湖北省武汉市2020年九年级四月调考数学模拟试卷(五)(含解析)

一．选择题

1．（3分）一个数的相反数是﹣2020，则这个数是（　　）

A．2020 B．﹣2020 C． D．

2．（3分）二次根式，则a的取值范围是（　　）

A．a≤2 B．a≤﹣2 C．a＞2 D．a＜0

3．（3分）事件A：射击运动员射击二次，刚好都射中靶心；事件B：掷硬币，正面朝上，则（　　）

A．事件A和事件B都是必然事件    

B．事件A是随机事件，事件B是不可能事件    

C．事件A和事件B都是随机事件    

D．事件A是必然事件，事件B是随机事件

4．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

5．（3分）如图，是由一个圆柱和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．

6．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“金有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　）

A．  B．    

C．  D．

7．（3分）从﹣2，﹣1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y＝kx+b的系数k，b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过第四象限的概率是（　　）

A． B． C． D．

8．（3分）对于反比例函数y＝，下列说法正确的个数是（　　）

①函数图象位于第一、三象限；

②函数值y随x的增大而减小

③若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（1，y3）是图象上三个点，则y1＜y3＜y2；

④P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积是定值．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．（3分）如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展而来边数记为a3＝12，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4＝20，第（3）个多边形由五边形“扩展”而来，边数记为a5＝30…依此类推，由正n边形“扩展而来的多边形的边数记为an（n≥3），则结果是（　　）

A． B． C． D．

10．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝4，D、E分别为射线CB、AC上的两动点，且BD＝CE，直线AD和BE相交于M点，则CM的最大值为（　　）

A．2 B． C．3 D．4

二．填空题

11．（3分）计算：|﹣3|﹣＝　   　．

12．（3分）某体校篮球班21名学生的身高如表：

13．（3分）计算：﹣的值为　   　．

14．（3分）如图，△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝54°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CE交于F，连接AF，则∠AFE的度数是　   　．

15．（3分）平面直角坐标系中，⊙O交x轴正负半轴于点A、B，点P为⊙O外y轴正半轴上一点，C为第三象限内⊙O上一点，PH⊥CB交CB延长线于点H，已知∠BPH＝2∠BPO，PH＝15，CH＝24，则tan∠BAC的值为　   　．

16．（3分）对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是　   　．

三．解答题

17．（6分）计算a2•a4+（a3）2﹣32a6

18．（8分）如图，直线CD、EF被直线l所截，∠DAB与∠ABF的角平分线相交于点G，且∠AGB＝90°，求证：CD∥EF．

19．（8分）随着互联网的高速发展，人们的支付方式发生了巨大改变．某数学兴趣小组抽样调查了春节期间某商场顾客的支付方式，主要有现金支付、银联卡支付和手机支付，调查得知使用这三种支付方式的人数比为2：3：5，手机支付已成为市民购物的一种便捷支付方式，手机支付主要有A﹣支付宝，B﹣微信和C﹣其他支付方式，现将使用各种手机支付方式人数的调查结果绘制成如下不完整的统计图．

根据以上信息回答下列问题：

（1）扇形统计图中圆心角α的度数为　   　；请补全条形统计图．

（2）已知该商场春节长假期间共有20000人购物，请估计该商场用支付宝进行支付的人数．

（3）经调查，该商场某天顾客现金支付、银联卡支付和手机支付每笔交易发生的平均金额分别为120元、260元、80元，求该商场这一天顾客每笔交易发生的平均金额．

20．（10分）请仅用无刻度的直尺，保留作图痕迹．

（1）如图1中，OA＝OB，BD＝AC，作出图中∠AOB的平分线OP；

（2）如图2中的每个小方格都是边长为1的正方形，A、O、B都在格点上，请在网格纸中完成．

①作出图中∠AOB的平分线OP，②在格点上找到一点Q，使得tan∠POQ＝．

21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，D为AC的中点，过点C作⊙O的切线与射线OD交于点E．

（1）求证：∠E＝∠A；

（2）若延长EC与AB交于点F，若⊙O的半径为3，sinF＝，求DE的长．

22．（10分）公司以10元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查获悉，日销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的一次函数，部分数据如表：

（2）求日销售利润为150元时的销售价格；

（3）若公司每销售1千克产品需另行支出a元（0＜a＜10）的费用，当20≤x≤25时，公司的日获利润的最大值为1215元，求a的值．

23．（10分）已知，在△ABC和△EFC中，∠ABC＝∠EFC＝90°，点E在△ABC内，且∠CAE+∠CBE＝90°

（1）如图1，当△ABC和△EFC均为等腰直角三角形时，连接BF，

①求证：△CAE∽△CBF；

②若BE＝2，AE＝4，求EF的长；

（2）如图2，当△ABC和△EFC均为一般直角三角形时，若＝k，BE＝1，AE＝3，CE＝4，求k的值．

24．（10分）已知抛物线交x轴于A，B两点（A在B右边），A（3，0），B（1，0）交y轴于C点，C（0，3），连接AC；

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为抛物线上的一点，作PE⊥CA于E点，且CE＝3PE，求P点坐标；

（3）将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，过H作直线MH，NH，当MH⊥NH时，求MN恒过的定点坐标．

参与试题解析

一．选择题

1．【解答】解：∵一个数的相反数是﹣2020，

∴这个数是：2020．

故选：A．

2．【解答】解：二次根式有意义，可得2﹣a≥0，

解得：a≤2，

故选：A．

3．【解答】解：∵事件A：射击运动员射击二次，刚好都射中靶心是可能事件；

事件B：掷硬币，正面朝上是可能事件，

∴事件A和事件B都是随机事件．

故选：C．  

4．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，故此选项正确；

故选：D．

5．【解答】解：从上边看是一个有圆心的同心圆，

故选：A．

6．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，

根据题意得：．

故选：A．

7．【解答】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，一次函数y＝kx+b的图象不经过第四象限的有：（1，2），（2，1），

∴一次函数y＝kx+b的图象不经过第四象限的概率为：＝．

故选：D．

8．【解答】解：反比例函数y＝，因为k2+1＞0，根据反比例函数的性质它的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故①说法正确，②错误，

若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（1，y3）是图象上三个点，则y1＜0＜y2＜y3；故说法③错误；

P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积为（k2+1），故④说法正确；

故选：B．

9．【解答】解：∵根据图形可知：a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝5×6，…，a12＝12×13，

∴

＝++++…+

＝﹣+﹣+…+﹣

＝﹣

＝，

故选：D．

10．【解答】解：如图，

∵△ABC是等边三角形，

∴BA＝CB，∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠ABD＝∠BCE＝120°，

∵BD＝CE，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠D＝∠E，

∵∠DBM＝∠EBC，

∴∠DMB＝∠BCE＝120°，

∴∠AMB＝60°，

∴点M的运动轨迹是图中红线（在△ABM的外接圆⊙J上），

连接CJ，延长CJ交⊙J 于N，当点M与N重合时，CM的值最大，

在Rt△JCB中，BJ＝BC•tan30•＝，JC＝2BJ＝，

∴CN＝+＝4，

∴CM的最大值为4，

故选：D．

二．填空题

11．【解答】解：原式＝3﹣4

＝﹣1．

故答案为：﹣1．

12．【解答】解：按从小到大的顺序排列，第11个数是187cm，

故中位数是187cm．

故答案为：187cm．

13．【解答】解：原式＝﹣

＝

＝﹣

＝，

故答案为：．

14．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ADF＝∠AEF，

∴A，E，D，F四点共圆，

∴∠AFE＝∠ADE，

∵∠DAE＝54°，AD＝AE，

∴∠ADE＝（180°﹣54°）＝63°，

∴∠AFE＝63°，

故答案为：63°．

15．【解答】解：设PB交⊙O于点N，连接PA，延长PB、AC交于点M，

∵AB是直径，PH⊥CB

∴∠ANP＝90°＝∠ACB＝∠H，

∴MC∥PH，

由圆的对称性可得，PA＝PA，∠BPO＝∠APO＝∠APB，

∵∠BPH＝2∠BPO，

∴∠BPH＝∠APB，

∴△PHB≌△PNA （AAS），

∴PN＝PH＝15，

由MC∥PH得，∠HPB＝∠M＝∠APM，

∴AM＝AP＝PB，

∵AN⊥PM，

∴PM＝2PN＝30，

由△PHB∽△MCB，

∴＝＝，

设MC＝a，BC＝b，MB＝c，则HB＝24﹣b，PB＝30﹣C，

∴＝＝，

∴＝＝sinM＝sin∠HPB，

在Rt△PHB中，PH＝15，

∴PB＝＝25，HB＝sin∠HPB•PH＝20，

∴BC＝24﹣20＝4，MB＝30﹣25＝5，则MC＝＝3，

在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝AM﹣MC＝25﹣3＝22，

∴tan∠BAC＝＝＝，

故答案为：．

16．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），

∴a+b+c＝﹣1 ①a﹣b+c＝1 ②

①+②得：a+c＝0   即a与c互为相反数，

①﹣②得：b＝﹣1；

所以抛物线表达式为y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），

∴对称轴为x＝，

当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝＜0，

∵抛物线y＝ax2﹣x﹣a（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），

画图可知，当≤﹣1时符合题意，此时﹣≤a＜0，

当﹣1＜＜0时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去

同理，当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝＞0，

画图可知，当≥1时符合题意，此时0＜a≤，

当0＜＜1时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去，

综上所述：a的取值范围是﹣≤a＜0或0＜a≤，

故答案为：﹣≤a＜0或0＜a≤．

三．解答题

17．【解答】解：原式＝a6+a6﹣32a6

＝﹣30a6．

18．【解答】证明：∵∠AGB＝90°，

∴∠BAG+∠ABG＝90°，

∵AG平分∠BAD，

∴∠BAD＝2∠BAG，

∵BG平分∠ABF，

∴∠ABF＝2∠ABG，

∴∠BAD+∠ABF＝2∠BAG+2∠ABG＝180°，

∴CD∥EF．

19．【解答】解：（1）扇形统计图中圆心角α的度数为：360°×（1﹣35%﹣25%）＝144°，

选择B的人数为：350÷35%﹣350﹣250＝400，

补全的条形统计图如右图所示，

故答案为：144°；

（2）20000××35%＝3500（人），

即该商场用支付宝进行支付的有3500人；

（3）120×+260×+80×＝142（元），

即该商场这一天顾客每笔交易发生的平均金额是142元．

20．【解答】解：（1）如图1，射线OP即为所求；

（2）①如图2，射线OP即为所求．

②如图2，点Q即为所求．

21．【解答】（1）证明：连接OC，

∵D为AC的中点，AO＝CO，

∴OD⊥AC，∠AOD＝∠COD，

∵根据圆周角定理得：∠CBA＝∠AOC，

∴∠CBA＝∠COD，

∵AB为⊙O的直径，EF切⊙O于C，

∴∠ECO＝∠OCF＝∠ACB＝90°，

∵∠E+∠COD+∠ECO＝180°，∠A+∠ACB+∠CBA＝180°，

∴∠E＝∠A；

（2）解：过C作CM⊥AB于M，

∵⊙O的半径为3，sinF＝＝，

∴OF＝5，

在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF＝＝4，

由三角形面积公式得：S△OCF＝×，

即 3×4＝5×CM，

解得：CM＝2.4，

由勾股定理得：OM＝＝＝1.8，

∴BM＝3﹣1.8＝1.2，

由勾股定理得：BC＝＝＝1.2，

AC＝＝＝2.4，

∵D为AC的中点，

∴CD＝AC＝1.2，

∵∠A＝∠E，

∴tanA＝tanE，

∴＝，

∴＝，

∴DE＝2.4＝．

22．【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b（≠0），

把x＝10，y＝300和x＝20，y＝150代入得

解得：，

∴y＝﹣15x+450；

（2）设日销售利润w＝y（x﹣10）＝（﹣15x+450）（x﹣10）

即w＝﹣15x2+600x﹣4500，

当w＝150时，150＝﹣15x2+600x﹣4500，

解得，x＝20

答：日销管利润为150元时的销售价格为（20+3）元或（20﹣3）元；

（3）日获利w＝y（x﹣10﹣a）＝（﹣15x+450）（x﹣10﹣a），

即w＝﹣15x2+（600+15a）x﹣（450a+4500），

对称轴为x＝﹣＝20+a，

∵0＜a＜10，

∴20＜20+a＜25，

∴当x＝20+a时，w有最大值，为w＝a2﹣150a+1500＝1215，

解得a1＝2，a2＝38＞10（舍去），

综上所述，a的值为2．

23．【解答】解：（1）①∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，

∴∠ECF＝∠ACB＝45°，

∴∠BCF＝∠ACE，

∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，

∴CE＝CF，AC＝CB，

∴＝，

∴，

∴△BCF∽△ACE；

②由①知，△BCF∽△ACE，

∴∠CBF＝∠CAE，＝，

∴BF＝AE＝×4＝2，

∵∠CAE+∠CBE＝90°，

∴∠CBF+∠CBE＝90°，

即：∠EBF＝90°，

根据勾股定理得，EF＝＝＝2；

（2）如图（2），连接BF，

在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝k，

同理，tan∠ECF＝k，

∴tan∠ACB＝tan∠ECF，

∴∠ACB＝∠ECF，

∴∠BCF＝∠ACE，

在Rt△ABC中，设BC＝m，则AB＝km，

根据勾股定理得，AC＝＝m；

在Rt△CEF中，设CF＝n，则EF＝nk，同理，CE＝n

∴，＝，

∴，

∵∠BCF＝∠ACE，

∴△BCF∽△ACE，

∴∠CBF＝∠CAE，

∵∠CAE+∠CBE＝90°，

∴∠CBF+∠CBE＝90°，

即：∠EBF＝90°，

∵△BCF∽△ACE，

∴，

∴BF＝AE＝，

∵CE＝4，

∴n＝4，

∴n＝，

∴EF＝，

在Rt△EBF中，根据勾股定理得，BE2+BF2＝EF2，

∴12+（）2＝（）2，

∴k＝或k＝﹣（舍），

即：k的值为．

24．【解答】解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（1，0），

∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x﹣1）（a≠0），

把c（0，3）代入，得3a＝3，

∴a＝1，

∴抛物线的解析式是y＝（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3，

即y＝x2﹣4x+3；

（2）当P点在AC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，过E作EF⊥y轴于F，延长FE与PD交于点G，如图1，

∵A（3，0），C（0，3），

∴OA＝OC＝3，

∴∠OAC＝45°，

∵FG∥OA，

∴∠CEF＝45°，

∴CF＝EF＝CE，

∵PE⊥CA，

∴∠PEG＝45°，

∴PG＝EG＝PE，

∵CE＝3PE，

∴EF＝3FG，

设EF＝3m，则PG＝EG＝m，FG＝4m，

∴DG＝OF＝OC﹣CF＝3﹣3m，

PD＝PG+DG＝3﹣2m，

∴P（4m，3﹣2m），

把P（4m，3﹣2m）代入y＝x2﹣4x+3中得，

3﹣2m＝16m2﹣16m+3，

∴m＝，或m＝0（舍去），

∴P（，）；

当P点AC下方时，如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，过E作EF⊥y轴于F，延长FE与PD交于点G，

∵A（3，0），C（0，3），

∴OA＝OC＝3，

∴∠OAC＝45°，

∵FE∥OA，

∴∠CEF＝45°，

∴CF＝EF＝CE，

∵PE⊥CA，

∴∠PEG＝45°，

∴PG＝EG＝PE，

∵CE＝3PE，

∴EF＝3FG，

设EF＝3m，则PG＝EG＝m，EG＝2m，

∴DG＝OF＝OC﹣CF＝3﹣3m，

PD＝PG﹣DG＝4m﹣3，

∴P（2m，3﹣4m），

把P（2m，3﹣4m）代入y＝x2﹣4x+3中得，

3﹣4m＝4m2﹣8m+3，

∴m＝1，或m＝0（舍去），

∴P（2，﹣1）；

综上，P点的坐标为（2，﹣1）或（，）；

（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为（2，﹣1），

∵将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，

∴H（2，0），

由题意知，点H是新抛物线的顶点，

∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2，

设M（m，（m﹣2）2），N（n，（n﹣2）2），

过M作MK⊥x轴于点K，过点N作NL⊥x轴于点L，如图3，

则MK＝（m﹣2）2，KH＝2﹣m，HL＝n﹣2，NL＝（n﹣2）2，

∵MH⊥NH，

∴∠MHK+∠HMK＝∠MHK+∠NHL＝90°，

∴∠HMK＝∠NHL，

∵∠MKH＝∠HLN＝90°，

∴△KHM∽△LNH，

∴，

，

∴，

∴，

设直线MN的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，

∴，

∴直线MN的解析式为：，

当x＝2时，y＝﹣（m2﹣4m+3）

＝m2﹣4m+4﹣m2+4m﹣3＝1，

∴MN恒过的定点（2，1）．