2007-2008学年度北京市东城区第一学期高三年级期末教学目标检测(理)

一、填空题

（每空？

分，共？分）

1、已知函数

，它的反函数为，则= .

2、离心率的椭圆，它的焦点与双曲线的焦点重合，则此椭圆的方程为

. 若

为该椭圆上一点，且到椭圆一个焦点的距离为3，则到椭圆相应准线的距离为 .

3、如图，棱长为a的正方体

中，M

为BC中点，则直线D1M 与平面ABCD 所成角的正切值

为；若正方体的八个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 .

4、已知数列是公差为的等差数列，且，数列是公比为的等比数列，且

，则， .

5、已知中，AB=AC

，则的最大值为 .

6、已知符号函数

，则不等式的解集是 .

二、选择题

（每空？分，共？分）

7、已知集合，则等于

A． B．

C． D．

8、的值为

A．0 B．1 C． D．

9、已知两个不同的平面，和两条不重合的直线，有下列四个命题：

①若，则

②若，且，则

③若，则④若，则

其中正确命题的个数是

A．1个 B．2个 C

．3个 D．4个10、

的展开式中含项的系数是

A．240 B．－240 C．192 D．－192

11

、已知数列

，那么“对任意的点

都在直线

上”是“为等差数列”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

12、在直角三角形中，

，

为斜边

的中点，则的值为

A．1 B．6 C ． D．10

13、从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中，选出一个偶数和三个奇数，组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有

A．1480个 B．1440个 C．1200个 D．1140个

14、如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），映射f将xOy

平面上的点对应到另一个平面

直角坐标系

上的点，C（0，1），则当点P沿着折线A―B―C在运动时，映射f的作用下，动

点的轨迹是

三、计算题

（每空？分，共？分）

15

、已知函数.

（1）求的值；

（2）求的最大值并指出相应的的取值集合.

16

、已知函数

的图象过点

，且在点

处的切线的方程为.

（1）求的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）求函数的最值.

17、如图，四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E为PD中点。

（1

）求证：平面ABCD；

（2）求二面角E―AC―D的大小；

（3）在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF 的距离为？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由.

18、有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为0.6,0.8,0.9.

（1）若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；

（2）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率；

（3

）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为

，求随机变量

的分布列及期望.

19、已知抛物线，过焦点F

的动直线交抛物线于A，B 两点，抛物线在A，B两点处的切线相交于

点Q，O为坐标原点。

（1

）求的值；

（2）求点Q的纵坐标；

（3）证明：. 20、

已知数列的前

项和为，且.

数列满足, 且.

（1

）求证：数列为等差数列；

（2

）求证：数列为等比数列；

（3

）若当且仅当

时，

取得最小值，求的取值范围.

参

一、填空题

1、4

2、

3、

4、2，3

5、

6、二、选择题

7、B

8、C

9、A

10、D

11、A

12、B

13、D

14、A

三、计算题

15、解：（1

），

∴.

（2）由（1

）可知，

∴函数的最大值为2．

由可得

. 即函数的最大值为2，相应

的取值集合为.

16、解：（1

）∵点在切线上，

∴.

∴. ①

又函数图象在点处的切线斜率为8，

∴

，

又，

∴. ②

解由①②组成的方程组，可得.

（2）由（1）得，

令

，可得；

令

，可得.

∴函数

的单调增区间为

，单调减区间为.（3）设

，则问题可以转化为求函数的最值，

由（2

）可知在

上是减函数，在上是增函数.

∴的最小值为.

又

∴

的最大值为.

∴函数

的最小值为，最大值为6.

17、解法一：

（1）证明：∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，又BC⊥PB，

∴BC⊥平面PAB，

∴BC⊥PA.

同理CD⊥PA，∴PA⊥平面ABCD.

（2）解：设M为AD中点，连结EM，

又E为PD中点，

可得EM//PA，从而EM⊥底面ABCD.

过M作AC的垂线MN，垂足为N，连结EN

由三垂线定理有EN⊥AC，

∴∠ENM为二面角E―AC―D的平面角. 在

中，可求得

∴. ∴二面角E―AC―D 的大小为.

（3）解：由E为PD中点可知,

要使得点E到平面PAF

的距离为，

即要使点D到平面PAF

的距离为.

过D作AF的垂线DG，垂足为G, ∵平面ABCD，

∴平面

平面，∴平面，

即DG为点D到平面PAF的距离.∴，∴. 设BF=x，

由

与相似可得

，

∴

，即.

∴在线段

上存在点

，且

为

中点，使得点

到平面

的距离为.

解法二：

（1）证明：同解法一.

（2

）解：建立如图的空间直角坐标系，

则.

设

为平面的一个法向量，

则

m，

m.

又

令

则

得m.

又

是平面的一个法向量，

设二面角的大小为

，

则.

∴

二面角

的大小为.

（3）解：设n

为平面的一个法向量，

则n，

n.

又

，

令

则

得

n.

又

∴点

到平面

的距离，

∴，

解得，即

.

∴在线段

上存在点

，使得点

到平面

的距离为

，且为中点.

18、解：（1）甲和乙之间进行三场比赛，甲恰好胜两场的概率为

.

（2）解：记“甲胜乙”，“甲胜丙”，“甲胜丁”

三个事件分别为

则，.

则四名运动员每两人之间进行一场比赛，甲恰好胜两场的概率为：

（3

）解：随机变量的可能取值为０，１，２，３

.

；

；由（2

）得；

.

∴随机变量的分布列为

.

19、（1）解：，又依题意直线不与轴垂直，

∴设直线的方程为.

由可得.

设，

则.

∴.

（2）解：由

，可得

，∴.

∴抛物线在

两点处的切线的斜率分别为.

∴在点

处的切线方程为

，即.

同理在点

处的切线方程为.

解方程组

可得

即点

的纵坐标为.

（3）证明：由（2）可知，

，

∴.

又

∴.

20、（1

）证明：由

可得.

即.

可知数列为等差数列.（2

）证明：∵为等差数列，

∴公差

∴

又，

∴

∴

又

∴对得.

∴数列

是公比为的等比数列.

（3）解：由(Ⅱ)得

∴

又，

可知数列为递增数列.

由当且仅当时，取得最小值可得

.

∴

又当

时，由数列为递增数列，

可知

取得最小值时，.

即当且仅当时，

取得最小值的充要条件是

由

得，

解得.

由

得，

解得.∴的取值范围为.