2016年高考理科数学全国卷2含答案

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绝密★启用前

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）

理科数学

使用地区:海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项:

姓名_准考证号_____________

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.

4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

第Ⅰ卷

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知在复平面内对应的点在第四象限,则实数的取值范围是                                                                        (　　)

A.	B.
C.	D.

2.已知集合,则,则                (　　)

A.	B.
C.	D.

3.已知向量a,b,且（a+b）b,则                            (　　)

A.—8	B.—6
C.6	D.8

4.圆的圆心到直线的距离为1,则        (　　)

A.

B.

C.

D.

5.如图,小明从街道的处出发,先到处与小红会合,再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为           (　　)

A.24

B.18

C.12

D.9

6.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为     (　　)

A.

B.

C.

D.

7.若将函数的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为

(　　)

A.	B.
C.	D.

8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的, ,依次输入的为2,2,5,则输出的                    (　　)

A.7

B.12

C.17

D.34

9.若,则                                                (　　)

A.

B.

C.

D.

10.从区间随机抽取个数, ,…,  ,  ,  ,…,  ,构成个数对, ,…,  ,其中两数的平方和小于1的数对共有个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为            (　　)

A.	B.
C.	D.

11.已知,是双曲线:的左、右焦点,点在上, 与轴垂直,  ,则的离心率为          (　　)

A.

B.

C.

D.

12.已知函数满足,若函数与图象的交点为则                    (　　)

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题,考生根据要求作答.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分.

13. 的内角, ,的对边分别为, , ,若, , ,则　　　　.

14. , 是两个平面, 是两条直线,有下列四个命题:

①如果, ,那么;

②如果, ,那么;

③如果, ,那么;

④如果, ,那么与所成的角和与所成的角相等.

其中正确的命题有　　　　（填写所有正确命题的编号）.

15.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3,甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是　　　　.

16.若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则　　　　.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

为等差数列的前项和,且,.记,其中表示不超过的最大整数,如.

（Ⅰ）求, ,;

（）求数列的前1 000项和.

18.（本小题满分12分）

某险种的基本保费为（单位:元）,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:

上年度出险次数	0	1	2	3	4	5
保  险	0.85		1.25	1.5	1.75	2

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:

一年内出险次数	0	1	2	3	4	5
保  险	0.30	0.15	0.20	0.20	0.10	0.05

（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

19.（本小题满分12分）

如图,菱形的对角线与交于点, , ,点,分别在,上,  , 交于点．将沿折到的位置, .

（Ⅰ）证明: 平面;

（Ⅱ）求二面角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆:的焦点在轴上, 是的左顶点,斜率为的直线交于,两点,点在上, .

（Ⅰ）当,时,求的面积;

（Ⅱ）当时,求的取值范围.

21.（本小题满分12分）

（Ⅰ）讨论函数的单调性,并证明当时, ;

（Ⅱ）证明:当时,函数有最小值.设的最小值为,求函数的值域.

请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲

如图,在正方形中,  , 分别在边,上（不与端点重合）,且,过点作,垂足为.

（Ⅰ）证明: ,  ,  , 四点共圆;

（Ⅱ）若,为的中点,求四边形的面积.

23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系中,圆的方程为.

（Ⅰ）以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;

（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于,两点,  ,求的斜率.

24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲

已知函数,为不等式的解集.

（Ⅰ）求;

（Ⅱ）证明:当时, .

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）

理科数学答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题

1.【答案】A

【解析】在复平面内对应的点在第四象限，可得，，解得．

【提示】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．

【考点】复数的代数表示法及其几何意义

2.【答案】C

【解析】集合，，．

【提示】先求出集合，，由此利用并集的定义能求出的值．

【考点】并集及其运算

3.【答案】D

【解析】向量，，又，解得．

【提示】求出向量的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于的方程，解得答案．

【考点】平面向量的基本定理及其意义

4.【答案】A

【解析】圆的圆心坐标为，故圆心到直线的距离，解得．

【提示】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．

【考点】圆的一般方程，点到直线的距离公式

5.【答案】B

【解析】从到，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从到最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有种走法，同理从到，最短的走法，有种走法，小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为种走法．

【提示】从到最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从到，最短的走法，有种走法，利用乘法原理可得结论．

【考点】排列、组合的实际应用，分步乘法计数原理

6.【答案】C

【解析】由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是，在轴截面中圆锥的母线长是，圆锥的侧面积是，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，圆柱表现出来的表面积是．空间组合体的表面积是．

【提示】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．

【考点】由三视图求面积、体积

7.【答案】B

【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由得：，即平移后的图象的对称轴方程为．

【提示】利用函数的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．

【考点】正弦函数的对称性，函数的图象变换

8.【答案】C

【解析】输入的，，当输入的为2时，，，不满足退出循环的条件；

当再次输入的为2时，，，不满足退出循环的条件；

当输入的为5时，，，满足退出循环的条件；

故输出的值为17．

【提示】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案．

【考点】程序框图

9.【答案】D

【解析】方法1：，；

方法2：，，．

【提示】方法1：利用诱导公式化，再利用二倍角的余弦可得答案；方法2：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得的值，再平方，即得的值．

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值

10.【答案】C

【解析】由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为，从区间随机抽取个数，，…，，，，…，构成个数对，，…，，对应的区域的面积为，

，．

【提示】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率的近似值．

【考点】几何概型

11.【答案】A

【解析】由题意，为双曲线左支上的点，则，，，，可得：，即，又，可得，，解得．

【提示】由条件，，列出关系式，从而可求离心率．

【考点】双曲线的简单性质

12.【答案】B

【解析】函数满足，即为，可得关于点对称，函数，即的图象关于点对称，即有为交点，即有也为交点，为交点，即有也为交点，…

则有

．

【提示】由条件可得，即有关于点对称，又函数，即的图象关于点对称，即有为交点，即有也为交点，计算即可得到所求和．

【考点】抽象函数及其应用

第Ⅱ卷

二、填空题

13.【答案】

【解析】由，，可得，， 

，由正弦定理可得，解得．

【提示】运用同角的平方关系可得，，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得，运用正弦定理可得，代入计算即可得到所求值．

【考点】解三角形

14.【答案】②③④

【解析】①如果，，，不能得出，故错误；

②如果，则存在直线，使，由，可得，那么，故正确；

③如果，，那么与无公共点，则，故正确

④如果，，那么，与所成的角和，与所成的角均相等，故正确

【提示】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．

【考点】命题的真假判断与应用，空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系

15.【答案】1和3

【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；

（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；

根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；

（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；

又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；

甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；

甲的卡片上的数字是1和3．

【提示】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．

【考点】进行简单的合情推理

16.【答案】

【解析】设与和的切点分别为、，由导数的几何意义可得，得，再由切点也在各自的曲线上，可得，联立上述式子解得，从而得出．

【提示】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程

三、解答题

17.【答案】（Ⅰ）为等差数列的前项和，且，，，可得，则公差，

，，则，，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：

，，，，数列的前1000项和为：．

【提示】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解，，；

（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列的前1000项和．

【考点】数列的求和，等差数列的性质

18.【答案】（Ⅰ）某保险的基本保费为（单位：元），上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：一续保人本年度的保费高于基本保费的概率为；

（Ⅱ）设事件表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，由题意，，由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出的概率：；

（Ⅲ）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：

，

续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为．

【提示】（Ⅰ）上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）设事件表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，由题意求出，，由此利用条件概率能求出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出的概率；

（Ⅲ）由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

【考点】古典概型及其概率计算公式

19.【答案】（Ⅰ）是菱形，，，，则，又由是菱形，得，则，，则，，，又，，，，则，

，则，又，

平面；

（Ⅱ）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，，

同理可求得平面的一个法向量，设二面角的平面角为，

则，二面角的正弦值为．

【提示】（Ⅰ）由底面为菱形，可得，结合可得，再由是菱形，得，进一步得到，由，可得，然后求解直角三角形得，再由线面垂直的判定得平面；

（Ⅱ）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到、、的坐标，分别求出平面与平面的一个法向量、，设二面角的平面角为，求出，则二面角的正弦值可求．

【考点】二面角的平面角及求法

20.【答案】（Ⅰ）方法一：时，椭圆的方程为，，直线的方程为，代入椭圆方程，整理可得，解得或，

则，由，

可得

，由，，

可得

，

整理可得，由无实根，

可得，即有的面积为；

方法二：由，可得，关于轴对称，由，可得直线的斜率为1，直线的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，，，则的面积为；

（Ⅱ）直线的方程为，代入椭圆方程，可得，

解得或，

即有，

，

由，可得

，

整理得，由椭圆的焦点在轴上，

则，即有，即有，可得，

即的取值范围是．

【提示】（Ⅰ）方法一：求出时，椭圆方程和顶点，设出直线的方程，代入椭圆方程，求交点，运用弦长公式求得，由垂直的条件可得，再由，解得，运用三角形的面积公式可得的面积；

方法二：运用椭圆的对称性，可得直线的斜率为1，求得的方程代入椭圆方程，解方程可得，的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到；

（Ⅱ）直线的方程为，代入椭圆方程，求得交点，可得，，再由，求得，再由椭圆的性质可得，解不等式即可得到所求范围．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题

21.【答案】（Ⅰ），，

当时，，

在和上单调递增，

时，，

即；

（Ⅱ）

，

由（Ⅰ）知，当时，的值域为，只有一解使得，只需恒成立，可得，由，可得．

当时，，单调减；

当时，单调增；

，

记，在时，，故单调递增，所以．

【提示】从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进行求导，然后逐步分析即可．

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值

22.【答案】（Ⅰ），

，

，

，，

，又，

，，

，

，

，，，四点共圆；

（Ⅱ）为中点，，，

在中，，连接，，

．

【提示】（Ⅰ）证明，，，四点共圆可证明四边形对角互补，由已知条件可知，因此问题可转化为证明；

（Ⅱ）在中，，因此可得，则，据此解答．

【考点】圆内接多边形的性质与判定

23.【答案】（Ⅰ）圆的方程为，，，，，的极坐标方程为；

（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数），

，代入，得：直线的一般方程，

与交与，两点，，圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，

圆心到直线距离，

解得，

，

的斜率．

【提示】（Ⅰ）把圆的标准方程化为一般方程，由此利用，，，能求出圆的极坐标方程；

（Ⅱ）由直线的参数方程求出直线的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线的斜率．

【考点】圆的标准方程，直线与圆相交的性质

24.【答案】（Ⅰ）当时，不等式可化为：，解得，

，

当时，不等式可化为：，此时不等式恒成立，

，当时，不等式可化为：，解得，

，综上可得；

（Ⅱ）当，时，，即，即，

即，即．

【提示】（Ⅰ）分当时，当时，当时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；

（Ⅱ）当，时，，即，配方后，可证得结论．

【考点】绝对值不等式的解法