2011-2013年北约自主招生数学试题与答案独家全集版

1．以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？

    A. 2      B. 3       C. 5      D. 6

解析：显然，多项式的系数均为有理数，且有两根分别为和.于是知，以和为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5.

若存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和，其中不全为0，则：

即方程组：，有非0有理数解.

由（1）+（3）得：   （6）

由（6）+（2）得：     （7）

由（6）+（4）得：    （8）

由（7）（5）得：，代入（7）、（8）得：，代入（1）、（2）知：.于是知，与不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和.

综上所述知，以和为两根的有理系数多项式的次数最小为5.

2．在的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？

  A. 720       B. 20      C. 518400      D. 14400

解析：先从6行中选取3行停放红色车，有种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有种停放汽车的方法.

3．已知，求的值.

    A. 10      B. 12      C. 14      D. 16

解析：根据条件知：

由两式相减得故或

①若则，解得.于是知或.

当时，

.

当时

.

（2）若，则根据条件知：，于是，

进而知.

于是知：.

综上所述知，的值为或.

4．数列满足，前项和为，求.

A. 30192 2012        B. 301922013    C. 301822012    D.无法确定

解析：根据条件知：.又根据条件知：.

所以数列.

又.令，

则，所以.即.

对，两边同除以，有，即.令，则，，于是知.所以.于是知：.

5．如图，中，为边上中线，分别的角平分线，试比较与的大小关系，并说明理由.

A. BM+CN>MN

B. MNCNMN

C. BM+CNMN

D.无法确定

解析：如图，延长到，使得，连接.易知，所以.又因为分别为的角平分线，所以，知为线段的垂直平分线，所以.所以.

6.模长为1的复数，满足，求的模长.

   A. 1/2     B. 1       C. 2          D.无法确定

解析：根据公式知，.于是知：

.

所以的模长为1.

7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数.

    解析：所有正整数按取模3可分为三类：型、型、型.

首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取型数为，型数为，型数为，

则，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类.

其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类型的数至少取到三个，设其中三个分别为，

则，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.

结合上述两条，我们知道最多只能取个数，才有可能满足题设条件.

另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件.

综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.

8．已知，满足，且，求证：.

  解析：根据条件知:

，（1）

另一方面，令，则中每个数或为，或为.设其中有个，个，则：

（2）

由（1）、（2）知：

                                                      （3）

而为奇数，不可能为0，所以.于是知：

.

从而知：，即得.同理可知：.命题得证.

9．对任意的，求的值.

解析：根据二倍角和三倍角公式知：

.

10．已知有个实数，排列成阶数阵，记作，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，都有.现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即对任意的，当时，都有.试判断中每一行的个数的大小关系，并说明理由.

解析：数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，理由如下：

显然，我们要证数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意，都有，其中.

若存在一组.令，其中，.则当时，都有.也即在中，至少有个数小于，也即在数阵的第列中，至少排在第行，与排在第行矛盾.

所以对于任意，都有，即数阵中每一行的个数从左到右都是递增的.

2012年北约自主招生数学试题

1、求的取值范围使得是增函数；

2、求的实数根的个数；

3、已知的4个根组成首项为的等差数列，求；

4、如果锐角的外接圆的圆心为，求到三角形三边的距离之比；

5、已知点，若点是圆上的动点，求面积的最小值。

6、在中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？

7、求使得在有唯一解的；

8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；

9、求证：对于任意的正整数，必可表示成的形式，其中

2012年自主招生北约联考数学试题解答