2022年-有答案-山东省青岛市高一(上)期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.  集合，集合，则 

A.    B.    C.    D.

2.  命题“对，都有”的否定为（ ） 

A.对，都有    B.对，都有

C.，使得    D.，使得

3.  若角的终边经过点（），则＝（ ） 

A.    B.    C.    D.

4.  函数＝的最小正周期是（ ） 

A.    B.    C.    D.

5.  已知＝，＝，＝，则，，的大小关系为（ ） 

A.    B.    C.    D.

6.  已知函数，若＝，则＝（ ） 

A.    B.    C.    D.

7.  基本再生数与世代间隔是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型＝描述累计感染病例数随时间（（单位：天）的变化规律，指数增长率与、近似满足＝，有学者基于已有数据估计出＝，＝．据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的倍需要的时间约为（ ）（参考数据：） 

A.天    B.天    C.天    D.天

8.  已知函数，若方程＝有个不相同的解，则实数取值范围为（ ） 

A.    B.    C.    D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

  下列命题为真命题的是（ ） 

A.若，则

B.若，则

C.

D.是的充分不必要条件

  下列函数既是奇函数又是增函数的是( ) 

A.     B.

C.    D.

  已知函数＝的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）

A.    B.＝

C.函数＝为偶函数    D.

  已知定义在上的函数同时满足下列三个条件：①是奇函数；②，；③当时，＝；则下列结论正确的是（ ） 

A.的最小正周期＝

B.在[-，]上单调递增

C.的图象关于直线对称

D.当＝时，＝

三、填空题；本小题共4个小题，每小题5分，共20分。

  已知弧长为的弧所对圆心角为，则这条弧所在圆的半径为________． 

  已知为第二象限角，）＝，则＝________． 

  计算：＝________． 

  某种物资实行阶梯价格制度，具体见表：

四、解答题，本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

 从“①，＝；②方程＝有两个实数根，，＝；③，”三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答．

已知函数为二次函数，＝，＝，_______．  

（1）求函数的解析式；

（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．

 年某市某地段商业用地价格为每亩万元，由于土地价格持续上涨，到年已经上涨到每亩万元，现给出两种地价增长方式，其中＝是按直线上升的地价，＝是按对数增长的地价，是年以来经过的年数．年对应的值为．  

（1）求，的解析式；

（2）年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关，为此，该市要求年的地价相对于年上涨幅度控制在以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型．（参考数据：）

 已知函数＝），函数为奇函数．  

（1）求函数的单调递增区间；

（2）将函数＝的图象向右平移个单位，然后将所得图象上的各点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，证明：当时，．

 已知函数＝．  

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（3）若恒成立，求实数的取值范围．

 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：分钟）之间的关系为＝，，-）．

（1）求，，，的值；

（2）求盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点？

（3）某时刻（单位：分钟）时，盛水筒在过点的竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，盛水筒是否在水中？

 若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为，的定义域为，的定义域为，存在非空区间，满足：，均有，则称区间为和的“区间”．  

（1）写出＝和＝在上的一个“区间”（无需证明）；

（2）若＝，是和的“区间”，证明：不是偶函数；

（3）若，且在区间上单调递增，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点．

参与试题解析

2022学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.

【答案】

C

【考点】

交集及其运算

【解析】

先利用绝对值不等式的解法求出集合，然后再利用集合交集的定义进行求解即可．

【解答】

解：因为集合，，

所以．

故选.

2.

【答案】

C

【考点】

全称命题与特称命题

命题的否定

【解析】

利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．

【解答】

解：∵   全称命题的否定是特称命题，

∴   命题“对，都有”的否定为：，使得；

故选：．

3.

【答案】

C

【考点】

任意角的三角函数

【解析】

由题意利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果．

【解答】

角的终边经过点（），则＝＝，

4.

【答案】

C

【考点】

三角函数的周期性

三角函数中的恒等变换应用

【解析】

利用三角函数的倍角公式进行转化，结合辅助角公式进行化简求解即可．

【解答】

＝

＝

＝＝

＝），

则最小正周期＝，

5.

【答案】

C

【考点】

三角函数线

【解析】

判断，，的范围，结合三角函数值的大小进行比较即可．

【解答】

因为＝＝＝，

即，

又因为＝＝，

即，

6.

【答案】

D

【考点】

求函数的值

函数的求值

【解析】

由＝＝，得＝，由此能求出．

【解答】

∵   函数，＝，

∴   ＝＝，

∴   ＝，

∴   ＝＝＝＝．

7.

【答案】

D

【考点】

根据实际问题选择函数类型

【解析】

代入已知数据求出，即可求出的解析式，进而可以求解．

【解答】

由＝，＝，＝可得＝，

所以＝，

则＝＝，

设题中所求病例增加至倍所需天数为天，

所以＝＝，，即＝，

所以天，

8.

【答案】

A

【考点】

函数的零点与方程根的关系

【解析】

画出函数的图象，问题转化为＝和的图象有个不同的交点，结合图象，求出的范围即可．

【解答】

画出函数的图象，如图示：

，

若方程＝有个不相同的解，

则＝和的图象有个不同的交点，

结合图象，，

二、多项选择题：本题共4小题，每小题分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

【答案】

B,C,D

【考点】

命题的真假判断与应用

充分条件、必要条件、充要条件

【解析】

举反例判断，根据不等式性质判断，用配方法求最大值判断，根据对数函数性质及充分条件和必要条件概念判断．

【解答】

对于，举反例，当＝，＝时，命题为假，所以错；

对于，，，所以对；

对于，，所以对；

对于，，反之未必成立，如＝，但没有意义，不成立，

所以是的充分不必要条件，所以对．

【答案】

A,C

【考点】

奇偶性与单调性的综合

【解析】

分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足即可．

【解答】

解：，的定义域为，是奇函数，且是增函数，满足条件，故符合题意；

，是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件，故不符合题意；

，，则函数是奇函数，在上是增函数，满足条件，故符合题意；

，，则是奇函数，，，则不是增函数，不满足条件，故不符合题意．

故选．

【答案】

A,D

【考点】

由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

【解析】

结合图象求出，，代入点的坐标，求出的值，求出函数的解析式，判断，，根据函数的奇偶性判断，计算（（的值，判断．

【解答】

由图象知：＝，＝-（-）]＝，

故＝＝＝，故＝，

∵   的图象过点（-，，

∴   ＝，故＝，

∴   -＝，，故＝，，

∵   ，故＝，故＝），

对于＝），故正确；

对于＝）＝＝，故错误；

对于：∵   ）＝+）＝，（）＝（+）＝，

故）（），故不是偶函数，故错误；

对于：∵   （＝（）＝＝，

（＝（）＝＝，

故（（＝＝，故正确；

【答案】

A,B,D

【考点】

命题的真假判断与应用

【解析】

用反证法判断最小正周期，用对称性判断函数单调性，用对称条件判断，求函数值判断．

【解答】

由①得，，＝，＝，

由②得，＝（）+）＝）＝是的一个周期，

由①③得当时，＝；＝；当，时，＝＝；

由②①得，＝（+（）＝（-（），

，＝图象关于＝对称，，），

对于，由上述知，只须证为最小正周期，假设还存在正周期，，＝，

＝＝＝，

若＝，，）＝，＝＝，矛盾，

若（，，则，），）＝）＝（＝＝，矛盾，

所以假设不成立，则对；

对于，首先当时，＝是增函数，再由奇函数关于原点对称知，

当时，也是增函数，在[-，]上单调递增，则对；

对于，，）＝＝＝，

所以的图象不关于直线对称，则错；

对于，当＝时，＝＝，＝＝＝，当＝时，＝＝，＝）＝（）＝＝，则对．

三、填空题；本小题共4个小题，每小题5分，共20分。

【答案】

【考点】

弧长公式

【解析】

根据弧长公式，把相应的值代入即可求出结果．

【解答】

由弧长公式＝，可得半径＝＝＝．

【答案】

-

【考点】

同角三角函数间的基本关系

【解析】

由已知利用诱导公式可求得的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值．

【解答】

因为）＝＝＝，

可得＝，

因为为第二象限角，

则＝-＝-．

【答案】

-

【考点】

对数的运算性质

【解析】

利用指数和对数的性质、运算法则直接求解．

【解答】

＝

＝-．

【答案】

,

【考点】

根据实际问题选择函数类型

【解析】

（1）根据已知条件建立函数关系式即可；（2）根据（1）的函数解析式即可求解．

【解答】

（1）当时，＝，

当时，＝＝，

当时，＝＝，

所以函数的解析式为＝，

（2）由函数的解析式分析可得，只有＝，解得＝，

故该户的年用量为千克，

故答案为：＝，．

四、解答题，本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

【答案】

设函数的解析式为＝，

由＝，＝，可得＝，＝，

若选条件①，＝，

则的对称轴为＝，即-＝，与＝联立，

可得＝，＝，

此时＝；

若选条件②方程＝有两个实数根，，＝，

可得-＝，与＝联立，

解得＝，＝，

此时＝；

若选条件③，，

则-＝，与＝联立，

可得＝，＝，

此时＝．

因为不等式对一切实数恒成立，

所以对一切实数恒成立，

所以＝，

解得，

即实数的取值范围是，]．

【考点】

函数解析式的求解及常用方法

函数恒成立问题

二次函数的性质

二次函数的图象

【解析】

（1）设＝，由＝，＝，可得＝，＝，再根据所选条件，可得，之间的关系，解方程组即可得解；

（2）由二次函数的性质结合不等式恒成立，可得，然后求出的取值范围．

【解答】

设函数的解析式为＝，

由＝，＝，可得＝，＝，

若选条件①，＝，

则的对称轴为＝，即-＝，与＝联立，

可得＝，＝，

此时＝；

若选条件②方程＝有两个实数根，，＝，

可得-＝，与＝联立，

解得＝，＝，

此时＝；

若选条件③，，

则-＝，与＝联立，

可得＝，＝，

此时＝．

因为不等式对一切实数恒成立，

所以对一切实数恒成立，

所以＝，

解得，

即实数的取值范围是，]．

【答案】

由题意可知：＝，＝，

所以＝，且＝，解得＝，＝，

所以＝，

又＝，＝，

所以，解得＝，＝，

所以＝，

若按照模型＝，到年时，＝，＝，

直线上升是增长率为，不符合要求，

若按照模型＝，到年时，＝，＝，

对数增长的增长率为，符合要求，

综上，应该选择模型．

【考点】

根据实际问题选择函数类型

【解析】

（1）根据已知实际代入函数解析式解出，，，，即可求解；（2）分别求出两种模型的增长率，比较即可选择．

【解答】

由题意可知：＝，＝，

所以＝，且＝，解得＝，＝，

所以＝，

又＝，＝，

所以，解得＝，＝，

所以＝，

若按照模型＝，到年时，＝，＝，

直线上升是增长率为，不符合要求，

若按照模型＝，到年时，＝，＝，

对数增长的增长率为，符合要求，

综上，应该选择模型．

【答案】

）＝，

因为其为奇函数，

所以-＝，，解得＝，，

因为，

所以＝，

所以＝），

令-，，解得-，，

可得函数的单调递增区间[-，，．

证明：函数＝的图象向右平移个单位，得到函数＝）+]＝的图象，

再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数＝的图象，

因为时，，

所以＝，得证．

【考点】

正弦函数的单调性

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】

（1）由已知利用正弦函数的奇偶性，结合，可求，进而根据正弦函数的单调性即可求解的单调递增区间．

（2）根据函数＝的图象变换可求的解析式，由已知可求，分解因式可证．

【解答】

）＝，

因为其为奇函数，

所以-＝，，解得＝，，

因为，

所以＝，

所以＝），

令-，，解得-，，

可得函数的单调递增区间[-，，．

证明：函数＝的图象向右平移个单位，得到函数＝）+]＝的图象，

再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数＝的图象，

因为时，，

所以＝，得证．

【答案】

要使函数＝有意义，

则，解得，即函数的定义域为．

＝＝，

所以为偶函数．

若恒成立，则，

＝＝＝（，

因为，所以，则，

所以（，所以（，

所以＝，即，

所以实数的取值范围是．

【考点】

函数的定义域及其求法

函数奇偶性的性质与判断

函数恒成立问题

【解析】

（1）利用真数大于，可得函数的定义域；

（2）利用奇偶函数的定义，可得函数的奇偶性；

（3）若恒成立，则，求出即可求得的取值范围．

【解答】

要使函数＝有意义，

则，解得，即函数的定义域为．

＝＝，

所以为偶函数．

若恒成立，则，

＝＝＝（，

因为，所以，则，

所以（，所以（，

所以＝，即，

所以实数的取值范围是．

【答案】

由题意，＝，

由图可知的最大值为，最小值为，即，解得＝，＝，

∵   每分钟转圈，

∴   函数的周期为＝＝，可得＝，可得＝，

∵   依题意，可知当＝时，＝，即＝，可得＝-，

由-，可得＝-．

由（1）可得＝），

令＝），得）＝，取＝，解得＝，

故经过分钟后盛水筒出水后就可到达最高点．

由题意，＝），

可得）＝，可得）＝-，或（舍去），

所以）-]＝）+]＝+（-）＝，

所以再经过分钟，可得＝＝，

故盛水筒不在水中．

【考点】

由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

三角函数模型的应用

【解析】

（1）由图可知的最大值为，最小值为，由，解得，的值，求得函数的周期，利用周期公式可求，依题意，可知当＝时，＝，可得＝-，结合-，可得的值．

（2）令＝），得）＝，求解的值即可得解．

（3）由题意，＝），可得），利用两角差的正弦公式可求）-]的值，即可计算得解．

【解答】

由题意，＝，

由图可知的最大值为，最小值为，即，解得＝，＝，

∵   每分钟转圈，

∴   函数的周期为＝＝，可得＝，可得＝，

∵   依题意，可知当＝时，＝，即＝，可得＝-，

由-，可得＝-．

由（1）可得＝），

令＝），得）＝，取＝，解得＝，

故经过分钟后盛水筒出水后就可到达最高点．

由题意，＝），

可得）＝，可得）＝-，或（舍去），

所以）-]＝）+]＝+（-）＝，

所以再经过分钟，可得＝＝，

故盛水筒不在水中．

【答案】

由题意得：＝和＝的定义域是，

当，时，，，满足“区间”的定义，

故在区间上的一个“区间”可以是[，及其非空子集；

证明：由题意，当时，＝，故，

当时，＝，故，

∵   在任意区间上不恒为，故存在，使得，

又∵   ，∴   ，故不是偶函数；

证明：当时，＝，

当时，∵   ＝，（）＝，

又∵   在区间上单调递增，

故存在唯一（，，使得＝，

且当时，，当时，，

当时，，故且存在使得，

当时，，故且存在使得，

故存在，使得＝，

故在区间上存在零点．

【考点】

函数零点的判定定理

【解析】

（1）根据“区间”的定义求出＝和＝在上的一个“区间”即可；

（2）根据函数的奇偶性的定义证明即可；

（3）根据“区间”的定义以及函数的单调性，证明即可．

【解答】

由题意得：＝和＝的定义域是，

当，时，，，满足“区间”的定义，

故在区间上的一个“区间”可以是[，及其非空子集；

证明：由题意，当时，＝，故，

当时，＝，故，

∵   在任意区间上不恒为，故存在，使得，

又∵   ，∴   ，故不是偶函数；

证明：当时，＝，

当时，∵   ＝，（）＝，

又∵   在区间上单调递增，

故存在唯一（，，使得＝，

且当时，，当时，，

当时，，故且存在使得，

当时，，故且存在使得，

故存在，使得＝，

故在区间上存在零点．