高数极限习题

典型例题分析

客观题

   例 1 设在点可导,为常数,则(         )

   答案 

  解

例2（303）设在的某个邻域内有定义,则在处可导的一个充分条件是(      )

  存在          存在  

  存在           存在     

答案 

解题思路  

(1) 对于答案，不妨设，当时，，则有

存在，这只表明在处右导数存在,它并不是可导的充分条件,故不对.

(2) 对于答案与因所给极限式子中不含点处的函数值，因此与导数概念不相符和.例如，若取

则与两个极限均存在，其值为零，但，从而在处不连续，因而不可导，这就说明与成立并不能保证存在，从而与也不对.

 (3) 记,则与是等价的,于是

所以条件是存在的一个充分必要条件.

  例3(00103)设则在点可导的充要条件为(     )

   存在          存在

   存在            存在  

  答案 

  解题思路  

  (1) 当时, .所以如果存在,则必有

若记,当时,,所以

于是

这就是说由存在能推出存在.

  但是由于当时,恒有,而不是,因此存在只能推出存在,而不能推出存在.

  (2) 当时, ,于是

  由于当时, 既能取正值,又能取负值,所以极限存在与存在是互相等价的.因而

极限存在与存在互相等价.

(3) 当时, 用洛比塔法则可以证明,所以

由于,于是由极限存在未必推出也存在,因而未必存在.

(4)在点可导一定有存在,但存在不一定在点可导.

  例 4 (98203) 函数有(    )个不可导点

  答案 

  解题思路   当函数中出现绝对值号时,不可导的点就有可能出现在函数的零点,因为函数零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点考察导数的存在性.

  解  将写成分段函数:

(1)在附近,写成分段函数:

容易得到

由于,所以不存在.

(2)在附近,写成分段函数:

由于,所以不存在.

(3)在附近,写成分段函数:

由于,所以存在.

  综合上述分析,有两个不可导的点.

 例5  (95103) 设具有一阶连续导数,则是在处可导的(       )

      必要但非充分条件            充分但非必要条件

      充分且必要条件              既非充分也非必要条件    

答案 

分析 从在的导数定义着手.将

解    

   于是推知的充分必要条件是

  例6 (92103) 设函数,则使存在的最高阶数.

  答案 

  解题思路 应先去掉中的绝对值,将改写为分段函数

  解 由

得

且    

又,

所以存在.

所以存在.

即.因而使存在的最高阶数是2.

  例7 存在的最高阶导数的阶数等于(       )

  A  0            B  1            C  2             D  3

 答案 

 解题思路 注意,所以只需考察在点的情况.

 例8(96203)设在区间内有定义，若当时，恒有，则必是的(          )

                       ，

答案  

解 由题目条件易知,因为

所以由夹逼定理

于是.

       例9 (87103)设   则为(    )

      答案  

    解题思路  因为分段函数,故它在分段点处的导数应按导数的定义， 又由于是型未定式,可用洛必达法则求极限.

解

当时,与是等价无穷小,所以当时,与是等价无穷小.因而

   例10 (88103) 设可导且,则时,在处的微分与比较是(        )的无穷小. 

 等价      同阶     低阶    高阶

  答案 

   解题思路  根据在处的微分的定义:.

   解  ,可知与是同阶的无穷小.

    例11 (87304) 函数在处(         )

   连续,且可导           连续,不可导

   不连续                不仅可导,导数也连续

   答案 

   解题思路  一般来说,研究分段函数在分段点处的连续性时,应当分别考察函数的左右极限;在具备连续性的条件下,为了研究分段函数在分界点处可导性,应当按照导数定义,或者分别考察左右导数来判定分段函数在分段点处的导数是否存在.因此,本题应分两步: (1) 讨论连续性;  (2) 讨论可导性.

    解 (1) 讨论函数在点处的连续性

   由于,可知函数在点处是连续的.

   (2) 讨论函数在点处的可导性

   由于不存在,所以,函数在点   处不可导.

  例12  设 在点可导,但是导数在点不连续,则必须满足(       )

  答案 

  解题思路 

  (1) 当时,下述极限不存在:

因此不存在.

当时,

所以.

这就是说,只有当时, 才存在,所以选项可以被排除.

  (2) 当时

当且仅当,即时,,所以当且仅当时, 在点可导,但是在点不连续.

例13 (95403)设可导，且满足条件则曲线在处的切线斜率为(          )

  答案 

  解 记,则有

  例14  设,则(         )     

   答案 

   解题思路  求高阶导数的一般方法是: 先求出一阶、二阶、三阶导数;找出规律,即可写出高阶导数.

,

 例17  (90103) 设函数有任意阶导数,且,则.    

 答案 

 解题思路 这是一个求高阶导数的问题,涉及到求抽象函数的导数.

 解  由有任意阶导数且,可知

,

依此由归纳法可知  

  注意 (1) 当时虽然也正确,但当就不正确了,所以将排除之;

     (2) 在求导数时,可将函数看成是由与复合而成的,则根据复合函数的求导法则,故.

(初学者可能会这样做:,后面丢掉一个因子.

   例18  (91303)  若曲线和在点处相切，其中是常数,则(         )

  答案 

  解题思路  两曲线在某点相切就是指两曲线在此公共点处共一条切线,从而两曲线的斜率也应相等.

  解  曲线在点处的斜率是   

另一条曲线是由隐函数确定,该曲线在点处的斜率可以由隐函数求导数得到:

对于方程两边求导得到,解出得到此曲线在点处的斜率为

令,立即得到.再将代入中得出

 例19设定义在，且都在处连续，若，则(        )

,                 

  答案 

      解题思路 分析函数的表达式,并运用在处连续这一关键条件. 

  解 既然在处连续,于是必有,于是必有.于是又有.

 例 20 (99103) 设 其中是有界函数,则在处(        )     

        极限不存在              极限存在,但不连续

        连续,但不可导           可导

  答案 

  解题思路  若能首先判定在处可导,则、、均可被排除.

  解

    ()

   （是有界函数）

由于在点的左导数等于右导数,因而 在处可导.

  例21 设,则(      )

  答案  

 例 22 设是可导函数,则(         )

 答案 

 解题思路 根据导数定义,利用函数的奇性.

 解 由于,所以

因此为偶函数.

 例23 设,则(        )

 答案 

 解题思路 运用复合函数微分法

 例 24 设存在,,则(          )

  答案 

  解 由

可以知道当时,有

(参阅第一章的例2)

当时,与是等价无穷小,与是等价无穷小.于是

又因为存在,所以此式又推出

.

 例 25 设 在点可导,则(        )

  答案

  解题思路 先考察函数在点左右极限,确定连续性,再考察左右导数.由可微性最终确定.

  解 

(1),,所以.

于是.

(2),

以下需要用洛比塔法则求极限:

于是由推出

例26.(93303) 若且在内则在内必有

答案 

解体思路 所给函数显然是奇函数,因此是偶函数,是奇函数.

解 由  知;

   由  知