常微分方程期中考试试卷(6)

  一 . 解下列方程 

1. x=+y

2.tgydx-ctydy=0

3.{y-x(+)}dx-xdy=0

4.2xylnydx+{+}dy=0

5. =6-x

6. =2

7. 已知f(x) =1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。

8．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系。

二． 证明题

1.   证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。

2． 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。

试题答案：

1．解：将方程改写为=+（*）  令u= ,得到x=x+ u,则(*)变为x = , 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln +lnC, 故方程的解为arcsin=lnCx。

2．解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)= ln+C或sinycosx=C  (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k (k=0、1…) ，x=t+ (t=0、1…)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。

3．    解：ydx-xdy-x(+)dx=0,两边同除以+得

xdx=0,即d(arctg)d=0,故原方程的解为arctg=C。

4． 解： =2xlny+2x , =2x,则==,故方

程有积分因子==，原方程两边同乘以得dx+dy=0是恰当方程. d(lny)+ydy=0,两边积分得方程的解为lny+=C。

5． 解：1）y=0是方程的特解。2）当y0时，令z=得

=z+x. 这是线性方程，解得它的通解为z=

代回原来的变量y得方程解为=；y=0.

6．    解：令x=u+3, y=v2, 可将原方程变为=，

再令z=，得到z+=，即=，

分离变量并两端积分得=+lnC

即ln+2arctgz=+lnC，

ln=2arctgz+lnC

代回原变量得v=C

所以，原方程的解为y+2=C.

7．解：令f(x)=y， =，两边求导得=y，

即=y，即=dx，两边求积得=2x+C，

从而y=，故f(x)=.

8．解：因为F=ma=m，又F==，

即m= (v(0)=0)，即= (v(0)=0)，

解得v=+ (t).

二、证明题

1.     解：1）先找到一个特解y=。

2）令y=+z，化为n=2的伯努利方程。

证明：因为y=为方程的解，

所以=P(x) +Q(x) +R(x)  (1)

令y=+z，则有

+= P(x) +Q(x) +R(x)  (2)

(2) (1)得= P(x) +Q(x)z

即=[2P(x) +Q(x)]z+P(x) 

此为n=2的伯努利方程。

2.     证明：如M、N都是n次齐次函数，则因为

x+y=nM，x+y=nN，故有

=

=

==0.

故命题成立。