高中数学基础知识汇总(潘学功)

1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；

2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；

3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n－1；非空真子集的数为2n－2；

（2）注意：讨论的时候不要遗忘了的情况。

4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分  函数与导数

1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；

⑤换元法 ；⑥利用均值不等式； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法

3．复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出

② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

⑵是奇函数f(－x)=－f(x)；是偶函数f(－x)= f(x)

⑶奇函数在原点有定义，则；

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；

6．函数的单调性

⑴单调性的定义：

①在区间上是增函数当时有；

②在区间上是减函数当时有；

⑵单调性的判定

1定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；

②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。

注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7．函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期

①；② ；③；

④；⑤；

(3)与周期有关的结论

或的周期为；

8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数： （；⑵指数函数：；

⑶对数函数:；⑷正弦函数:；

⑸余弦函数： ；（6）正切函数：；⑺一元二次函数：；

⑻其它常用函数：

1正比例函数：；②反比例函数：；③函数；

9．二次函数：

⑴解析式：

①一般式：；②顶点式：，为顶点；

③零点式： 。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是。  10．函数图象： 

⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法

⑵图象变换：

1平移变换：ⅰ)，———左“+”右“－”；

              ⅱ)———上“+”下“－”；

2对称变换：ⅰ ；ⅱ ；

ⅲ； ⅳ；

3翻转变换：

ⅰ)———右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；

ⅱ)———上不动，下向上翻（||在下面无图象）；

11．函数图象（曲线）对称性的证明

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；

注：①曲线C1:f(x,y)=0关于点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0;

②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x, y)=0; 

曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x, －y)=0;

曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y, x)=0

③f(a+x)=f(b－x) （x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=对称；

特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=a对称；

12．函数零点的求法：

⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.

(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。

13．导数 

⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作；

⑵常见函数的导数公式: ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ 。

⑶导数的四则运算法则： 

⑷（理科）复合函数的导数： 

⑸导数的应用：                                                      

①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？

②利用导数判断函数单调性：

①是增函数；②为减函数；③为常数； 

③利用导数求极值：ⅰ）求导数；ⅱ）求方程的根；ⅲ）列表得极值。

④利用导数最大值与最小值：ⅰ）求的极值；ⅱ——求区间端点值（如果有）；ⅲ）得最值。

第三部分  三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度

⑵弧长公式：；扇形面积公式：。

2．三角函数定义:角α中边上任意一P点为,设则： 

3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；

4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；

5．⑴对称轴：；对称中心：； 

⑵对称轴：；对称中心：； 

6．同角三角函数的基本关系：；

7．三角函数的单调区间：

  的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，的递减区间是。

8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：① 

②③。

9．二倍角公式：①；

②；③。

10．正、余弦定理：

⑴正弦定理：  （是外接圆直径    ）

注：①；②；③。

⑵余弦定理：等三个；等三个。

11。几个公式:

⑴三角形面积公式：；

⑵内切圆半径r=；外接圆直径2R=

第四部分   立体几何

1．三视图与直观图： 

2．表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h 

⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：

⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底;②侧面积：S侧=;③体积：V=（S+）h；

⑷球体：①表面积：S=；②体积：V=  。

3．位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。

⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行线面平行。

⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。

⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。

⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

注：理科还可用向量法。

4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）

⑴异面直线所成角的求法：

①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法: 

⑵直线与平面所成的角：

①直接法（利用线面角定义）；②用向量法: 

5.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离）

点到平面的距离：①等体积法；②向量法：。

6．结论：

⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则对角线长为，全面积为2ab+2bc+2ca，体积V=abc。

⑵正方体的棱长为a，则对角线长为，全面积为6a2，体积V=a3。

⑶长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长。

⑷正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的：

1高：；②对棱间距离：；③内切球半径：；④外接球半径：。

第五部分   直线与圆

1．直线方程

⑴点斜式： ；⑵斜截式： ；⑶截距式： ；

⑷两点式：  ；⑸一般式：，（A，B不全为0）。

2．求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。

3．两条直线的位置关系：

直线方程              平行的充要条件      垂直的充要条件     备注

                  有斜率

已知l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则l1 ⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0。

4．几个公式

⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（）；

⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：；

⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是；

5．圆的方程：

⑴标准方程：① ；② 。

⑵一般方程：  （

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；

6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。 

7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）

⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）

①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）

①相切；②相交；③相离。

⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）

①相离；②外切；③相交；

④内切；⑤内含。

8、直线与圆相交所得弦长

第六部分   圆锥曲线

1．定义：⑴椭圆：；

⑵双曲线：；⑶抛物线：|MF|=d

2．结论 

⑴焦半径：①椭圆：（e为离心率）； （左“+”右“-”）；

②抛物线： 

⑵弦长公式： 

注：⑴抛物线：＝x1+x2+p；⑵通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：；②抛物线：2p。

⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：  （同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；当点与椭圆短轴顶点重合时最大； 

⑷双曲线中的结论：

①双曲线（a>0,b>0）的渐近线：； 

②共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0）；

③双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；

⑸焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。

3．直线与圆锥曲线问题解法：

⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。

注意以下问题：

①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？

②直线斜率不存在时考虑了吗？

③判别式验证了吗？

⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题

步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得；③解决问题。

4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。

第七部分    平面向量

⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： ① a∥b(b≠0) a=b （x1y2－x2y1=0；

② a⊥b(a、b≠0) a·b=0x1x2+y1y2=0  ⑵a·b=|a||b|cos=x2+y1y2； 

注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；

1a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。

⑶cos=；

⑷三点共线的充要条件：P，A，B三点共线；

（理科）P，A，B，C四点共面。

                        第八部分    数列

1．定义：

⑴等差数列  ；

⑵等比数列

2．等差、等比数列性质

              等差数列                               等比数列

通项公式                              

前n项和   

性质    ①an=am+ (n－m)d,                  ①an=amqn-m; 

        ②m+n=p+q时am+an=ap+aq                 ②m+n=p+q时aman=apaq

            ③成AP   ③成GP

        ④成AP,  ④成GP, 

3．数列通项的求法：

⑴定义法（利用AP,GP的定义）；⑵累加法（型）；⑶公式法： 

⑷累乘法（型）；⑸构造法（型）； 

⑺间接法（例如：）；⑻（理科）数学归纳法。

4．前项和的求法：⑴分组求和法；⑵裂项法；⑶错位相减法。

5．等差数列前n项和最值的求法：

⑴  ；⑵利用二次函数的图象与性质。

                         第九部分  不等式

1．均值不等式： 

注意：①一正二定三相等；②变形，。

2．绝对值不等式： 

3．不等式的性质：

⑴；⑵；⑶； 

；⑷；； 

;⑸;⑹

                        第十部分   复数

1．概念：

⑴z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R) z= z2≥0；⑵z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R)；

⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R) z＋＝0（z≠0）z2<0；

⑷a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；

2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：

（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；⑶z1÷z2 =  (z2≠0) ;

3．几个重要的结论：

；⑶；⑷ 

⑸性质：T=4；； 

4．模的性质：⑴；⑵；⑶。

第十一部分   概率

1．事件的关系：

⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作；

⑵事件A与事件B相等：若，则事件A与B相等，记作A=B；

⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作（或）；

⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作（或）  ；

⑸事件A与事件B互斥：若为不可能事件（），则事件A与互斥；

﹙6﹚对立事件：为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。

2．概率公式：

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；

⑵古典概型：；

⑶几何概型： ；

第十二部分  统计与统计案例

1．抽样方法

⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。

注：①每个个体被抽到的概率为；

②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。

⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的

规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号；

④按预先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。

注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数

2．总体特征数的估计：

⑴样本平均数；

⑵样本方差 ；

⑶样本标准差= ；

3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：

注：⑴ >0时，变量正相关； <0时，变量负相关；⑵① 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；② 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

4．回归分析中回归效果的判定：

⑴总偏差平方和：；⑵残差：；⑶残差平方和： ；

⑷回归平方和：－；⑸相关指数。

注：①得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；

②越接近于1，则回归效果越好。

5．性检验（分类变量关系）：

随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

                      第十三部分  算法初步

1．程序框图：

⑴图形符号：

①           终端框（起止况）；②            输入、输出框； 

③ 

             处理框（执行框）；④             判断框；⑤        流程线 ；

⑵程序框图分类:

①顺序结构：         ②条件结构：                   ③循环结构：

                                r=0?    否                求n除以i的余数

          输入n                是

                              n不是质素     n是质数                i=i+1 

           i=2

                                                             in或r=0?否

                                                              是

注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；

Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。

2．基本算法语句：

⑴输入语句： INPUT “提示内容”；变量  ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式

  赋值语句：    变量=表达式

⑵条件语句：①                     ②

               IF 条件 THEN             IF  条件  THEN

                  语句体                   语句体1

               END IF                    ELSE   

                                            语句体2

                                          END IF

⑶循环语句：①当型：                ②直到型: 

                WHILE 条件                DO 

                  循环体                    循环体

                WEND                      LOOP UNTIL  条件

                    第十四部分  常用逻辑用语与推理证明

1．四种命题：

⑴原命题：若p则q；                   ⑵逆命题：若q则p；

⑶否命题：若p则q；                 ⑷逆否命题：若q则p

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。

2．充要条件的判断：

（1）定义法----正、反方向推理；

（2）利用集合间的包含关系：例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；

3．逻辑连接词：

⑴且(and) ：命题形式 pq；        p   q    pq   pq   p

⑵或（or）：命题形式 pq；        真   真    真    真      假

⑶非（not）：命题形式p .          真   假    假    真      假

                                  假   真    假    真      真

                                  假   假    假    假      真

4．全称量词与存在量词

⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示；

  全称命题p：；          全称命题p的否定p：。

⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；

  特称命题p：；          特称命题p的否定p：；

第十五部分  推理与证明

1．推理：

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。

注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；

⑵小前提---------所研究的特殊情况；      ⑶结  论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二．证明

⒈直接证明   ⑴综合法    一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。

⑵分析法      一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

附：数学归纳法（仅限理科）

一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行：

⑴证明当取第一个值是命题成立；

⑵假设当命题成立，证明当时命题也成立。

那么由⑴⑵就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。

这种证明方法叫数学归纳法。

注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；

2的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。

第十六部分   理科选修部分

1．排列、组合和二项式定理

⑴排列数公式: =n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)= (m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列=n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;

⑵组合数公式：（m≤n）,；

⑶组合数性质：；

⑷二项式定理： 

①通项：②注意二项式系数与系数的区别；

⑸二项式系数的性质：

①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n为偶数，中间一项（第＋1项）二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第和＋1项）二项式系数最大；

③

(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。

2. 概率与统计

⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,…；   p1+p2+…=1;

②离散型随机变量：

方差：DX＝;

注：；

③二项分布（重复试验）：

若X～B（n,p）,则EX＝np, DX＝np（1- p）;注： 。

⑵条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

注：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

⑶事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。

⑷正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；

（6）正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝对称；

③曲线在x＝处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；

1当一定时，曲线随质的变化沿x轴平移；

2当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；

越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。

注：P=0.6826；P=0.9544

P=0.9974