-2018学年山东省青岛市市南区七年级(下)期末数学试卷

期末数学试卷

（考试时间：100分       满分：120分）

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

1．（3分）下列世界博览会会徽图案中是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

2．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．a5+a5＝a10    B．a6×a4＝a24    

C．（a2）3＝a5    D．（﹣a）2÷（﹣a2）＝﹣1

3．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（　　）

A．391人中至少有两人的生日在同一天    

B．抛掷一次硬币反面一定朝上    

C．任意买一张“周杰伦”的演唱会门票，座位号都会是2的倍数    

D．某种彩票的中奖率为%，购买1000张彩票一定能中奖

4．（3分）两根木棒的长分别是5cm和7cm，现要选择第三根木棒与前两根首尾相接组成一个三角形，若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒长度的取值情况有（　　）

A．3种    B．4种    C．5种    D．6种

5．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，且AB＝10cm，则△DEB的周长为（　　）

A．20cm    B．16cm    C．10cm    D．8cm

6．（3分）如图，下列条件中能说明AD∥BC的是（　　）

A．∠ABD＝∠BDC    B．∠ABC+∠BCD＝180°    

C．∠ADB＝∠ABC    D．∠ADB＝∠DBC

7．（3分）将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（　　）

A．    B．    C．    D．

8．（3分）如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5爬行，那么蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图象大致是（　　）

A．    B．    

C．    D．

二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

9．（3分）纳米是一种长度单位，1纳米＝10﹣9米．已知某种植物花粉的直径约为20800纳米，则用科学记数法表示该种花粉的直径约为　   　米

10．（3分）计算（﹣）﹣2+（2019﹣2018）0＝　   　．

11．（3分）将一个完全平方式展开后得到4x2﹣mx+121，则m的值为　   　．

12．（3分）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝80°，则∠BCA的度数为　   　．

13．（3分）如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论是　   　．（将你认为正确的结论的序号都填上）

14．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为　   　．

15．（3分）如图①，一种圆环的外圆直径是8cm，环宽1cm．如图②，若把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为　   　cm；如图③，若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为ycm，则y与x之间的关系式是　   　．

16．（3分）观察下列运算并填空：

1×2×3×4+1＝25＝52；

2×3×4×5+1＝121＝112：

3×4×5×6+1＝361＝192；…

根据以上结果，猜想研究n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝　   　．

三、作图题（本题满分4分）

17．（4分）已知：如图，工人师傅想在一个四边形花园（四边形ABCD）里建一个喷泉，喷泉要建在过M点与AB平行的直线上，并且到AD和CD两边的距离相等．请你帮助工人师傅确定喷泉的位置．

四、解答题（本题满分68分，共有7道小题）

18．（14分）（1）2ab•（﹣b3）

（2）利用整式乘法公式计算：（m+n﹣3）（m+n+3）

（3）先化简，再求值：（2xy）2﹣4xy（xy﹣1）+（8x2y+4x）÷4x，其中x＝﹣2，y＝﹣

19．（6分）请把下面证明过程补充完整：

已知：如图，∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，且∠1＝∠2．求证：∠A＝∠C．

证明：因为BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC（　   　），

所以∠1＝∠ABC，∠3＝∠ADC（　   　）．

因为∠ABC＝∠ADC（已知），

所以∠1＝∠3（　   　），

因为∠1＝∠2（已知），

所以∠2＝∠3（　   　）．

所以　   　∥　   　（　   　）．

所以∠A+∠　   　＝180°，∠C+∠　   　＝180°（　   　）．

所以∠A＝∠C（　   　）．

20．（6分）如图所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6；

（1）若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是多少

（2）请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为．

21．（8分）如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长，为什么

22．（10分）一水果贩子在批发市场按每千克元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：

（1）农民自带的零钱是多少

（2）降价前他每千克西瓜出售的价格是多少

（3）随后他按每千克下降元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450元，问他一共批发了多少千克的西瓜

（4）请问这个水果贩子一共赚了多少钱

23．（12分）我们来定义下面两种数

（1）平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数＝（最左边数）2+（最右边数）2，我们就称该整数为平方和数：例如：对于整数251．它中间的数字是5，最左边数是2，最右边数是1．∵22+12＝5，∴251是一个平方和数，又例如：对于整数3254，它的中间数是25，最左边数是3，最右边数是4，∵32+42＝25∴3254是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；

（2）双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数＝2×最左边数×最右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，最左边数是1，最右边数是3，∵2×1×3＝6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，最左边数是3，最右边数是5，∵2×3×5＝30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；

注意：在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分拆出来的最左边数，用字母b

表示该整数分拆出来的最右边数，请根据上述定义完成下面问题：

①若一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为　   　；若一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为　   　；

②若一个整数既为平方和数，又是双倍积数，则a，b应满足什么数量关系请说明理由．

③若（即这是个最左边数为a，中间数为625，最右边数为b的整数，以下类同）是一个平方和数，是一个双倍积数，a+b的值为　   　，a﹣b的值为　   　，a2﹣b2的值为　   　．

24．（12分）如图①，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF，连接CF．

（1）若AB＝AC，∠BAC＝90°

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探究CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．

②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图②中画出相应图形并直接写出你的猜想．

（2）如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA＝45°，点D在线段BC上运动，试探究CF与BC的位置关系，并说明理由．

2017-2018学年山东省青岛市市南区七年级（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

1．（3分）下列世界博览会会徽图案中是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．

【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项错误；

B、不是轴对称图形，本选项错误；

C、不是轴对称图形，本选项错误；

D、是轴对称图形，本选项正确．

故选：D．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．a5+a5＝a10    B．a6×a4＝a24    

C．（a2）3＝a5    D．（﹣a）2÷（﹣a2）＝﹣1

【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．

【解答】解：∵a5+a5＝2a5，故选项A错误，

∵a6×a4＝a10，故选项B错误，

∵（a2）3＝a6，故选项C错误，

∵（﹣a）2÷（﹣a2）＝a2÷（﹣a2）＝﹣1，故选项D正确，

故选：D．

【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．

3．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（　　）

A．391人中至少有两人的生日在同一天    

B．抛掷一次硬币反面一定朝上    

C．任意买一张“周杰伦”的演唱会门票，座位号都会是2的倍数    

D．某种彩票的中奖率为%，购买1000张彩票一定能中奖

【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断．

【解答】解：A、是必然事件，故本选项正确，

B、不一定发生，是随机事件，故本选项错误，

C、不一定发生，是随机事件，故本选项错误，

D、不一定发生，是随机事件，故本选项错误，

故选：A．

【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

4．（3分）两根木棒的长分别是5cm和7cm，现要选择第三根木棒与前两根首尾相接组成一个三角形，若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒长度的取值情况有（　　）

A．3种    B．4种    C．5种    D．6种

【分析】首先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据第三边是偶数确定其值．

【解答】解：根据三角形的三边关系，得

第三根木棒的长大于2cm而小于12cm．

又第三根木棒的长是偶数，则应为4cm，6cm，8cm，10cm．

故选：B．

【点评】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边大于两边之差而小于两边之和．注意：偶数这一条件．

5．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，且AB＝10cm，则△DEB的周长为（　　）

A．20cm    B．16cm    C．10cm    D．8cm

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出BE＝DE，由角平分线的性质可得出DE＝DC、AE＝AC，根据周长的定义即可得出C△DEB＝BE+DE+BD＝AB＝10，此题得解．

【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴∠B＝45°，

∴△BDE为等腰直角三角形，

∴BE＝DE．

∵AD平分∠CAB交BC于D，

∴DE＝DC，AE＝AC，

∴C△DEB＝BE+DE+BD＝BE+DC+BD＝BE+BC＝BE+AE＝AB＝10cm．

故选：C．

【点评】本题考查了等腰直角三角形以及角平分线的性质，根据角平分线的性质结合等腰直角三角形的性质找出BE＝DE、DE＝DC、AE＝AC是解题的关键．

6．（3分）如图，下列条件中能说明AD∥BC的是（　　）

A．∠ABD＝∠BDC    B．∠ABC+∠BCD＝180°    

C．∠ADB＝∠ABC    D．∠ADB＝∠DBC

【分析】根据平行线的判定定理逐一判断，排除错误答案．

【解答】解：A、∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD，故A选项错误；

B、∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，故B选项错误；

C、由∠ADB＝∠ABC，无法说明AD∥BC，故C选项错误；

D、∵∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC，故D选项正确．

故选：D．

【点评】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．

7．（3分）将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．

【解答】解：严格按照图中的顺序向右上翻折，向左上角翻折，剪去左上角，展开得到结论．

故选：B．

【点评】本题考查的是剪纸问题，此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．

8．（3分）如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5爬行，那么蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图象大致是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】从A1到A2蚂蚁是匀速前进，随着时间的增多，爬行的高度也将由0匀速上升，从A2到A3随着时间的增多，高度将不再变化，由此即可求出答案．

【解答】解：因为蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1⇒A2⇒A3⇒A4⇒A5爬行，从A1⇒A2的过程中，高度随时间匀速上升，从A2⇒A3的过程，高度不变，从A3⇒A4的过程，高度随时间匀速上升，从A4⇒A5的过程中，高度不变，

所以蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图象是B．

故选：B．

【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际情况采用排除法求解．

二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

9．（3分）纳米是一种长度单位，1纳米＝10﹣9米．已知某种植物花粉的直径约为20800纳米，则用科学记数法表示该种花粉的直径约为　×10﹣5　米

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：20800纳米×10﹣9＝×10﹣5米．

故答案为：×10﹣5．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

10．（3分）计算（﹣）﹣2+（2019﹣2018）0＝　5　．

【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝4+1

＝5．

故答案为：5．

【点评】此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．

11．（3分）将一个完全平方式展开后得到4x2﹣mx+121，则m的值为　±44　．

【分析】根据完全平方公式即可求出答案．

【解答】解：∵（2x±11）2＝4x2±44x+121

∴﹣m＝±44，

∴m＝±44，

故答案为：±44

【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．

12．（3分）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝80°，则∠BCA的度数为　60°　．

【分析】可证明△COD≌△COB，得出∠D＝∠CBO，再根据∠BAC＝80°，得∠BAD＝100°，由角平分线可得∠BAO＝40°，从而得出∠DAO＝140°，根据AD＝AO，可得出∠D＝20°，即可得出∠CBO＝20°，则∠ABC＝40°，最后算出∠BCA＝60°

【解答】解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，

∴∠ACO＝∠BCO，

在△COD和△COB中，

，

∴△COD≌△COB，

∴∠D＝∠CBO，

∵∠BAC＝80°，

∴∠BAD＝100°，

∴∠BAO＝40°，

∴∠DAO＝140°，

∵AD＝AO，∴∠D＝20°，

∴∠CBO＝20°，

∴∠ABC＝40°，

∴∠BCA＝60°，

故答案为：60°．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决此题的关键．

13．（3分）如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论是　①②③　．（将你认为正确的结论的序号都填上）

【分析】此题考查的是全等三角形的判定和性质的应用，只要先找出图中的全等三角形就可判断题中结论是否正确．

【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，

∴△ABE≌△ACF，

∴AC＝AB，BE＝CF，即结论②正确；

∵AC＝AB，∠B＝∠C，∠CAN＝∠BAM，

∴ACN≌△ABM，即结论③正确；

∵∠BAE＝∠CAF，

∵∠1＝∠BAE﹣∠BAC，∠2＝∠CAF﹣∠BAC，

∴∠1＝∠2，即结论①正确；

∴△AEM≌△AFN，

∴AM＝AN，∴CM＝BN，

∴△CDM≌△BDN，∴CD＝BD，

∴题中正确的结论应该是①②③．

故答案为：①②③．

【点评】此题考查了三角形全等的判定和性质；对图中的全等三角形作出正确判断是正确解答本题的关键．

14．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为　30°　．

【分析】分别分别作点P关于OB、AO的对称点P′、P″，分别连OP′、OP″、P′P″交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P′OP″为等边三角形，∠AOB═∠P′OP″＝30°．

【解答】解：分别作点P关于OB、AO的对称点P′、P″

分别连OP′、OP″、P′P″交OB、OA于M、N

由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP＝P′N+NM+MP″＝P′P″

∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小

∴P′P″＝5

由对称OP＝OP′＝OP″＝5

∴△P′OP″为等边三角形

∴∠P′OP″＝60°

∵∠P′OB＝∠POB，∠P″OA＝∠POA

∴∠AOB＝∠P′OP″＝30°．

故答案为：30°．

【点评】本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质．

15．（3分）如图①，一种圆环的外圆直径是8cm，环宽1cm．如图②，若把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为　14　cm；如图③，若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为ycm，则y与x之间的关系式是　y＝6x+2　．

【分析】根据题意和图形可以分别求得把2个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度和把x个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度．

【解答】解：由题意可得，

把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为：8+（8﹣1﹣1）＝14cm，

把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为y与x之间的关系式是：y＝8+（8﹣1﹣1）（x﹣1）＝6x+2，

故答案为：14，y＝6x+2．

【点评】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

16．（3分）观察下列运算并填空：

1×2×3×4+1＝25＝52；

2×3×4×5+1＝121＝112：

3×4×5×6+1＝361＝192；…

根据以上结果，猜想研究n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝　（n2+3n+1）2　．

【分析】等号左边是4个连续的整数的积加1即n（n+1）（n+2）（n+3）+1，等号右边对应的规律为（n2+3n+1）2．

【解答】解：等号右边的底数分别为

5＝1+3+1

11＝22+2×3+1

19＝32+3×3+1

下一个为等号左边为：4×5×6×7+1

等号右边为：42+3×4+1＝29，

…

则第n个式子为：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2．

【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于找到等式右边的规律（n2+3n+1）2．

三、作图题（本题满分4分）

17．（4分）已知：如图，工人师傅想在一个四边形花园（四边形ABCD）里建一个喷泉，喷泉要建在过M点与AB平行的直线上，并且到AD和CD两边的距离相等．请你帮助工人师傅确定喷泉的位置．

【分析】点P为∠ADC的角平分线与过M点与AB平行的直线的交点上．

【解答】解：如图所示：

所以点P即为所求．

【点评】本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．

四、解答题（本题满分68分，共有7道小题）

18．（14分）（1）2ab•（﹣b3）

（2）利用整式乘法公式计算：（m+n﹣3）（m+n+3）

（3）先化简，再求值：（2xy）2﹣4xy（xy﹣1）+（8x2y+4x）÷4x，其中x＝﹣2，y＝﹣

【分析】（1）原式利用单项式乘以单项式法则计算即可求出值；

（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；

（3）原式利用积的乘方运算法则，单项式乘以多项式，以及多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．

【解答】解：（1）原式＝﹣ab4；

（2）原式＝（m+n）2﹣9＝m2+2mn+n2﹣9；

（3）原式＝4x2y2﹣4x2y2+4xy+2xy+1＝6xy+1，

当x＝﹣2，y＝﹣时，原式＝6+1＝7．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．（6分）请把下面证明过程补充完整：

已知：如图，∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，且∠1＝∠2．求证：∠A＝∠C．

证明：因为BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC（　已知　），

所以∠1＝∠ABC，∠3＝∠ADC（　角平分线的定义　）．

因为∠ABC＝∠ADC（已知），

所以∠1＝∠3（　等式的性质　），

因为∠1＝∠2（已知），

所以∠2＝∠3（　等量代换　）．

所以　AB　∥　CD　（　内错角相等，两直线平行　）．

所以∠A+∠　ADC　＝180°，∠C+∠　ABC　＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）．

所以∠A＝∠C（　等式的性质　）．

【分析】根据角平分线定义和已知求出∠2＝∠3，推出AB∥CD，根据平行线的性质和已知求出即可．

【解答】证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC（已知），

∴∠1＝∠ABC，∠3＝∠ADC（角平分线定义），

∵∠ADC＝∠ABC，

∴∠1＝∠3（等式的性质），

∵∠1＝∠2，

∴∠2＝∠3（等量代换），

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），

∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），

∴∠A＝∠C（等式的性质），

故答案为：已知，角平分线的定义，等式的性质，等量代换，AB∥CD，内错角相等，两直线平行，ADC，ABC，两直线平行，同旁内角互补，等式的性质．

【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．

20．（6分）如图所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6；

（1）若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是多少

（2）请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为．

【分析】（1）先求出奇数区在整个转盘中所占的分数，再根据概率的几何意义便可解答；

（2）根据指针指向阴影部分区域的概率＝阴影部分所占的份数与总份数的商即可得出结论．

【解答】解：（1）P（指针指向奇数区域）＝；

答：自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是；

（2）方法一：如图所示，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向阴影部分区域的概率为；

方法二：自由转动转盘，当它停止时，指针指向的数字不大于4时，指针指向的区域的概率是．

【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．

21．（8分）如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长，为什么

【分析】本题是测量两点之间的距离方法中的一种，符合全等三角形全等的条件，方案的操作性强，只要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施．

【解答】解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，

∴∠ABC＝∠EDC＝90°，

又∵直线BF与AE交于点C，

∴∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），

∵CD＝BC，

∴△ABC≌△EDC，

∴AB＝ED，

即测得DE的长就是A，B两点间的距离．

【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，做题时要注意寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．

22．（10分）一水果贩子在批发市场按每千克元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：

（1）农民自带的零钱是多少

（2）降价前他每千克西瓜出售的价格是多少

（3）随后他按每千克下降元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450元，问他一共批发了多少千克的西瓜

（4）请问这个水果贩子一共赚了多少钱

【分析】（1）图象与y轴的交点就是农民自带的零钱；

（2）0到80时线段的斜率就是西瓜的售价；

（3）计算出降价后卖出的西瓜+未降价卖出的质量＝总共的西瓜；

（4）赚的钱＝总收入﹣批发西瓜用的钱．

【解答】解：（1）由图可得农民自带的零钱为50元，

答：农民自带的零钱为50元；

（2）（330﹣50）÷80

＝280÷80

＝元，

答：降价前他每千克西瓜出售的价格是元；

（3）（450﹣330）÷（﹣）＝120÷3＝40（千克），

80+40＝120千克，

答：他一共批发了120千克的西瓜；

（4）450﹣120×﹣50＝184元，

答：这个水果贩子一共赚了184元钱．

【点评】此题考查的是用一次函数解决实际问题，结合图象，读懂题意解决问题．

23．（12分）我们来定义下面两种数

（1）平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数＝（最左边数）2+（最右边数）2，我们就称该整数为平方和数：例如：对于整数251．它中间的数字是5，最左边数是2，最右边数是1．∵22+12＝5，∴251是一个平方和数，又例如：对于整数3254，它的中间数是25，最左边数是3，最右边数是4，∵32+42＝25∴3254是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；

（2）双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数＝2×最左边数×最右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，最左边数是1，最右边数是3，∵2×1×3＝6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，最左边数是3，最右边数是5，∵2×3×5＝30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；

注意：在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分拆出来的最左边数，用字母b

表示该整数分拆出来的最右边数，请根据上述定义完成下面问题：

①若一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为　390　；若一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为　241或142　；

②若一个整数既为平方和数，又是双倍积数，则a，b应满足什么数量关系请说明理由．

③若（即这是个最左边数为a，中间数为625，最右边数为b的整数，以下类同）是一个平方和数，是一个双倍积数，a+b的值为　35　，a﹣b的值为　±5　，a2﹣b2的值为　±175　．

【分析】①根据题意构造a、b关系式计算即可；

②根据定义，这个整数既为平方和数，又是双倍积数则有a2+b2＝2ab，由完全平方公式问题可解；

③根据定义可知a2+b2＝625，2ab＝600，再由完全平方公式和平方差公式问题可解；

【解答】解：①若一个三位整数为平方和数，且十位数为9

由已知9＝a2+b2

由a、b为0﹣9整数，则试数可知

a＝0，b＝3或a＝3，b＝0

由于百位数字不能为0

故此数为390

若一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4

4＝2ab，即ab＝2

由a、b为0﹣9整数

则a＝2，b＝1或a＝1，b＝2

则此数为241或142

故答案为：390，241或142

②a＝b

若一个整数既为平方和数，又是双倍积数

则有a2+b2＝2ab

∴（a﹣b）2＝0

则a＝b

③若是一个平方和数

∴a2+b2＝625

若是一个双倍积数

∴2ab＝600

∴a2+b2+2ab＝625+600＝1225＝352

a2+b2﹣2ab＝625﹣600＝25＝252

∴a+b＝35

a﹣b＝±5

∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝±175

故答案为：35，±5，±175

【点评】本题考查因式分解相关问题，涉及到完全平方公式和平方差公式，解答时注意按照题意构造等式．

24．（12分）如图①，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF，连接CF．

（1）若AB＝AC，∠BAC＝90°

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探究CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．

②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图②中画出相应图形并直接写出你的猜想．

（2）如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA＝45°，点D在线段BC上运动，试探究CF与BC的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF＝∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，

②先求出∠CAF＝∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；

（2）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC＝AE，∠AED＝45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF＝∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF＝∠AED，然后求出∠BCF＝90°，从而得到CF⊥BD．

【解答】解：（1）①CF＝BD，CF⊥BD，理由如下：

∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，

∴∠CAF+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，

∴∠CAF＝∠BAD，

在△ACF和△ABD中，，

∴△ACF≌△ABD（SAS），

∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD＝45°，

∵∠ACB＝45°，

∴∠FCB＝90°，

∴CF⊥BD；

②成立，理由如下：如图2：

∵∠CAB＝∠DAF＝90°，

∴∠CAB+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，

即∠CAF＝∠BAD，

在△ACF和△ABD中，，

∴△ACF≌△ABD（SAS），

∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，

∴CF⊥BD；

（3）如图3，

过点A作AE⊥AC交BC于E，

∵∠BCA＝45°，

∴△ACE是等腰直角三角形，

∴AC＝AE，∠AED＝45°，

∵∠CAF+∠CAD＝90°，∠EAD+∠CAD＝90°，

∴∠CAF＝∠EAD，

在△ACF和△AED中，，

∴△ACF≌△AED（SAS），

∴∠ACF＝∠AED＝45°，

∴∠BCF＝∠ACF+∠BCA＝45°+45°＝90°，

∴CF⊥BD．

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键，此类题目的特点是各小题求解思路一般都相同．