒成立；

当时，对任意恒成立

尚需进一步讨论，当时，不等式等价于

即，令，函数开口向下，则

恒成立；

当时，，即

此时对应的对称轴为，又，则在区间为减区间，即

恒成立；

综上所述，当时，对任意，有恒成立

故答案为：

三、 解答题 （本题共计 5 小题  ，每题 10 分 ，共计50分 ） 

20.

【答案】

解：函数在上单调递增；证明如下：

设任意，

则，

故函数在上单调递增；

由的结论， 在区间，上单调递增，则的最大值，最小值.

【考点】

函数单调性的判断与证明

函数单调性的性质

【解析】

（1）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；

（2）由（1）根据函数的单调性即可解答．

【解答】

解：函数在上单调递增；证明如下：

设任意，

则，

故函数在上单调递增；

由的结论， 在区间，上单调递增，则的最大值，最小值.

21.

【答案】

解：，

由得：

，

解得．

验证，当时，，

满足题意,

∴．

为减函数.

证明：由知，

在上任取两个不相等的实数，，且，

.

由为上的增函数，，，

∴，，

则，，

∴为减函数．

【考点】

函数奇偶性的性质

函数单调性的判断与证明

【解析】

无

无

【解答】

解：，

由得：

，

解得．

验证，当时，，

满足题意,

∴．

为减函数.

证明：由知，

在上任取两个不相等的实数，，且，

.

由为上的增函数，，，

∴，，

则，，

∴为减函数．

22.

【答案】

证明：任取，，且，

所以.

因为，

所以，，

则，即，

所以函数在上为增函数.

解：由知，在上单调递增，又,

所以

解得 

即，

所以的取值范围是.

【考点】

函数单调性的判断与证明

函数单调性的性质

【解析】

根据函数的单调性的定义，采用作差法判断时的符号，即可证明.

根据中的结论得到关于的不等式组，求解即可.

【解答】

证明：任取，，且，

所以.

因为，

所以，，

则，即，

所以函数在上为增函数.

解：由知，在上单调递增，又,

所以

解得 

即，

所以的取值范围是.

23.

【答案】

解：由的定义域为，

可得，可得．

经验证，符合题意．

∴，.

∵为为增函数，且，

所以为减函数，可得在上为减函数．

由，可得，

即，

由在上为减函数，

所以，即，所以或，

故解集为．

【考点】

函数奇偶性的性质

函数单调性的判断与证明

函数单调性的性质

【解析】

（1）根据函数奇偶性的性质，利用＝进行求解即可．

（2）根据函数单调的性质进行判断即可．

（3）根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．

【解答】

解：由的定义域为，

可得，可得．

经验证，符合题意．

∴，.

∵为为增函数，且，

所以为减函数，可得在上为减函数．

由，可得，

即，

由在上为减函数，

所以，即，所以或，

故解集为．

24.

【答案】

证明：当时，在上单调递减．

任取，，

由于，所以，

所以，故在上单调递减．

解：依题意，

．

令，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

且当和时，，而当时，，

所以．

因为，

所以，

故．

因为对任意，恒成立，

所以，即，

化简得，

解得，故的取值范围是．

【考点】

函数单调性的判断与证明

函数恒成立问题

【解析】

【解答】

证明：当时，在上单调递减．

任取，，

由于，所以，

所以，故在上单调递减．

解：依题意，

．

令，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

且当和时，，而当时，，

所以．

因为，

所以，

故．

因为对任意，恒成立，

所以，即，

化简得，

解得，故的取值范围是．