用三线摆法测定物体的转动惯量

转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特性的一个物理量。转动惯量的大小除与物体质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度）有关。如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可直接计算出它绕特定轴的转动惯量。但在工程实践中，我们常碰到大量形状复杂、且质量分布不均匀刚体，理论计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定。

    转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定的形式运动。通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系，进行转换测量。测量刚体转动惯量的方法有多种，三线摆法是具有较好物理思想的实验方法，它具有设备简单、直观、测试方便等优点。

一  实 验 目 的

（1）学会用三线摆测定物体的转动惯量。

（2）学会用累积放大法测量周期运动的周期。

（3）验证转动惯量的平行轴定理。

二  实 验 原 理

图1是三线摆实验装置的示意图。上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴作扭摆运动。当下盘转动角度很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可近似看作简谐运动。根据能量守恒定律和刚体转动定律均可以导出物体绕中心轴的转动惯量(推导过程见本实验附录)。

                           （1）

式中各物理量的意义如下：为下盘的质量；、分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；为平衡时上下盘间的垂直距离；T0为下盘作简谐运动的周期，为重力加速度（在杭州地区g=9.793m/s2）。

将质量为的待测物体放在下盘上，并使待测刚体的转轴与轴重合。测出此时下盘运动周期和上下圆盘间的垂直距离。同理可求得待测刚体和下圆盘对中心转轴轴的总转动惯量为：

                        （2）

如不计因重量变化而引起的悬线伸长， 则有。那么，待测物体绕中心轴的转动惯量为:          (3) 

因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出刚体绕某轴的转动惯量。

用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为的物体绕过其质心轴的转动惯量为，当转轴平行移动距离时（如图2所示），则此物体对新轴的转动惯量为。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。

实验时将质量均为m'，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上（下盘有对称的两排小孔）。按同样的方法，测出两小圆柱体和下盘绕中心轴的转动周期，则可求出每个柱体对中心转轴的转动惯量:

                   (4)

如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离以及小圆柱体的半径，则由平行轴定理可求得

                        (5)

比较与的大小,可验证平行轴定理。

三  实 验 仪 器

（1）FB210型三线摆转到惯量试验仪。

（2）FB213型数显计数计时毫秒仪器。

（3）米尺、游标卡尺、电子天平。

四  实 验 内 容

  实验采用三线摆测定圆环对通过其质心且垂直于环面的转动惯量，并用三线摆的测量来验证平行轴定理。

实验步骤要点如下：

一、调整三线摆装置

（1）调整底座水平：调整底座上的三个螺钉旋钮，直至底板上水准仪中的水泡位于正中间。

（2）调整下盘水平：调整上圆盘上的三个旋钮（调整悬线的长度），改变三悬线的长度，直至下盘水准仪中的水泡位于正中间。

（3）调整底板左上方的光电传感接收装置，使下圆盘边上的挡光杆能自由往返通过光电门槽口。

二、测量周期和、

（1）接通FB213型数显计数计时毫秒仪的电源，把光电接收装置与毫秒仪连接。合上毫秒仪电源开关，预置50此（N）(可根据实验需要从1-99次任意设置)。

（2）设置计数次数时，可分别按“置数”键的十位或个位按钮进行调节，（注意数字调节只能按进位操作），设置完成后自动保持设置值，（直到再次改变设置为止）

（3）在下圆盘处于静止状态下，拨动上圆盘的“转动手柄”，将上圆盘转过一个小角度（5度左右），带动下圆盘绕中心轴作微小扭摆运动。摆动若干次后，按毫秒仪上的“执行”键，毫秒仪开始计时，每计量一个周期，周期显示数值自动逐一递减，直到零为止，计时结束，毫秒仪显示出累计50个（N个）周期的实践。重复以上测量五次，将数据记录到表一中。如此测五次，进行下一次测量时，测试仪要先按“返回”键。

（4）将圆环放在下圆盘上，使两者的中心轴线相重叠，按（3）的方法测定摆动周期。

（5）将二小圆柱体对称放置在下圆盘上，用上述同样的方法测定周期。

（6）测出上下圆盘三悬点之间的距离和，然后算出悬点到中心的距离和(等边三角形外接圆半径)。

（7）其它物理量的测量：用米尺测出上下两圆盘之间的垂直距离和放置两小圆柱体小空间距；用游标卡尺量出待测圆环的内外径、和小圆柱体的直径。记录各刚体的质量。

五  数 据 与 结 果

表1  累积法测周期数据记录参考表格

摆动

50次

所需

时间

项目

下盘质量      待测圆环质量       圆柱体质量    

1.根据以上数据，求出待测圆环的转动惯量，将其与理论值计算值比较，求相对误差，并进行讨论。已知理想圆环绕中心轴转动惯量的计算公式为。

2.根据以上数据， 验证平行轴定理，将其与理论值，计算值比较，求相对误差，并进行讨论。

已知平行轴定理的理论值计算公式为，；实验值计算公式为。

六  思 考 题

（1）用三线摆测刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？

（2）在测量过程中, 如下盘出现晃动,对周期测量有影响吗？如有影响，应如何避免之？

（3）三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大？为什么？

（4）测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响？

（5）如何利用三线摆测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？

（6）三线摆在摆动中受空气阻尼，振幅越来越小，它的周期是否会变化？对测量结果影响大吗？为什么？

七  附  录

转动惯量测量式的推导

    当下盘扭转振动，其转角很小时，其扭动是一个简谐振动，其运动方程为：

                         （6）

当摆离开平衡位置最远时，其重心升高，根据机械能守恒定律有：

                          （7）                                         

即                           （8）

而               （9）  

                           （10）

将（4-10）式代入（4-7）式得

                           （11）

从图4-3中的几何关系中可得

简化得              

略去，且取，则有     

代入（11）式得

           （12）

即得公式（1）。