高中自主招生数学试题(另附详细答案)

 年无为中学高中自主招生数学试题　

一．选择题（共6小题）

1．已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（　　）

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

2．如果|x﹣a|=a﹣|x|（x≠0，x≠a），那么=（　　）

A．

2a

B．

2x

C．

﹣2a

D．

﹣2x

3．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（　　）

A．

1999

B．

2000

C．

2001

D．

不能确定

4．（2013•莒南县一模）如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（　　）

  

A．

k1+k2

B．

k1﹣k2

C．

k1•k2

D．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（　　）

A．

（2010，2）

B．

（2010，﹣2）

C．

（2012，﹣2）

D．

（0，2）

　6．如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

　二．填空题（共7小题）

7．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则ax3+bx2+cx+1的值是　_________　．

　8．如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是　_________　．

    

　

9．（2013•沐川县二模）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，…，Bn﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为　_________　；面积小于2011的阴影三角形共有　_________　个．

　

10．你见过像，，…这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以化简，如．请用上述方法化简：=　_________　．

　

11．不等式组有六个整数解，则a的取值范围为　_________　．

　

12．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x2=﹣1时，突发奇想：x2=﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=﹣1，那么若x2=﹣1，则x=±i，从而x=±i是方程x2=﹣1的两个根．据此可知：①i可以运算，例如：i3=i2•i=﹣1×i=﹣i，则i2011=　_________　，②方程x2﹣2x+2=0的两根为 

　_________　（根用i表示）

　

13．（2013•日照）如右图，直线AB交双曲线于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA．若OM=2MC，S△OAC=12．则k的值为　_________　．

　

三．解答题（共7小题）

14．在“学科能力”展示活动中，某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、l00分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等．现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图：

（1）甲校选手所得分数的中位数是　_________　，乙校选手所得分数的众数是　_________　；

（2）请补全条形统计图；

（3）比赛后，教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，请用列表法或树状图的方法，求所选两位选手来自同一学校的概率．

　15．（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|====；

参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．

（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值；

（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．

  

　

16．（2013•威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．

（1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；

（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．

17．（2012•内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：

（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；

（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；

（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．

　

18．（2013•钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．

（1）求⊙O的半径OD；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）求图中两部分阴影面积的和．

　

19．（2013•益阳）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．

（1）求证：AE=BC；

（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；

（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．

　

20．（2013•昭通）如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．

（1）求抛物线的解析式．

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．

（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）

　

答案：

2015年无为中学高中自主招生数学试题

参与试题解析

　

一．选择题（共6小题）

1．（2011•随州）已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（　　）

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

考点：	二次函数的图象．
专题：	压轴题；数形结合．
分析：	首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值．
解答：	解：函数的图象如图： 根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个， ∴k=3． 故选D．
点评：	此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．

　

2．如果|x﹣a|=a﹣|x|（x≠0，x≠a），那么=（　　）

A．

2a

B．

2x

C．

﹣2a

D．

﹣2x

考点：	二次根式的性质与化简；绝对值；完全平方公式；含绝对值符号的一元一次方程．
专题：	计算题．
分析：	由绝对值的定义可知，一个数的绝对值要么等于它本身，要么等于它的相反数，根据已知条件|x﹣a|=a﹣|x|，得出|x|=x且x≤a．再根据完全平方公式及二次根式的性质=|a|进行化简，最后去括号、合并同类项即可得出结果．
解答：	解：∵|x﹣a|=a﹣|x|， ∴|x|=x且x≤a． ∴a﹣x＞0，a+x＞0． ∴ =﹣ =|a﹣x|﹣|a+x| =a﹣x﹣（a+x） =a﹣x﹣a﹣x =﹣2x． 故选D．
点评：	本题考查了绝对值的定义，完全平方公式，二次根式的性质，二次根式的化简及整式的加减运算，难度中等，其中根据绝对值的定义，结合已知条件得出|x|=x且x≤a是解题的关键．

　

3．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（　　）

A．

1999

B．

2000

C．

2001

D．

不能确定

考点：	二次根式的性质与化简．
分析：	将已知等式右边化简，两边比较系数可知a、b、c的值，再计算式子的值．
解答：	解：∵==， ∴a+b+c=， ∴a=0，b=1，c=1， 2a+999b+1001c=2000． 故选B．
点评：	本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式化简并比较系数是解题的关键．

　

4．（2013•莒南县一模）如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（　　）

A．

k1+k2

B．

k1﹣k2

C．

k1•k2

D．

考点：	反比例函数系数k的几何意义．
专题：	压轴题；数形结合．
分析：	四边形PAOB的面积为矩形OCPD的面积减去三角形ODB与三角形OAC的面积，根据反比例函数中k的几何意义，其面积为k1﹣k2．
解答：	解：根据题意可得四边形PAOB的面积=S矩形OCPD﹣SOBD﹣SOAC， 由反比例函数中k的几何意义，可知其面积为k1﹣k2． 故选B．
点评：	主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．

　

5．（2012•南开区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（　　）

A．

（2010，2）

B．

（2010，﹣2）

C．

（2012，﹣2）

D．

（0，2）

考点：	坐标与图形变化-旋转；等腰梯形的性质．
专题：	规律型．
分析：	由P、A两点坐标可知，点P绕点A旋转180°得点P1，即为直线PA与x轴的交点，依此类推，点P2为直线P1B与y轴的交点，由此发现一般规律．
解答：	解：由已知可以得到，点P1，P2的坐标分别为（2，0），（2，﹣2）． 记P2（a2，b2），其中a2=2，b2=﹣2． 根据对称关系，依次可以求得：P3（﹣4﹣a2，﹣2﹣b2），P4（2+a2，4+b2），P5（﹣a2，﹣2﹣b2），P6（4+a2，b2）． 令P6（a6，b2）， 同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b2），即P10（4×2+a2，b2）， 由于2010=4×502+2，所以点P2010的坐标为（2010，﹣2）． 故选B．
点评：	本题考查了旋转变换的规律．关键是根据等腰梯形，点的坐标的特殊性，寻找一般规律．

　

6．（2013•荆门）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：	圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．
专题：	压轴题．
分析：	首先过点A作AD⊥OB于点D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值．
解答：	解：过点A作AD⊥OB于点D， ∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°， ∴OD=AD=OA•cos45°=×1=， ∴BD=OB﹣OD=1﹣， ∴AB==， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°，AC=2， ∴sinC=． 故选B．
点评：	此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

　

二．填空题（共7小题）

7．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则ax3+bx2+cx+1的值是　1　．

考点：	代数式求值；绝对值．
专题：	计算题．
分析：	由三个数a、b、c的积为负数，可知三数中只有一个是负数，或三个都是负数；又三数的和为正，故a、b、c中只有一个是负数，根据对称轮换式的性质，不妨设a＜0，b＞0，c＞0，求x的值即可．
解答：	解：∵abc＜0， ∴a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数； 又∵a+b+c＞0， ∴a、b、c中只有一个是负数． 不妨设a＜0，b＞0，c＞0， 则ab＜0，ac＜0，bc＞0， x=﹣1+1+1﹣1﹣1+1=0， 当x=0时， ax3+bx2+cx+1=0a+0b+0c=0+1=1． 故本题答案为1．
点评：	观察代数式，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论．有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质．

　

8．如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是　6　．

考点：	面积及等积变换．
分析：	先设△BEF的面积是x，由于E是BC中点，那么S△DBE=S△DCE，易求S正方形=4（1+x），又四边形ABCD是正方形，那么 AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△BEF∽△DAF，于是S△BEF：S△DAF=（）2，E是BC中点可知BE：AD=1：2，于是S△DAF=4x，进而可得S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，等量代换可得4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解可求x，进而可求正方形的面积．
解答：	解：如右图，设△BEF的面积是x， ∵E是BC中点， ∴S△DBE=S△DCE， ∴S△BCD=2（1+x）， ∴S正方形=4（1+x）， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△BEF∽△DAF， ∴S△BEF：S△DAF=（）2， ∵E是BC中点， ∴BE=CE， ∴BE：AD=1：2， ∴S△DAF=4x， ∵S△ABE=S△BED， ∴S△ABF=S△DEF=1， ∴S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x， ∴4（1+x）=1+x+4x+1+1+x， 解得x=0.5， ∴S正方形=4（1+x）=4（1+0.5）=6．
点评：	本题考查了面积以及等积变换、相似三角形的判定和性质，解题的关键是找出正方形面积的两种表示方式．

　

9．（2013•沐川县二模）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，…，Bn﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为　　；面积小于2011的阴影三角形共有　6　个．

考点：	相似三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形的面积．
分析：	根据面积比等于相似比的平方，可得出=，=，再由平行线的性质可得出==，==，从而可推出相邻两个阴影部分的相似比为1：2，面积比为1：4，先利用等底三角形的面积之比等于高之比可求出第一个及第二个阴影部分的面积，再由相似比为1：2可求出面积小于2011的阴影部分的个数．
解答：	解：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3， ∴==，==， 又∵A1B1∥A2B2∥A3B3， ∴===，==， ∴OA1=A1A2，B1B2=B2B3 继而可得出规律：A1A2=A2A3=A3A4…；B1B2=B2B3=B3B4… 又△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4， ∴S△A1B1A2=，S△A2B2A3=2， 继而可推出S△A3B3A4=8，S△A，4B4A5=32，S△A5B5A6=128，S△A6B6A7=512，S△A7B7A8=2048， 故可得小于2011的阴影三角形的有：△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，△A4B4A5，△A5B5A6，△A6B6A7，共6个． 故答案是：；6．
点评：	此题考查了相似三角形的判定与性质及平行线的性质，解答本题的关键是掌握相似比等于面积比的平方，及平行线分线段成比例，难度较大，注意仔细观察图形，得出规律．

　

10．你见过像，，…这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以化简，如．请用上述方法化简：=　　．

考点：	二次根式的性质与化简．
分析：	因为5=2+3=（）2+（）2，且2=2××，由此把原式改为完全平方式，进一步因式分解，化简得出答案即可．
解答：	解：===+． 故答案为：+．
点评：	此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．

　

11．不等式组有六个整数解，则a的取值范围为　＜a≤　．

考点：	一元一次不等式组的整数解．
分析：	先求出不等式组的解集，再根据整数解有六个得到关于a的不等式组，然后解不等式组即可求解．
解答：	解：解不等式组，得﹣4＜x≤5﹣4a． 由题意，知此不等式组的六个整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2， 则2≤5﹣4a＜3，解得＜a≤． 故答案为＜a≤．
点评：	本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

　

12．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x2=﹣1时，突发奇想：x2=﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=﹣1，那么若x2=﹣1，则x=±i，从而x=±i是方程x2=﹣1的两个根．据此可知：①i可以运算，例如：i3=i2•i=﹣1×i=﹣i，则i2011=　﹣i．　，②方程x2﹣2x+2=0的两根为 

　1±i．　（根用i表示）

考点：	一元二次方程的应用．
专题：	新定义．
分析：	（1）根据题中规律可知i1=1，i2=﹣1，i3=﹣i，i4=1，可以看出4个一次循环，可以此求解． （2）把方程x2﹣2x+2=0变形为（x﹣1）2=﹣1，根据题目规律和平方根的定义可求解．
解答：	解：（1）i2011=i502×4+3=﹣i． （2）x2﹣2x+2=0 （x﹣1）2=﹣1 x﹣1=±i x=1+i或x=1﹣i． 故答案为：﹣i；1±i．
点评：	本题考查了用配方法解一元二次方程以及找出题目中的规律，从而求得解．

　

13．（2013•日照）如右图，直线AB交双曲线于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA．若OM=2MC，S△OAC=12．则k的值为　8　．

考点：	反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：	压轴题．
分析：	过A作AN⊥OC于N，求出ON=MN=CM，设A的坐标是（a，b），得出B（2a，b），根据三角形AOC的面积求出ab=8，把B的坐标代入即可求出答案．
解答：	解：过A作AN⊥OC于N， ∵BM⊥OC ∴AN∥BM， ∵，B为AC中点， ∴MN=MC， ∵OM=2MC， ∴ON=MN=CM， 设A的坐标是（a，b）， 则B（2a，b）， ∵S△OAC=12． ∴•3a•b=12， ∴ab=8， ∵B在y=上， ∴k=2a•b=ab=8， 故答案为：8．
点评：	本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题和三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力．

　

三．解答题（共7小题）

14．在“学科能力”展示活动中，某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、l00分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等．现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图：

（1）甲校选手所得分数的中位数是　90分　，乙校选手所得分数的众数是　80分　；

（2）请补全条形统计图；

（3）比赛后，教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，请用列表法或树状图的方法，求所选两位选手来自同一学校的概率．

考点：	条形统计图；扇形统计图；中位数；众数；列表法与树状图法．
分析：	（1）先设甲学校学生获得100分的人数为x，根据甲、乙两学校参加数学竞赛的学生人数相等，可得出方程，解出x的值，继而可得出甲校选手所得分数的中位数，及乙校选手所得分数的众数； （2）列出树状图后，求解即可得出所选两位选手来自同一学校的概率．
解答：	解：（1）先设甲学校学生获得100分的人数为x， 由题意得，x=（x+2+3+5）×， 解得：x=2，即获得100分的人数有2人． 故可得甲校选手所得分数的中位数是90分；乙校选手所得分数的众数80分． （2） 则两位选手来自同一学校的概率==．
点评：	本题考查了条形统计图及扇形统计图的知识，要求同学们有一定的读图能力，能在条形统计图及扇形统计图中得到解题需要用到的信息，有一定难度．

　

15．（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|====；

参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．

（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值；

（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．

考点：	抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
专题：	压轴题．
分析：	（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC=BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．根据本题定理和结论，得到AB=，根据顶点坐标公式，得到CE=||=，列出方程，解方程即可求出b2﹣4ac的值； （2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE=AE=，据此列出方程，解方程即可求出b2﹣4ac的值．
解答：	解：（1）当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE． ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0，则|b2﹣4ac|=b2﹣4ac． ∵a＞0，∴AB=， 又∵CE=||=， ∴， ∴， ∴， ∵b2﹣4ac＞0， ∴b2﹣4ac=4； （2）当△ABC为等边三角形时， 由（1）可知CE=， ∴， ∵b2﹣4ac＞0， ∴b2﹣4ac=12．
点评：	本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．

　

16．（2013•威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．

（1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；

（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．

考点：	二次函数综合题．
专题：	压轴题．
分析：	（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，列出方程组，通过解该方程组即可求得点A的坐标；根据∠BOA=90°得到直线OB的解析式为y=﹣x，则，通过解该方程组来求点B的坐标即可； （2）把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组即可求得该抛物线的解析式； （3）如图，作DN⊥x轴于点N．欲证明OD与CF平行，只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可．
解答：	解：（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，得 ， 解得，， ∴点A的坐标是（3，3）． ∵∠BOA=90°， ∴OB⊥OA， ∴直线OB的解析式为y=﹣x． 又∵点B在直线y=x+上， ∴， 解得，， ∴点B的坐标是（﹣1，1）． 综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）． （2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）． ∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B， ∴， 解得，， ∴该抛物线的解析式为y=x2﹣x，或y=（x﹣）2﹣． ∴顶点E的坐标是（，﹣）； （3）OD与CF平行．理由如下： 由（2）知，抛物线的对称轴是x=． ∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C， ∴C（，）． 设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），把B（﹣1，1），C（，）代入，得 ， 解得，， ∴直线BC的解析式为y=﹣x+． ∵直线BC与抛物线交于点B、D， ∴﹣x+=x2﹣x， 解得，x1=，x2=﹣1． 把x1=代入y=﹣x+，得y1=， ∴点D的坐标是（，）． 如图，作DN⊥x轴于点N． 则tan∠DON==． ∵FE∥x轴，点E的坐标为（，﹣）． ∴点F的纵坐标是﹣． 把y=﹣代入y=x+，得x=﹣， ∴点F的坐标是（﹣，﹣）， ∴EF=+=． ∵CE=+=， ∴tan∠CFE==， ∴∠CFE=∠DON． 又∵FE∥x轴， ∴∠CMN=∠CFE， ∴∠CMN=∠DON， ∴OD∥CF，即OD与CF平行．
点评：	本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，平行线的判定以及锐角三角函数的定义等知识点．此题难度较大．

　

17．（2012•内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：

（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；

（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；

（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．

考点：	根与系数的关系；根的判别式．
专题：	压轴题．
分析：	（1）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，得出+=﹣，•=，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案． （2）根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值． （3）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=﹣c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根据c2﹣4•≥0，即可求出c的最小值．
解答：	解：（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2， 则：+==﹣， •==， 若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数， 则这个一元二次方程是：x2+x+=0； （2）∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0， ∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解， 当a≠b时，a+b=15，ab=﹣5， ====﹣47． 当A=B时，原式=2； （3）∵a+b+c=0，abc=16， ∴a+b=﹣c，ab=， ∴a、b是方程x2+cx+=0的解， ∴c2﹣4•≥0， c2﹣≥0， ∵c是正数， ∴c3﹣43≥0， c3≥43， c≥4， ∴正数c的最小值是4．
点评：	本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

　

18．（2013•钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．

（1）求⊙O的半径OD；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）求图中两部分阴影面积的和．

考点：	切线的判定与性质；扇形面积的计算．
专题：	计算题；压轴题．
分析：	（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可； （2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证； （3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积，求出即可．
解答：	解：（1）∵AB与圆O相切， ∴OD⊥AB， 在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==， ∴OD=3； （2）连接OE， ∵AE=OD=3，AE∥OD， ∴四边形AEOD为平行四边形， ∴AD∥EO， ∵DA⊥AE， ∴OE⊥AC， 又∵OE为圆的半径， ∴AE为圆O的切线； （3）∵OD∥AC， ∴=，即=， ∴AC=7.5， ∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5， ∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG =×2×3+×3×4.5﹣ =3+﹣ =．
点评：	此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．

　

19．（2013•益阳）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．

（1）求证：AE=BC；

（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；

（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．

考点：	旋转的性质；等腰三角形的性质；等腰梯形的判定．
专题：	压轴题．
分析：	（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案； （2）由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根据全等三角形证明方法得出即可； （3）分别根据①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，②当点E的像E′与点N重合时，求出α即可．
解答：	（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE=36°， ∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°， ∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C， ∴AE=BE，BE=BC， ∴AE=BC． （2）证明：∵AC=AB且EF∥BC， ∴AE=AF； 由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′， ∵在△CAE′和△BAF′中 ， ∴△CAE′≌△BAF′， ∴CE′=BF′． （3）存在CE′∥AB， 理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点， 如图：①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形， ∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°， ∴α=∠CAM=36°．                                    ②当点E的像E′与点N重合时， 由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°， ∵AM=AN， ∴∠ANM=∠AMN=72°， ∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°， ∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°． 所以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．
点评：	此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．

　

20．（2013•昭通）如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．

（1）求抛物线的解析式．

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．

（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）

考点：	二次函数综合题．
专题：	压轴题．
分析：	（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可； （2）首先求出直线OB的解析式为y=x，进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可； （3）首先求出直线A′B的解析式，进而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标．
解答：	解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上． ∴， 解得：， 故抛物线的解析式为：y=x2﹣3x； （2）设直线OB的解析式为y=k1x（ k1≠0）， 由点B（4，4）得 4=4 k1， 解得k1=1． ∴直线OB的解析式为y=x，∠AOB=45°． ∵B（4，4）， ∴点B向下平移m个单位长度的点B′的坐标为（4，0）， 故m=4． ∴平移m个单位长度的直线为y=x﹣4． 解方程组  解得：， ∴点D的坐标为（2，﹣2）． （3）∵直线OB的解析式y=x，且A（3，0）． ∵点A关于直线OB的对称点A′的坐标为（0，3）． 设直线A′B的解析式为y=k2x+3，此直线过点B（4，4）． ∴4k2+3=4， 解得 k2=． ∴直线A′B的解析式为y=x+3． ∵∠NBO=∠ABO，∴点N在直线A′B上， 设点N（n，n+3），又点N在抛物线y=x2﹣3x上， ∴n+3=n2﹣3n． 解得  n1=﹣，n2=4（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为（﹣，）． 如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1， 则 N1 （﹣，﹣），B1（4，﹣4）． ∴O、D、B1都在直线y=﹣x上． 过D点做DP1∥N1B1， ∵△P1OD∽△NOB， ∴△P1OD∽△N1OB1， ∴P1为O N1的中点． ∴==， ∴点P1的坐标为（﹣，﹣）． 将△P1OD沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P1到y轴距离，点到y轴距离等于P1到x轴距离， ∴此点坐标为：（，）． 综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣）和（，）．
点评：	此题主要考查了翻折变换的性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，利用翻折变换的性质得出对应点关系是解题关键．