...安徽省合肥市包河区八年级第二学期期中数学试卷及答案 含解析_百度...

一、选择题（共10小题）

1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≠3    B．x＞3    C．x≤3    D．x≥3

2．下列根式中，与为同类二次根式的是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．如果梯子的底端离建筑物3m远，那么5m长的梯子可以达到建筑物的高度是（　　）

A．2m    B．3m    C．4m    D．5m

4．下列运算正确的是（　　）

A．+＝    B．＝2    C．•＝    D．÷＝2

5．估计的值在（　　）

A．4和5之间    B．5和6之间    C．6和7之间    D．7和8之间

6．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（　　）

A．1    B．2    C．﹣1    D．﹣2

7．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根    B．有两个相等的实数根    

C．只有一个实数根    D．没有实数根

8．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）

A．4，5，6    B．1.5，2，2.5    C．2，3，4    D．1，，3

9．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由a元降为b元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）

A．a（1+x）2＝b    B．a（1﹣x）2＝b    C．a（1﹣2x）2＝b    D．a（1﹣x2）＝b

10．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（　　）

A．    B．    C．    D．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）

11．方程x2﹣24＝0的根是　   　．

12．计算（4+）（4﹣）的结果等于　   　

13．一个多边形的每个内角都是150°，那么这个多边形的边数为　   　．

14．已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为　   　cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．

15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝30，BC＝40，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合，AE为折痕，则EB'＝　   　．

16．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为　   　．

三、解答题（本题共6小题，共46分）

17．计算：

18．用配方法解一元二次方程：x2﹣6x+6＝0．

19．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝16+x1x2，求实数m的值．

20．合肥市某小区有一块长12米、宽6米的，计划在其中修建两块矩形空地相同的长方形绿化地，它们的面积之和为36平方米，两块绿化地之间及周围留有宽度相等的小路，求小路的宽度为多少米？

21．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25，求AC的长．

22．某商店购进一批小玩具，每个成本价为20元．经调查发现售价为32元时，每天可售出20个，若售价每增加5元，每天销售量减少2个；售价每减少5元，每天销售量增加2个．商店同一天内售价保持不变．

（1）若售价增加x元，则销售量是（　   　）个（用含x的代数式表示）；

（2）某日商店销售该玩具的利润为384元，求当天的售价是多少元？（利润＝售价一进价）

附加题：（本题5分，答对计入总分，但满分不超过100分）

23．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是　   　．

参

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≠3    B．x＞3    C．x≤3    D．x≥3

【分析】二次根式有意义时，被开方数是非负数．

解：依题意得：x﹣3≥0，

解得x≥3．

故选：D．

2．下列根式中，与为同类二次根式的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】先化简二次根式，再根据定义判断解可得．

解：∵＝2，

∴与为同类二次根式的是，

故选：A．

3．如果梯子的底端离建筑物3m远，那么5m长的梯子可以达到建筑物的高度是（　　）

A．2m    B．3m    C．4m    D．5m

【分析】在梯子与建筑物构成的直角三角形中，梯子的长即为斜边的长，梯子底端离建筑物的距离为直角边的长，由勾股定理即可求得梯子可以达到的建筑物的高度．

解：如图；梯子AC长是5米，梯子底端离建筑物的距离AB长为3米；

在Rt△ABC中，AC＝5米，AB＝米；

根据勾股定理，得BC＝4米，

故选：C．

4．下列运算正确的是（　　）

A．+＝    B．＝2    C．•＝    D．÷＝2

【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．

解：A、与不能合并，所以A选项错误；

B、原式＝3，所以B选项错误；

C、原式＝＝，所以C选项错误；

D、原式＝＝2，所以D选项正确．

故选：D．

5．估计的值在（　　）

A．4和5之间    B．5和6之间    C．6和7之间    D．7和8之间

【分析】利用二次根式的性质，得出＜＜，进而得出答案．

解：∵＜＜，

∴6＜＜7，

∴的值在整数6和7之间．

故选：C．

6．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（　　）

A．1    B．2    C．﹣1    D．﹣2

【分析】把x＝2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．

解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根，

∴22﹣3×2+k＝0，

解得，k＝2．

故选：B．

7．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根    B．有两个相等的实数根    

C．只有一个实数根    D．没有实数根

【分析】把a＝1，b＝﹣4，c＝5代入△＝b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．

解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝5，

∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，

所以原方程没有实数根．

故选：D．

8．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）

A．4，5，6    B．1.5，2，2.5    C．2，3，4    D．1，，3

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

解：A、42+52＝41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；

B、1.52+22＝6.25＝2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；

C、22+32＝13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；

D、12+（）2＝3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误．

故选：B．

9．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由a元降为b元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）

A．a（1+x）2＝b    B．a（1﹣x）2＝b    C．a（1﹣2x）2＝b    D．a（1﹣x2）＝b

【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．

解：设每次降价的百分率为x，由题意得：

a（1﹣x）2＝b．

故选：B．

10．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】以AC、AB、BC为斜边的三个直角三角形的面积分别为1、1、，因此△ABC的面积为；用勾股定理计算AC的长为，因此AC边上的高为．

解：∵三角形的面积等于小正方形的面积减去三个直角三角形的面积，即S△ABC＝4﹣×1×2﹣×1×1＝，

∵＝，

∴AC边上的高＝＝，

故选：C．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）

11．方程x2﹣24＝0的根是　x1＝2，x2＝﹣2　．

【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．

解：x2﹣24＝0，

则x2＝24，

故x＝±，

解得：x1＝2，x2＝﹣2．

故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．

12．计算（4+）（4﹣）的结果等于　11　

【分析】利用平方差公式计算．

解：原式＝16﹣5

＝11．

故答案为11．

13．一个多边形的每个内角都是150°，那么这个多边形的边数为　12　．

【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．

解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，

解得n＝12．

所以多边形是12边形，

故答案为：12．

14．已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为　13或　cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．

【分析】已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形斜边和短边二种情况下的结果．

解：根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为＝13；

当12为斜边时，第三条线段长为＝＝．

故答案为：13或．

15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝30，BC＝40，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合，AE为折痕，则EB'＝　15　．

【分析】由翻折不变性可知：AB＝AB′＝30，EB＝EB′，设EB＝EB′＝x，在Rt△CEB′中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

解：在Rt△ABC中，∵AB＝30，BC＝40，

∴AC＝＝50，

由翻折不变性可知：AB＝AB′＝30，EB＝EB′，设EB＝EB′＝x，

在Rt△CEB′中，则有：（40﹣x）2＝x2+202，

∴x＝15，

故答案为15．

16．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为　24　．

【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积．

解：设小正方形的边长为x，

∵a＝3，b＝4，

∴AB＝3+4＝7，

在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，

即（3+x）2+（x+4）2＝72，

整理得，x2+7x﹣12＝0，

∴x2+7x＝12，

∴该矩形的面积＝（3+x）（x+4）＝x2+7x+12＝12+12＝24．

故答案为：24．

三、解答题（本题共6小题，共46分）

17．计算：

【分析】首先化简二次根式，进而合并得出答案．

解：原式＝3+﹣2×

＝3+﹣

＝2．

18．用配方法解一元二次方程：x2﹣6x+6＝0．

【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式，再开方即可得．

解：∵x2﹣6x＝﹣6，

∴x2﹣6x+9＝﹣6+9，即（x﹣3）2＝3，

则x﹣3＝±，

∴x＝3．

19．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝16+x1x2，求实数m的值．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；

（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣2（m+1），x1•x2＝m2﹣1，结合x12+x22＝16+x1x2可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合（1）的结论即可确定m的值．

解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0有实数根，

∴△＝[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）＝8m+8≥0，

解得：m≥﹣1，

∴当方程有实数根时，实数m的取值范围为m≥﹣1．

（2）∵方程两实数根分别为x1，x2，

∴x1+x2＝﹣2（m+1），x1•x2＝m2﹣1．

∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16+x1x2，

∴[﹣2（m+1）]2﹣2（m2﹣1）＝16+（m2﹣1），

整理，得：m2+8m﹣9＝0，

解得：m1＝﹣9，m2＝1．

又∵m≥﹣1，

∴实数m的值为1．

20．合肥市某小区有一块长12米、宽6米的，计划在其中修建两块矩形空地相同的长方形绿化地，它们的面积之和为36平方米，两块绿化地之间及周围留有宽度相等的小路，求小路的宽度为多少米？

【分析】设小路的宽度为x米，根据矩形的面积公式可得（12﹣3x）（6﹣2x）＝36，解方程即可求解．

解：设小路的宽度为x米，根据题意得，

（12﹣3x）（6﹣2x）＝36，

解得x1＝1，x2＝6（不合题意，舍去）．

答：小路的宽度为1米．

21．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25，求AC的长．

【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE，根据勾股定理求出BE，证明AC＝AE，根据勾股定理列式计算，得到答案．

解：过点D作DE⊥AB于E，

∵AD是角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，

∴DE＝CD＝15，

在Rt△DEB中，BE＝＝20，

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）

∴AC＝AE，

在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即AC2+402＝（AC+20）2，

解得，AC＝30，即AC＝30．

22．某商店购进一批小玩具，每个成本价为20元．经调查发现售价为32元时，每天可售出20个，若售价每增加5元，每天销售量减少2个；售价每减少5元，每天销售量增加2个．商店同一天内售价保持不变．

（1）若售价增加x元，则销售量是（　20﹣0.4x　）个（用含x的代数式表示）；

（2）某日商店销售该玩具的利润为384元，求当天的售价是多少元？（利润＝售价一进价）

【分析】（1）根据“售价每增加5元，每天销售量减少2个”列出代数式；

（2）根据利润＝售价一进价列出方程并解答．

解：（1）依题意得：20﹣×2＝20﹣0.4x．

故答案是：20﹣0.4x；

（2）①售价增加x元，依题意得：（32﹣20+x）（20﹣0.4x）＝384

整理，得x2﹣38x+360＝0．

解得x1＝20，x2＝18

当x2＝18时，20﹣0.4x＝20﹣0.4×18＝12.8（不合实际，舍去）．

所以32+20＝52（元）

②设售价减少y元，

由题意，得（32﹣20﹣y）（20+0.4y）＝384

整理，得y2+38y+360＝0．

解得y1＝﹣20，y2＝﹣18（不合实际，均舍去）．

综上所述，当天的售价是52元．

答：当天的售价为52元．

附加题：（本题5分，答对计入总分，但满分不超过100分）

23．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是　m＝1或m＞2　．

【分析】分1﹣m2＝0，1﹣m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．

解：当1﹣m2＝0时，m＝±1．

当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x＝，符合题意；

当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x＝﹣，不符合题意；

当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0，

[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0，

∴x1＝，x2＝．

∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，

∴0＜＜1，解得m＞0，

0＜＜1，解得m＞2．

综上可得，实数m的取值范围是m＝1或m＞2．

故答案为：m＝1或m＞2．