2021届新高考数学模拟卷2(新高考)

【满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A＝，B＝，则A∩B＝(　　)

A．[－2,2]  B．(1，＋∞)

C．(－1,2]  D．(－∞，－1]∪(2，＋∞)

2.已知复数的实部与虚部的和为7，则a的值为(   )

A.1    B.0    C.2    D.-2

3.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人坐下，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是(   )

A.234    B.346    C.350    D.363

4．函数f(x)＝的图象可能是(　　)

5.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;

②甲同学的平均分比乙同学的平均分高;

③甲同学的平均分比乙同学的平均分低;

④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.

以上说法正确的是(   )

A.③④           B.①②           C.②④           D.①③④

6.一批价值a万元的设备，由于使用时磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为(   ) 

A. 

B. 

C. 

D.

7.若两个非零向量a,b满足，则向量与的夹角是(   )

A.    B.    C.    D.

8.函数的单调递增区间是 （    ）

A．    B．    C．    D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知椭圆的离心率为的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别，且均不为0.O为坐标原点，则(   )

A.

B.直线与直线的斜率之积为

C.直线与直线的斜率之积为

D.若直线的斜率之和为1，则的值为

10.已知函数，则下列说法正确的是(      )

A.的值域是

B.是以为最小正周期的周期函数

C.在区间上单调递增

D.在上有2个零点

11.已知函数，，则满足(   )

A.    B.

C.        D.

12．已知双曲线－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线上一点，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝2，则下列结论正确的是(　　)

A．点P在双曲线的右支上

B．点在双曲线的渐近线上

C．双曲线的离心率为

D．双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知直线和圆相切，则实数___________.

14.设函数数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是_______________.

15.在直角梯形中，，，，E为的中点.将和分别沿折起，使得点A,D重合于点F，构成四面体.若四面体的四个面均为直角三角形，则其外接球的半径为_________.

16.某几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在一个球面上,则该球的表面积为_______________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （10分）在中，角的对边分别为，已知.

（1）求的值；

（2）在边上取一点，使得，求的值.

18．(12分)已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，Sn为an与的等差中项．

(1)求证：数列{S}为等差数列；

(2)设bn＝，求{bn}的前100项和T100.

19. （12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

20. （12分）如图,在四棱锥中,平面平面,四边形为正方形, 为等边三角形, 是中点,平面与棱交于点．

(1)求证: ;

(2)求证: 平面;

(3)记四棱锥的体积为,四棱锥的体积为的值．

21．(12分)已知函数f(x)＝(x－1)2＋ax－aln x

(1)若a≥－2讨论f(x)的单调性；

(2)若a>0，且对于函数f(x)的图象上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))(x122. （12分）已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线C上有一点到焦点的距离为5.

(1)求该抛物线C的方程.

(2)已知抛物线上一点,过点M作抛物线的两条弦和,且,判断直线是否过定点?并说明理由.

答案以及解析

一、单项选择题

1．答案：C

解析：∵集合A＝

＝{x|－2≤x≤2}，

B＝＝{x|x>－1}，

∴A∩B＝{x|－1故选C.

2.答案：C

解析：，所以复数z的实部与虚部分别为，于是，得故选C.

3.答案：B

解析：易知一共可坐的位子有20个，2个人坐的方法数为，还需排除两人左右相邻的情况.把可坐的20个座位排成连续一行，将其中两个相邻座位看成一个整体，则相邻的坐法有，还应再加上，所以不同坐法的种数为.故选B.

4．答案：A

解析：由f(x)＝可知函数的图象关于点(2,0)对称，故排除B，C，当x<0时，ln(x－2)2>0，(x－2)3<0，函数的图象在x轴下方，故排除D，故选A.

5.答案：A

解析：由茎叶图知甲同学的成绩为,易得甲同学成绩的中位数为;乙同学的成绩为,易得乙同学成绩的中位数为,故甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数,①说法错误;甲同学的平均分为,乙同学的平均分为,故甲同学的平均分比乙同学的平均分低②说法错误;③说法正确:甲同学成绩的方差为,乙同学成绩的方差为,故甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差,④说法正确。所以说法正确的是③④,选A.

6.答案：D

解析：本题主要考查指数函数模型.由题意可知，n年后这批设备的价值.

7.答案：D

解析：，.又，.设与的夹角为，则.又.

8.答案：C

解析：，

令，解得：，

∴在递增，

故答案为：C．

二、多项选择题

9.答案：ACD

解析：因为椭圆的离心率为，由得，故A正确；设，则且两式作差得，即，所以，因为的斜率，的斜率，所以，所以，同理可得，故B错误，C正确；所以，又直线的斜率之和为1，即，所以，故D正确.故选ACD.

10.答案：AD

解析： 作出函数的大致图象如图所示

由图可知的值域是,故A正确

因为,所以

所以不是的最小正周期,故B正确

由图知在区间上单调递增,在上单调递减,故C不正确

由图知,在上,,所以在上有2个零点,故D正确,故选AD

11.答案：ABC

解析：，，故选项A正确；

为增函数，则，，，易得，故选项B正确；

，故选项C正确；

，故选项D错误.

故答案为ABC.

12．答案：ABC

解析：连接PF1，由题意知|F1F2|＝2|OP|＝2c，

则PF1⊥PF2，因为tan∠PF2F1＝2，

所以＝2，因此|PF1|>|PF2|，

故点P在双曲线的右支上，A项正确；

由于|PF1|－|PF2|＝2a，

所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，

所以(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，

整理得c2＝5a2，则e＝，C正确；

又e＝＝ ＝，所以＝2，

所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，

易知点在双曲线的渐近线上，故B项正确；

由于b2＝5，所以a2＝，

所以双曲线的方程为－＝1，

设M(x0，y0)为双曲线上任意一点，

则点M到渐近线y＝2x的距离d1＝，

点M到渐近线y＝－2x的距离d2＝，

因此d1d2＝，

又－＝1，于是d1d2＝1，

因此由基本不等式得d1＋d2≥2＝2，

当且仅当d1＝d2时取等号，

故双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于2，故D项错误．

故选ABC.

三、填空题

13.答案：或0

解析：本题考查直线与圆的位置关系.由直线与圆相切可知，，化简得，解得或0.

14.答案：

解析：由题意得，点在分段函数的图像上，

因此当时，；

当时，，

为使数列递增，还需，

故实数a满足条件解得，故实数a的取值范围是.

15.答案：

解析：如图.由题意可知，折叠后所构成的四面体中，不可能为直角。在中，由可知，为直角，即.因为平面，所以平面，则有.又因为，所以平面，则有.所以四面体外接球的球心为的中点，半径为.在直角梯形中，设，则有.由，解得(负值已舍去)，则.因此，四面体外接球的半径为.

16.答案：

解析：由三视图可知,该几何体是一个三棱柱,三棱柱的底面是边长为2的正三角形,侧棱长是2.易知三棱柱的两个底面的中心所连线段的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径,则半径,所以球的表面积为.

四、解答题

17.答案：（1）在中，因为，

由余弦定理，得，

所以.

在中，由正弦定理，

得，

所以.

（2）在中，因为，

所以为钝角，

而，所以为锐角，

故，则.

因为，所以，

.

从而

.

18．解析：(1)证明：由题意知2Sn＝an＋，

即2Snan－a＝1，　①

当n＝1时，由①式可得S1＝1，

又n≥2时，有an＝Sn－Sn－1，

代入①式得2Sn(Sn－Sn－1)－(Sn－Sn－1)2＝1，

整理得S－S＝1，(n≥2)．

∴{S}是首项为1，公差为1的等差数列．

(2)由(1)可得S＝1＋n－1＝n，

∵{an}是各项都为正数，∴Sn＝，

∴an＝Sn－Sn－1＝－(n≥2)，

又a1＝S＝1，也适合上式∴an＝－.

bn＝＝＝(－1)n(＋)，

T100＝－1＋(＋1)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝＝10.

∴{bn}的前100项和T100＝10.

19.答案：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，

由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.

(2)①随机变量X的所有可能取值为

所以，随机变量X的分布列为

②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则，且B与C互斥.由①知，故.

所以，事件A发生的概率为.

20.答案：（1）证明 因为为正方形,所以.

因为平面, 平面,

所以平面 

因为平面,平面平面,

所以 

（2）证明 因为四边形是正方形,所以.

因为平面平面,平面平面, 平面,

所以平面

因为平面,所以 

因为为等边三角形, 是中点,所以.

因为平面, 平面, ,

所以平面

（3）由（1）知, , ,

∴，则

∴ 

21．解析：(1)易得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(x－1)＋a－＝，

令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.

①当a≥0时，0f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

x>1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

此时，f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(1，＋∞)．

②当－2f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

01时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

此时，f(x)的减区间为，增区间为，(1，＋∞)．

③当a＝－2时，x>0时，f′(x)＝>0，函数f(x)单调递增；

此时，f(x)的减区间为(0，＋∞)．

综上，当a≥0时，f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(1，＋∞)；

当－2增区间为，(1，＋∞)；

当a＝－2时，f(x)增区间为(0，＋∞)．

(2)证明：由题意及导数的几何意义，

得f′(x0)＝kP1P2＝＝

＝(x1＋x2－2)＋a－.

由(1)中f′(x)得f′＝(x1＋x2－2)＋a－.

易知，导函数f′(x)＝2(x－1)＋a－(a>0)在(0，＋∞)上为增函数，

所以，要证x0<，只要证f′(x0)即证ln >.因为x2>x1>0，不妨令t＝，则g(t)＝ln t－(t>1)．

所以g′(t)＝－＝>0(t>1)，所以g(t)在t∈(1，＋∞)上为增函数，

所以g(t)>g(1)＝0，即ln t－>0，所以ln t>，即>，

即ln >. 故有x0<(得证)．

22.答案：(1)由题意可设抛物线C的方程为,

其准线方程为.

点到焦点的距离等于其到其准线的距离,

.抛物线C的方程为.

(2)由(1)可得点,且直线的斜率不为0,设直线的方程为,

联立得,则.①

设,则.

,

即,

得,

,即或,

代入①式检验知满足恒成立,

直线的方程为.

直线过定点.