山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试 数学理

数学(理工类)试题               2013.03

    本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分l50分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

  1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡上

  2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)．

如果事件A、B，那么P(A·B)=P(A)·P(B)．

第I卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共l2小题．每小题5分。共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．

1．复数，则复数在复平面上对应的点位于

 A．第一象限    B．第二象限   C．第三象限    D．第四象限

2．已知全集U=R，集合A={}，集合B={}，则如图所示的阴影部分表示的集合是

  A．{}    B．{}

  C．{}             D．{}

3．下列命题中正确的有

①设有一个回归方程=2—3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；

②命题P：“”的否定P：“”；

③设随机变量X服从正态分布N(0，1)，若P(X>1)=p，则P(-1④在一个2×2列联表中，由计算得k2=6．679，则有99％的把握确认这两个变量间有关系．

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

本题可以参考性检验临界值表

A．矩形    B．正方形    C．菱形 D．梯形

5．已知是定义在R上的奇函数，若对于x≥0，都有f(x+2)=，且当时，，则=

A．1-e    B．e-1  ．    C．-l-e   D．e+l

 6．如果右边程序框图的输出结果是6，那么在判断框中①表示的“条件”应该是

  A．i≥3   B．i≥4

  C．i≥5   D．i≥6

7．设x，y满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则ab的最大值为

  A．1    B．    C．    D． 

8．已知m，n是空间两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是

  A．若，，，则  B．若，则

  C．若则          D．若则

9．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有

  A．24种    B．18种    C．48种  D．36种

10．关于函数的四个结论：

  P1：最大值为；

  P2：把函数的图象向右平移个单位后可得到函数的图象；

  P3：单调递增区间为[]，； 

  P4：图象的对称中心为()，．其中正确的结论有

  A．1个    B．2个    C．3个 D．4个

11．现有四个函数：①②③④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

  A．④①②③    B．①④③②    C．①④②③  D．③④②①

12．过双曲线(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为

  A．  B．  C．    D． 

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题．每小题4分．共16分．

13、如图，长方形的四个顶点为O(0，0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)，曲线经过点B．现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是   ▲   

14．的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为 ▲

15．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式：

    22=1+3   32=1+3+5   42=1+3+5+7…

    23=3+5   33=7+9+11…

    24=7+9…

此规律，54的分解式中的第三个数为   ▲   

16．函数的定义域为D，若存在闭区间[a，b] D，使得函数满足：

(1)在[a，b]内是单调函数；(2)在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的是    ▲    (只需填符合题意的函数序号)

  ①；②；

  ③；④。

三、解答题：本大题共6小题。共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．

17．(本小题满分12分)在△ABC中，已知A=，．

  (I)求cosC的值；

  (Ⅱ)若BC=2，D为AB的中点，求CD的长．

18．(本小题满分l2分)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙通过检测合格的概率分别为、、。指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．

  (I)求该项技术量化得分不低于8分的概率；

  (II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．

19．(本小题满分12分)

如图1，的直径AB=4，点C、D为上两点，且CAB=45°，DAB=60°，F为弧BC的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直，如图2。

(I)求证：OF平面ACD；

(Ⅱ)求二面角C—AD—B的余弦值；

(Ⅲ)在弧BD上是否存在点G，使得FG平面ACD?若存在，试指出点G的位置；若不存在，请说明理由．

20．(本小题满分12分)已知数列{}的前n项和，数列{}满足=．

  (I)求证数列{}是等差数列，并求数列{}的通项公式；

  (Ⅱ)设，数列{}的前n项和为Tn，求满足的n的最大值。

21．(本小题满分13分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4.

  (I)求椭圆C的标准方程；

  (II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为。

  ①求四边形APBQ面积的最大值；

  ②设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，判断+的值是否为常数，并说明理由．

22．(本小题满分l3分)已知函数．

  (I)若a=-1，求函数的单调区间；

  (Ⅱ)若函数的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45o，对于任意的t [1，2]，函数是的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；

  (Ⅲ)求证： 

2013年济宁市高三模拟考试

数学（理工类）试题参及评分标准

一 、选择题：每小题5分，共60分.

1～5  DACCB    6～10  DDDAB   11～12  CA 13.   14. 10  15. 125    16.  ①③④

三、解答题：共74分.

17．解：（Ⅰ）且，∴    …………2分

          ……………………………………………4分

       …………………………6分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）可得     ……………………8分

由正弦定理得，即，解得．  ………………………………10分

    在中， ，所以

18.解：（Ⅰ）该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙通过检测合格分别为事件、、，

则事件“得分不低于8分”表示为+.  与为互斥事件，且、、为彼此+=（）+（） =（）（）（）+（）（）（=.    ……………………4分

（Ⅱ）该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数的取值为0,1,2,3.

=（）==,

=（++）=++=,     ……………6分

=（++）=++=,

=（）==,    …………………………………………………………8分

随机变量的分布列为

19.（方法一）：证明：（Ⅰ）如右图，连接，      

，.  …1分 又为弧的中点，，.  ………平面，平面，

平面．  …解：（Ⅱ）过作于，连．        

，平面⊥平面．      ⊥平面．又平面，，平面，，则∠是二面角的平面角．… ，，.  由⊥平面，平面，得为直角三角形， ， ==．  ………8分

（Ⅲ）取弧的中点，连结、，则

…平面，平面平面//平面.     ……………

因此，在弧上存在点，使得//平面，且点为弧的中点．…12分

（方法二）：证明：（Ⅰ）如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以为原点，建立空间直角坐标系则．…… 1分，

点为弧的中点，点的坐标为，．

解：（Ⅱ），点的坐标，．

设二面角的大小为，为平面的一个法向量．

由有即

取，解得，． =． ………………………………5分

取平面的一个法向量=，   ………………………………………………………6分

． ……………………………8分

（Ⅲ）设在弧上存在点,

,由（Ⅱ）知平面的一个法向量为=．    

= ①  ……………9分

又因为  ②由①②两式联立解得，…11分，因为，所以,则为弧的中点，因此，在弧上存在点，使得//平面，且点为弧的中点．  ………12分

20. 解：（Ⅰ）在中，令n=1，可得，即.    

当时，∴， …∴，即.∵，∴，即当时，.   ……又，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.

于是，∴.    …………………………………………6分

（Ⅱ）∵,

∴,      ……………………………………………………………8分

∴=. …10分

由，得，即，

单调递减，∵，

∴的最大值为4.    ……………………………………………………………………………………12分

21.解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为 .     ………………………………1分

 由已知b=  离心率 ,得

 所以，椭圆C的方程为.   ……………………………………………………………4分

（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为 ，，则， ……………5分

设AB(),直线AB的方程为，代人

得：.

由△>0,解得，由根与系数的关系得       ………………………7分

四边形APBQ的面积

故当   …②由题意知，直线PA的斜率，直线PB的斜率

则  ………………………10分

=

=，由①知

可得

所以的值为常数0.      ……………………………………………………………………13分    

22.解：（Ⅰ）当时，    解得；解得的单调增区间为，减区间为.  ………4分

（Ⅱ） ∵∴得， ，∴  

∵在区间上总不是单调函数，且∴  …………………7分

由题意知：对于任意的，恒成立，

所以，，∴.    ………（Ⅲ）证明如下： 由（Ⅰ）可知

当时，即，

∴对一切成立．…………………………………………………10分

∵，则有，∴.    …………………11分

.   ………13分