数学破题36计 第3计 诸葛开门 扇到成功

第3计  诸葛开门  扇到成功

●计名释义

诸葛亮既不会舞刀，也不会射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子，借东风也是用扇子. 有人把“借东风”的意思弄肤浅了，以为东风就是东边来的风，其实，这里真正所指是“东吴”的风. 在赤壁大战中，刘备哪是曹操的对手，后来能把曹兵打败，借的就是东吴的力量.

数学解题的高手们，都会“借力打力”，这就是数学“化归转换思想”的典型应用.

●典例示范

［题1］  已知f (x)=   试求  f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )的值.

［分析］　若分别求f (x)在x= -5，-4，…，0，…，6时的12个值然后相加. 这不是不行，只是工作量太大，有没有简单的办法？我们想“借用”等差数列求和时“倒序相加”的办法. 于是，我们关心f (x)+f (1-x)的结果.

［解析］ 因为 f (x)+ f (1-x) = 

              =

              =

所以  f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )

     =［（f (-5 )+ f (6 )）+（f (-4)+ f (5 )）+…+（f (6 )+ f (-5 )）］

=［f (1-x )+ f (x )］×6 =

［点评］ 这里，“借来”的不是等差数列本身的性质，而是等差数列求和时曾用过的办法——倒序相加法.

●对应训练 

1.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1(α、β、γ均为锐角)，那么cosαcosβcosγ的最大值等于            . 

2.求已知离心率e=,过点(1,0)且与直线l:2x-y+3=0相切于点P(-),长轴平行于y轴的椭圆方程. 

3.若椭圆(a>0)与连结A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点,求a的取值范围.  

●参 

1.  命sin2α=sin2β=sin2γ=,则cos2α=cos2β=cos2γ=.α、β、γ为锐角时，cosα=cosβ=cosγ=. 

∴ cosαcosβcosγ=. 

(注：根据解题常识，最大值应在cosα=cosβ=cosγ时取得). 

2.解析  按常规,设椭圆中心为(x0,y0),并列出过已知点P的切线方程,联立消参可求得椭圆方程. 

若借极限思想,将点椭圆视为椭圆的极限情况,则可简化运算过程. 

已知e=,则a2=5b2.设长轴平行于y轴且离心率e=的椭圆系为 

(x+，把点P(-看做当k→0时的极限情形(点椭圆),则与直线l:2x-y+3=0相切于该点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程: 

(x+

又所求的椭圆过（1，0）点,代入求得λ=-. 

因此所求椭圆方程为x2+=1. 

点评  将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量,简化了运算过程. 

3.解析   若按常规,需分两种情况考虑: 

①A,B两点都在椭圆外; 

②A,B两点都在椭圆内. 

若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁. 

设a的允许值的集合为全集I={a|a∈R,a>0},先求椭圆和线段AB有公共点时的取值范围. 

易得线段AB的方程为y=x+1,x∈［1,3］, 

由方程组,x∈［1,3］, 

a2的值在［1,3］内递增,且x=1和x=3时分别得a2=或a2=,故≤a2≤. 

∵a>0,∴≤a≤. 

故当椭圆与线段AB无公共点时,a的取值范围为0.