平面弧长的计算

(一) 教学目的：掌握平面曲线的弧长与曲率

(二) 教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式．

(1) 基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式．

(2) 较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式．

(三) 教学建议：

(1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式．

(2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式．

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1 直角坐标情形

设曲线弧由直角坐标方程

给出，其中 在 上具有一阶连续导数。

现在用元素法来计算这曲线弧的长度. 

取横坐标 为积分变量，它的变化区间为 . 曲线上对应于 上任一小区间的一段弧的长度 可以用该曲现在点出的切线上相应的一小段的长度来近似代替(图3.8.4). 而这相应切线段的长度为

以此作为弧长元素  ，即

以为被积表达式，在区间上做定积分，变得所求得弧长.

曲线段弧 的长度为

2.  参数方程情形

设曲线弧由参数方程

给出，其中 ， 在 上具有一阶连续导数。

现在来计算这曲线弧的长度.

取参数  为积分变量，它的变化区间为 .相应 上任一小区间 的小弧段的长度的近似值及弧长元素为

于是，曲线段弧 的长度为

3. 极坐标情形

设曲线弧由极坐标方程

给出，其中 在 上具有连续导数。

现在来计算这曲线弧的长度. 由直角坐标与极坐标的关系可得

这就是以极角为参数的曲线弧的参数方程. 于是，弧长元素为

从而，曲线段弧 的长度为