结构力学 第七章 结构位移计算

到上节课为止，我们把五种静定杆件结构的计算问题全讨论过了。我们知道内力计算问题属强度问题→是结力讨论的首要任务。

讲第一章时，结力的第二大任务：刚度问题，而要解决…，首先应该…

杆件结构位移计算

结构位移计算的依据是虚功原理，所以本章先讨论刚体、变形体的虚功原理，然后推导出杆件结构位移计算的一般公式，再讨论各种具体结构的位移计算。

§7-1概述 

一、结构的位移

画图：梁、刚架、桁架  （内力N、Q、M——拉伸、剪切、弯曲）

截面C线位移：。一般 分解成水平、垂直两方向：、

      角位移：

截面C线位移： 

      角位移： 

结点的线位移：                         两点（截面）相对线位移：       

杆件的角位移：                        两截面相对角位移：

两杆件相对角位移：

1、位移定义：由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生（相对）移动（线位移），使杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。

2、位移的分类：6种

绝对位移：点（截面）线位移——分解成水平、垂直两方向

          截面角位移：

          杆件角位移：

相对位移：两点（截面）相对线位移——沿连线方向

          两截面相对角位移：

          两杆件相对角位移：

统称为：

广义位移：角、线位移；相对、绝对位移

Δki：k：产生位移的方向；i：引起位移原因。如ΔAP、Δat、ΔAC

广义力：集中力、力偶、分布荷载，也可以是上述各种力的综合

二、引起位移的原因

1、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移）

2、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力非0应变→结构变形

（材料胀缩引起的位移性质同）

3、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置发生变化)

1）刚度验算：最大挠度的

（框架结构弹性层间位移限值1/450）

2）为超静定结构的弹性分析打下基础

3）预先知道变形后的位置，以便作出一定的施工措施：

（起重机吊梁、板）（屋架安装）（建筑起拱）（屋窗、门、过梁）（结构要求高，精密） 

四、计算位移的有关假定  （简化计算）

1）弹性假设

2）小变形假设

建立平衡、应变与位移、位移与荷载成线性关系

3）理想约束（联结，不考虑阻力摩擦）

4）位移叠加原理（类似内力、反力叠加）

§7-2 变形体系的虚功原理

一、位移

实位移：外因作用下结构实际位移

虚位移：根据解题需要，虚设位移状态 （满足变形协调＋边界条件）

统称为：广义位移

二、功：

力所做的功：该力大小乘以力方向上的相应位移

常力的功：　T＝P×Δ＝P×D×cosa  （大小、方向、作用点不变）

变力的功：Ｔ＝＝P×cos（，ds）×ds

力偶所做的功：

功两要素：力与位移P：广义力（力、力偶、相对力、相对力偶）

Δ：和广义力相对应的广义位移（线、角、相对线、相对角）

注意：在定义功T时，没有说位移Δ是由力引起的，可能由P或其它原因，但P力照样作功。

例：简支梁，两个集中力，分别作用，先后作用。

可以看出：不论位移是否由内力引起，只要在力的作用方向上有位移，该力就对位移作功。

引出功的形式有两种：

实功：力与位移相关。  力在其本身引起的位移上所做的功。积分得：T=P×相对位移/2，恒正

虚功：力与位移无关。  力在由其它原因（别的力、温度变化……）引起的位移上所做的功，T’＝力×位移

注：①力：广义力；位移：广义位移

②虚功并非不存在之意，力和位移是分别属于同一体系的两种彼此无关的状态，只强调作功的力与位移彼此无关：做功的位移不是由力引起的，而是由其它因素（其它力、其它外因）引起的

③作虚功的位移，并不限于荷载引起的，也可以由其它原因引起的。

④实功恒为正，虚功可正可负

⑤两种功计算方法不同

本章讨论虚功原理，目的是为了研究结构的实际状态：

1）未知力：虚位移

2）求位移：虚力

所以作虚功时，力状态和位移状态是彼此无关的，其中任一可以虚设，但并不是随便假设。

所以对于虚功，应该强调两点：

1）假设的这种虚位移（或虚力）和所研究的实际力系（或实际位移）完全无关，可以地按照我们的目的而虚设；

2）假设的虚位移（或虚力）在所研究的结构上应该是可能存在的位移（或力）状态；

也就是：位移状态：应该满足结构的变形协调条件，边界条件

　力状态：应该满足结构的平衡条件。

对于某一刚体体系，存在一个力状态，满足静力平衡条件

 同时存在一个位移状态，满足变形协调条件＋边界条件           两种状态无关

，对于力状态中所有外力对位移状态中对应的位移所做虚功总和为0。

注意：力状态、位移状态可以分别是虚设的，则：虚功原理有两种形式：

虚位移原理：求力

虚力原理：求位移

1、虚位移原理，求静定结构的约束力（支反力或内力）（结合例题）

单位位移法：在拟求未知力X方向虚设单位位移，利用几何关系求δP 。

特点：利用几何方法求解静力平衡问题。

2、虚力原理，求刚体体系的位移（结合例题）

单位荷载法：在待求位移方向虚加一个单位荷载（两者对应，以达作虚功的目的）

特点：用静力平衡的方法来求解几何问题。推广到变形体的位移计算。

3、静定结构在支座移动时的位移计算（结合例题）

上面2的方法可以推广一下：从上节课的分析可知，静定结构在支座移动时，不产生任何内力及变形，因此结构的位移纯属刚体位移，可以利用刚体体系的虚功方程求解。

例：

四、变形体体系的虚功原理

1、弯曲转角、轴向伸缩变形、横向剪切错动：

刚体体系的虚功原理不再适用，但可以将之推广：

由能量守恒： H：外部吸收的能量；W：外力所做的功

  T：动能；U：变形能的增加(内力做功)；E：结构能量的改变

若加载缓慢，不考虑能量损耗：

W＝U   外力所做的功＝结构形变能的变化=内力所做的功

变形体体系上第Ⅰ状态的外力沿第Ⅱ状态中相应的位移所作的虚功（外力虚功）=变形体体系上第Ⅰ状态的内力沿第Ⅱ状态中相应的变形（应变）所作的虚功（内力虚功）。

2、形变能：由于结构的材料发生变形而储存在结构内部的能量，等于加载过程中内力所做的功：

任一隔离体          轴向拉伸或压缩        剪切错动           弯曲变形

U=内力所做的功

对任一微段： 

若各微段的变形连续分布：对一杆件

对整个结构而言： 

3、虚功方程

   外力虚功=内力虚功

例：

实际力状态：外力：P；

内力：N、Q、M    满足平衡条件              

实际位移状态：位移：Δ；

              变形：    满足相容条件

虚位移状态：虚位移： 

            虚变形： 

虚力状态：虚外力： 

          虚内力： 

虚位移原理：实际力状态+虚位移状态

虚力原理：实际位移状态+虚力状态

实

虚位移原理

力系平衡

注：

虚功原理

力与位移无关

1）

虚

实

虚

虚力原理

功能原理

位移相容

也就是说： 

作功的外力和内力组成力状态应满足平衡条件；位移和应变（变形）、位移状态应满足变形协调条件和边界条件。这两种状态是彼此无关的，其中一个可以虚设，计算结构位移时应取实际的位移状态，再虚设一种平衡的力状态进行求解（虚力原理）。

2）上式变形体体系的虚功原理适用于所有变形体体系（二维板壳结构和三维块体），我们用于一维杆件结构的变形体体系的虚功原理。

3）实际的力状态或虚设的力状态（内外力）均应满足的静力平衡条件。 

4）杆件结构的每一个杆件的位移状态（实际或虚设）均应满足：①任一微段满足应变～位移关系；②边界位移满足约束边界条件。

这两个条件即为变形协调条件，如果一个杆件的位移状态满足这两个条件，则称这种状态能满足变形协调条件或称他是几何可能的位移状态。

§7-3位移计算的一 般公式（单位荷载法）

一、基本公式的推导：

例（P107页图7-5）：一刚架：在外荷载、支座位移及温度变化等作用下而发生变形→产生位移，要求：任一点K沿指定方向K-K的位移分量Δka，实际位移状态5-14a，Ca实际的支座位移，εa、γa、κa，实际的轴向应变、剪切角、曲率。

仿照刚体体系求位移方法（单位荷载法）：取实际的位移状态作为位移状态，虚设一个力状态，越简单越好，且要求和Δka相对应，使虚功方程含Δka，要求对Δka作虚功，所以沿K-K方向虚加一无量纲的单位荷载PK=1（单位荷载法），则结构在虚单位荷载作用下，支座C产生虚反力，，产生内力，，组成一个平衡的力状态，和原位移状态无关（虚）。例：5-14b）

外力虚功

内力虚功

由虚力原理建立虚力方程得：

因此： 

二、公式应用说明：

1、引起位移的外因可以是荷载，也可以是初应变、支座位移、温度变化、装配误差、制造误差、材料胀缩等。

2、引起位移的变形可以是弯曲变形，也可以是轴向变形或剪切变形，同时含刚体位移。

3、所能计算的位移可以是线位移，也可以是角位移或相对线（角）位移，也就是广义位移。

4、杆件结构的类型可以是梁、刚架、桁架、拱或组合结构，它们可以是静定的，也可以是超静定的。

5、材料可以是弹性，也可以是非弹性的。

6、应用这个公式每次可以求一个广义位移分量。沿待求位移方向加虚单位力时指向可以任意假设，若求得的位移为正值，则表示实际位移的指向和假设单位力的指向相同。

7、所加的虚单位广义力应该和所求的广义位移对应。

1）求某点（截面）的线位移：水平、竖向、某方向、总的线位移，沿所求线位移方向加单位力。

ΔCV       ΔCV

（方向未知时，求ΔCV、ΔCH→ΔC）

2）结构上某截面C的角位移，单位力偶。

      3）杆件角位移θAB，加两集中力组成的单位力偶

4）A、B两点沿其连线方向的相对位移ΔAB，其连线上加两个方向相反的单位力

    5）两截面相对角位移，两截面上加两方向相反的单位力偶。

θC左右       θAB

6）两杆件的相对角位移

两个方向相反的单位力偶如图，每个单位力偶由两个集中力形成。

前述广义位移主要有六种形式，相应的广义力也有六种，两者一致。

§7-4 静定结构在荷载作用下的位移计算

一、一般公式

若引起位移的外因仅是荷载，即仅考虑荷载作用：

1）支座位移C =0，也无温度影响；

2）微段变形du，rds，d是由实际荷载在ds微段引起的轴向、剪切和弯曲变形,记为：duP，rPds，d。设NP、QP、MP分别表示实际荷载作用下结构内微段的轴力、剪力、弯矩。

对于线弹性材料，由材料力学公式知：

，   ，   

注：①杆件的拉伸刚度       剪切刚度       弯曲刚度

②——剪应力沿截面分布不均匀的修正系数，和截面形状有关。

这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。

单位荷载法：沿所求位移方向虚设单位荷载求所求结构位移的方法

二、公式说明

1、、、：引起的内力    对于静定结构均可由平衡条件求解

、、：实际荷载引起的内力。两组内力符号规定一致

2、EA、EI、GA：抗拉、抗弯、抗剪刚度。位移与截面有关

3、：杆件长度积分；：各杆件和积分值求和——积分法

建立内力函数时，实际状态与虚拟状态的坐标应取为一致。

4、对于不同类型的结构，上式可以简化： 

1）梁、刚架：以弯曲变形为主，轴向、剪切变形很小，可以略去。（结合例题说明）

例：P112页图7-10。

2）桁架：只有轴力，且同一杆件的轴力、NP及EA沿杆长度l均为常数。

例：P113页图7-12。

3）拱： 

一般取一项，但当拱轴线→压力线成为合理拱轴时，N为主要时取两项。

4）组合结构：

5、计算基本步骤：

（1）；（2）、、；（3）、、；（4）代入公式

三、公式应用：

这种直接利用公式积分求位移的方法：积分法。

注意：①各杆可根据需要取不同坐标轴，列内力表达式；

②同一杆两种状态内力表示时，坐标轴应相同；

③同一杆件，两种状态下，内力正负号规定应相同；

④须对所有杆件叠加，不能遗漏。

§7-5  图乘法

梁式杆件在荷载作用下位移计算公式：

因为一般情况下，每杆的、MP变化规律各不相同，同一杆荷载复杂时，分好几段列方程，你必须每个杆取一坐标系，列弯矩方程、积分、叠加。当1）杆件较多；2）荷载较复杂时，求解起来比较困难。将内力与内力图联系起来——图乘法

一、图乘计算原理及计算公式

1、条件：①对于一段等截面直杆；

②当EI沿长度方向不变时，（工程中梁、刚架、组合结构的杆件大多是等截面直杆且由同一材料做成）；

③分别作出该段杆的、MP图，若其中有一个图形乃直线图形。

杆段图： 

P114页图7-13。

说明：（dw= MP(x)dx；dx很小→小矩形）=，几何意义：微面积dw对y轴的面积矩；：AB段MP图的面积wp对y轴的面积矩。用x0表示MP面积的形心到y轴的距离，则根据材力（理力）的分析：MP图的面积wp对y轴的面积矩=MP图的面积wp*该图形的形心到y轴的距离x0，也就是： =wp•x0。所以：上式=

其中y0k为图中与MP图的形心相对应的竖标。

当然：如果MP图为直线图形，图为直线或曲线图形，可得类似结果。

结论：对于一般EI=常数的等截面直杆，求由弯矩引起的位移时，若图是直线图形： =；若MP图为直线图形： =，这两个式子就是图乘公式。

如果结构上每一个杆均可图乘，则Σ=Σ

图乘法求位移把列弯矩方程，求积分的问题→作M图，求面积、形心、竖标的问题，如果作M图比较熟练，那么当1）杆件较多，2）荷载较复杂，图乘法比积分法方便、优越。

二、公式应用说明：

1、注意应用的三个条件

2、符号：图和MP图在同侧（积分值为正，所以…），（w和y0在杆件基线的同侧时）w、y0为+，否则为- 。面积、形心、竖标三者关系。

3、几种常见图形的面积和形心位置（P115页图7-14。）

a)三角形：面积w=lh/2，形心2l/3（直角）；面积w=lh/2，形心(l+a)/3

b)全二次抛物线（上凸）：面积w=2lh/3，形心l/2

c)二次抛物线（上凸）：面积w=2lh/3，形心5l/8

d)二次抛物线：面积w=lh/3，形心3l/4

e)三次抛物线：面积w=lh/4，形心4l/5

f)n次抛物线：面积w=lh/(n+1)，形心(n+1)l/(n+2)

抛物线顶点：顶点处的切线与基线平行。

4、图乘法的关键：求w；形心的位置；y0，但应注意其三个应用条件。对于简单图形，确定w、形心的位置及y0均比较容易；对于复杂图形，确定w、形心的位置及y0均比较困难，这时可将图形分成许多简单图形的叠加，分别定面积、形心和竖标，分别图乘叠加，求代数和。注意：弯矩图的叠加是竖标的叠加，而非图形的叠加。

图乘法应用时的几个具体问题。

1)如两个弯矩图形均是直线，则标距y0可取自其中任一图形（对应）。

2)如一个为曲线，另一个是几段直线组成的折线，则分段叠加。

3)两个梯形图乘（公式计算）（变化形式，有正负、异侧）

4)均布荷载作用区段，区段叠加法、分解（对应），弯矩竖标叠加而非图形叠加。

(a+b)图乘c=a图乘c+b图乘c，图乘法的优势：利用大家比较熟悉的内力图的作法。

下面我们再讨论两个题目：

例：

MP                                 

例2：P118图7-22。

例3：P117图7-21。

例4：P118图7-23。

§7-6静定结构温度变化时的位移计算

静定结构由于温度变化，不产生内力，但由于材料自由伸缩引起各微段发生变形。

温度引起的位移计算的一般公式：

式中：

1、微段ds轴向变形：P119页图7-24。

假设温度变化沿截面高度成直线变化，此时温度变化时截面仍保持为平面。

t1、t2：为截面上、下边缘温度变化；

，为杆轴线处的温度变化,若截面对称，则

杆件轴线处： 

2、微段ds弯曲转角：

3、微段ds剪切变形rt：

rt=0，由于对于杆件结构，温度变化不引起剪切变形

4、代入公式：

   轴向变形+弯曲变形

   若为等截面杆

   、：分别为、图形的面积。

5)公式应用注意说明：

①正负号规定：由于公式右边为内力所作的变形虚功，故当实际温度变形与虚拟内力方向一致时其积为正，相反时为负。一般规定：

t以升温为正；

轴力：以拉力为正；

弯矩：以弯曲变形与引起的变形一致为正

②对于具体结构公式可以简化：

梁、刚架：一般略去轴向变形的影响。

桁架： 

组合结构：综合考虑梁式杆、轴力杆

③当桁架由于制造误差，其杆件长度与设计长度不符时，所引起的位移计算：

式中，为各杆长度的误差，升长为正，缩短为负；以拉力为正。

6、计算步骤：

（1）；（2）绘、图，计算图形面积；（3）计算杆轴线处温度变化

（4）代入公式

例：P120页图7-25

§7-7静定结构支座移动时的位移计算

静定结构由于支座移动引起的位移计算属于刚体体系问题。

一、一般公式：

由单位荷载法公式：

若只考虑支座移动影响，则公式简化为：        P121页图7-26

式中：：虚拟状态下的支座反力；

C：实际位移

正负号规定：若与实际支座位移c方向一致时，其积为正，相反时为负。

二、求解步骤：

（1）；（2）；（3）代入公式

例：P121页图7-27

§7-8  线弹性结构的互等定理

线性变形体系有四个互等定理，这些互等定理在求位移和超静定结构的内力时是十分有用的。互等定理的应用条件是：

例：同一种结构的两种受力状态：状态1、2。P122页图7-28

①取状态1上的力系为作功的力系，取状态2上的位移作为虚位移，则

（状态1的外力在状态2位移上的虚功=状态1上各微段内力在状态2变形上所做虚功）

②取状态2上的力系为作功的力系，取状态1上的位移作为虚位移，则

（状态2的外力在状态1位移上的虚功=状态2上各微段内力在状态1变形上所做虚功）

③

结论：在一线性变形体系中，状态Ⅰ的外力由于状态Ⅱ的位移所作的虚功=状态Ⅱ的外力由于状态Ⅰ的位移所作的虚功。同一位置的广义力和广义位移应该对应。

注：现在讨论这两个力按不同的次序先后作用于这一结构上时所作的功：

先P1、后P2；先P2、后P1。这两种加载情况，外力先后次序虽不同，但最后的荷载及变形情况是相同的，则两者加载情况所作的总功应相等。也就是：外力所作的功和加载次序无关。

二、位移互等定理

P123页图7-29、30

两种状态，只作用一广义力： 

由功的互等定理：，即：

（单位力P2=1引起的P1作用点沿P1方向的位移=单位力P1=1引起的P2作用点沿P2方向的位移）

结论：在一线性变形体系中，单位力P2=1引起的P1作用点沿P1方向的位移（在数值上）=单位力P1=1引起的P2作用点沿P2方向的位移

应用：力法计算超静定结构时使用。

例：

三、反力互等定理

P123页图7-31

同一体系中任意两个约束1、2：

状态1：支座1发生单位位移Δ1=1，在支座2产生反力r21

状态2：支座2发生单位位移Δ2=1，在支座1产生反力r12

根据功的互等定理：     r21Δ2= r12Δ1

r21= r12

结论：对于一线性变形体系，支座1由于支座2的单位位移所引起的反力r21等于支座2由于支座1的单位位移所引起的反力r21。

应用：位移法计算超静定结构

（两种状态中，同一支座的反力、位移应对应）

四、反力位移互等定理

P123页图7-32

同一体系中任意两个状态：

状态1：支座1发生单位位移Δ1=1，在2处产生位移

状态2：2处作用单位力P2=1，在支座1处产生反力r12’

根据功的互等定理：W21=r12’×1+1×δ21’

 W12=0

因此：          r12’=-δ21’

结论：对于一线性变形体系，由于单位荷载P2=1所引起的结构某一支座1处的反力r12’=因支座1发生与反力方向相一致的单位位移时所引起的单位荷载作用处（2处）的位移，但符号相反

应用：混合法计算超静定结构。

注：后三个互等定理均是功的互等定理的特例。