第 05 讲 计算

应知：计算时的注意事项。

应会：不要出现这里提及的错误。

1. 概念法则及某些有关规定要记清

例. (初二)从A地到B地，速度为x，从B地到A地，速度为y，往返平均速度不是。

例. (初二)不要把写成a+b。

例. (初二)实数范围内，一个非零的数的偶次方总是正的，奇次方要小心。复数范围内，一个数的偶次方就不一定是正的。

例. (高三)椭圆（双曲线）中计算c开平方时，不要取号，因为由c的定义可知，c不能为负值。

2. 记忆常用结论

为了提高计算速度，除开课本上的公式定理之外，可以记忆下列内容并加以运用：

1-20的自然数的平方；

1-10的自然数的立方；

2、3、5、7的平方根及其对数；

1-6的阶乘；

2的1-10次幂；

；

0°、30°、45°、60°、90°角的三角函数值；

若A+B+C=180°，则有等等；

是1的一个立方根，且的两根是。

3．快中求稳

例如不要把的结果算成1，把lg(a+b)变形为lga+lgb。

4．避免循环运算

如果要求出两数的和、差、积、商，不要一开始便想分别求出这两个数，然后再去求它们的和、差、积、商，而是应该看一看能否直接求出和、差、积、商。

例. （初二）直角三角形周长为，斜边上的中线为1，求这个三角形的面积。

解：如图，设BC=a，CA=b，AB=c，那么，。

∵  直角三角形斜边上的中线到三角形的三个顶点距离相等，

∴  a=2 ，

那么              ⑴

又据勾股定理有   ⑵

∴  === 。

点评：题目要求bc的值，如果先分别求出b、c之值，再求其乘积，就因循环运算而浪费了时间。

例. （高三）一直线与方程y=16x的曲线相交于P、Q两点，PQ的中点为（3，2），求此直线方程。 

解：设直线与y=16x交于P（x，y）、Q（x，y）两点，并设过（3，2）点的直线方程为y-2=k(x-3),

则  ，代入y=16x 得，即  ky-16y+16(3k-2)=0 ，

由韦达定理有  y+ y=，但  M（3，2）为PQ的中点，∴  ，

则  ，∴  k=4 ，故所求得直线方程为  ，即  。

点评：有关直线与圆锥曲线的两个交点为端点的线段的中点问题，都可以利用韦达定理直接求出，而无须分别求出两个交点的坐标。

5．实数扩充到复数后，有些运算性质发生了改变

例. (高三)实数中（a>0，b>0）是正确的，但在复数中，如果认为，那就错了。

例. (高三)因为虚数无法比较大小，所以不等式的性质和法则也就无用了。

例. (高三)实数中，只表示一个值，复数中，却表示n个值。

例. (高三)复数中，复数有对数，正弦、余弦的值可能大于1。

6.后面要用到前面的计算结果时，一定要先核实再使用。

7．题中无精度要求时，最后的结果可以保留分数、根号、对数等，不必算出近似值，以免浪费时间。

习题：

1．(初二)计算    （精确到0.01）

参：

1．(初二)计算    （精确到0.01）

解法一（先有理化分母）：原式=

解法二（不有理化分母）：原式≈

点评：用计算机算出的结果为1.720759219，可见在近似计算时，遇分母有根号，一定要先有理化分母，否则误差会增大。