概率与数理统计_习题集(含答案)

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习题

【说明】：本课程《概率与数理统计》（编号为01008）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。

一、计算题1

1. 设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来。

(1) A出现，B、C不出现；

(2) A、B都出现，而C不出现；

(3) 所有三个事件都出现；

(4) 三个事件中至少一个出现；

(5) 三个事件中至少两个出现。

2. 在分别标有1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片中任抽一张。设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C为“抽得一张标号为奇数的卡片”。试用样本点表示下列事件：

（1）AB；（2）A+B；（3）；（4）A-B；（5）

3. 写出下列随机试验的样本空间：

（1）一枚硬币掷二次，观察能出现的各种可能结果；

（2）对一目标射击，直到击中4次就停止射击的次数；

（3）二只可辨认的球，随机地投入二个盒中，观察各盒装球情况。

4. 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。

（1）A发生，B与C不发生；

（2）A，B，C都发生；

（3）A，B，C中不多于一个发生。

5. 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标。试用A、B、C的运算关系表示下列事件：

（1）至少有一人命中目标

（2）恰有一人命中目标

（3）恰有二人命中目标

（4）最多有一人命中目标

（5）三人均命中目标

6. 袋内有5个白球与3个黑球。从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。

7. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。

8. 某地区的电话号码由7个数字组成（首位不能为0），每个数字可从0，1，2，…，9中任取，假定该地区的电话用户已经饱和，求从电话码薄中任选一个号码的前两位数字为24的概率。

9. 同时掷两颗骰子（每个骰子有六个面，分别有点数1，2，3，4，5，6），观察它们出现的点数，求两颗骰子得点数不同的概率。

10. 一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取2次，每次取一件，求第一次为次品，第二次为正品的概率。

11. 设连续型随机变量X的分布函数为

求（1）系数A及B；（2）X的概率密度；（3）X的取值落在（1，2）内的概率。

12. 假设X是连续随机变量，其密度函数为

求：（1）c的值；（2）

13. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数，求常数Ａ，Ｂ，Ｃ．

14. 设随机变量X的分布函数为

求；（2）求概率密度

15. 设随机变量的概率密度为

16. 设随机变量X的概率密度为，求E(X)，D(X)。

17. 设X的概率密度为，试求|X|的数学期望。

18. 搜索沉船，在时间t内发现沉船的概率为（λ>0），求为了发现沉船所需的平均搜索时间。

19. 设Ｘ服从参数为的指数分布，即Ｘ有密度函数

求：。

20. 称为对随机变量X的标准化随机变量，求。

二、计算题2

21. 已知X~B(n,p)，试求参数n,p的矩法估计值。

22. 设总体X在[a,b]上服从均匀分布

     ，试求参数a,b的矩法估计量。

23. 设的样本，求的最大似然估计。

24. 设有一批产品。为估计其废品率p，随机取一样本X1，X2，…，Xn，其中

 （i=1,2,…,n）

则是p的一致无偏估计量。

25. 设总体的均值及方差都存在，且有。但，均未知。又设是来自的样本。试求，的矩估计量。

26. 某厂生产的某种型号电池，其寿命长期以来服从方差σ2=5000（小时2）的正态分布。今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命波动性较大。为判断这种想法是否合乎实际，随机取了26只这种电池测出其寿命的样本方差s2=7200（小时2）。问根据这个数字能否断定这批电池的波动性较以往的有显著变化（取a=0.02，查表见后面附表）?

概率论与数理统计附表

标准正态分布部分表

27. 某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户用电量多少是相互的。求：

1、同一时刻有8100户以上用电的概率；

2、若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率供应居民用电？（查表见后面的附表）

概率论与数理统计附表

标准正态分布部分表

28. 某种电子元件的寿命x（以小时计）服从正态分布，μ,σ2均未知，现测得16只元件，其样本均值为，样本标准方差为S=98.7259。问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？

T分布表

标准正态分布部分表

30. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N(4.55，0.1082)。现在测了五炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？（a=0.05）

标准正态分布部分表

答案

一、计算题1

1. 解：（1）；（2）；（3）ABC；（4）A+B+C；（5）AB+BC+CA（每个3分）

2. 解：（1）AB={2，4}；（2）A+B={1，2，3，4，5，6，8}；

   （3）={1，3，5，7}；（4）A-B={1，3}；（5）={1,2,3,4,5,6,7,8}（每个3分）

3. 解：（1）{（HH）（HT）（TH）（TT）}

（2）{4，5，6，…}

（3）{(12,0)(0,12)(1,2)(2,1)} 其中：1为一号球，2为二号球（每个5分）

4. 解：（1）利用事件的运算定义，该事件可表示为。

（2）同理，该事件可表示为ABC。

（3）（每小题5分）

5. 解：（1）

   （2）

   （3）

    (4) 

    (5) （每小题3分）

 解：基本事件的总数；基本事件数。故所求的概率

7. 解：任取一零件，设B1，B2分别表示它是第一、二台车床的产品，A表示它是合格品。（4分）则

    ，

，（10分）

由全概率公式得

（15分）

8. 解：第一位数字不能是0，这时，基本事件的总数为1069（3分）

  A表示“任选的电话号码的前两位数字恰好为24”。由于电话号码的前两个数字为24，后五个数字中每一个可以由0,1,2,…,9中任取，故对A有利事件的数目为105。（6分）于是

（15分）

9. 解：一个基本事件是由两个数字组成的排列（i，j），i,j=1,2,3,4,5,6，而i,j可以重复，故基本事件的总数为62。（5分）A表示“两颗骰子掷得的点数不同”。对A有利的基本事件数等于所有i≠j排列方式的数目，即从1，2，3，4，5，6这六个数字任取其二作不可重复的排列方式数A62，所以（15分）

10. 解：记、，要求。（2分）

已知，因此（8分）

（15分）

11. 解：

（1）由于，所以有。又由于X为连续型随机变量，应为的连续函数，应有

所以A+B=0，B=-A=-1，代入A、B之值得（5分）

（2）对函数求导得的概率密度为（10分）

（3）由式有

（15分）

12. 解：（1）因为是一密度函数，所以必须满足，于是有（5分）

解得（10分）

（2）（15分）

13. 解：由分布函数的性质得：

（４分）

（８分）

（１２分）

由此可解得。（１５分）

14. 解：（1）

（3分）

  （6分）

  （9分）

（2）（15分）

15. 解：因概率密度在处等于零，即知

当时，（3分）

当时，（8分）

当时，（12分）

故所求分布函数是

（15分）

16. 解：（7分）

（15分）

17. 解：令Y=|X|，所以：（15分）

18. 解：设发现沉船所需要的搜索时间为X。由题设知 （t>0）（5分）

   故X的概率密度为，可见X服从参数为λ的指数分布，因此E(X)=1/λ,即发现沉船所需要的平均搜索时间为1/λ。（15分）

（7分）

　　　（15分）

20. 解：  ；

二、计算题2

21. 解：因为E(X)=np，D(X)=np(1-p)，由样本的一阶原点矩和二阶中心矩及矩估计法知有：，（10分）

可解得：，（20分）

22. 解：因为 ，，而，（10分）

所以可建立方程：（20分）

解得： ，，这就是参数a,b的矩法估计值。

23. 解：Ｘ的密度函数为，故似然函数为（2分）

　　　（6分）

　　对数似然函数为：

　　　（10分）

似然方程为

（14分）

      （18分）

     解得：，可以验证使似然函数达到最大。（20分）

24. 解：由题设条件

（2分）

（4分）

（6分）

由定义知是p的无偏估计量，又

（10分）

由契比雪夫不等式，任给ε>0，

所以：（17分）

故是废品率p的一致估计量。

从而，是废品率p的一致无偏估计量。（20分）

25. 解：（7分）

解得   （14分）

分别以代替，得的矩估计量分别为

  （20分）

26. 解：本问题要求在水平0.02下，检验假设H0：σ2=5000 （H1：σ2≠5000）（4分）

因为，（8分）

（12分）

而（18分）

由于所以接受H0，即认为在0.02水平下这批电池的波动性较以往的并无显著的变化。（20分）

27. 解：（1）设随机变量Yn表示10000户中在同一时刻用电的户数，则Yn~B(10000,0.8)，（2分）于是

np=10000X0.8=8000，（6分）

所以概率为

（10分）

(2)若每户用电功率为100W，则Yn户用是功率为100YnW，设电站供电功率为QW，则按题意有（12分）

查正态分布表得φ(1.96)=0.975，所以，解得Q=807840

所以，电站供电功率应不少于807.84 kW. （20分）

28. 解：按题意需检验H0：μ≤μ0=225，H1：μ>225，取a=0.05，由于此检验的拒绝域为，可查表得：ta(n-1)=t0.05(15)=1.7531（8分）

所以，由于落在拒绝域外（接受域内），故接受H0，即认为元件的平均寿命不大于225小时。（20分）

29. 解：σ2=0.1082，已知未变，因此用U检验法。（2分）

检验假设H0：μ=μ0=4.55

计算统计量的值

（8分）

（14分）

U检验法，查附表，a=0.05，有

所以Za/2=1.96

比较统计量u与Za/2，因|u|=3.85> Za/2=1.96故u落入否定域。在a=0.05下，拒绝H0。认为含碳量比原来有显著变化。（20分）

30. 解：σ2=0.1082，已知未变，因此用U检验法。（2分）

检验假设H0：μ=μ0=4.55（4分）

计算统计量的值

（8分）

（12分）

U检验法，查附表，a=0.05，有（16分）

所以Za/2=1.96（18分）

比较统计量u与Za/2，因|u|=3.85> Za/2=1.96故u落入否定域。在a=0.05下，拒绝H0。认为含碳量比原来有显著变化。（20分）