数列求和7种方法(方法全_例子多)

   利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 

1、等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

3、 、

5、

[例1] 已知，求的前n项和.

解：由

 由等比数列求和公式得     （利用常用公式）

    ＝＝＝1－

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.

 解：由等差数列求和公式得 ，  （利用常用公式）

 ∴ ＝

    ＝＝

 ∴ 当 ，即n＝8时，

题1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝ 

题2．若12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a=      ,b=          ,c=     

  .

   解： 原式=    答案：

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：………………………①

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积

设………………………. ② （设制错位）

①－②得   （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

 ∴ 

[例4] 求数列前n项的和.

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设…………………………………①

………………………………② （设制错位）

①－②得 （错位相减）

 ∴ 

练习题1    已知 ，求数列｛an｝的前n项和Sn.

答案：

练习题2  的前n项和为____

答案：

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

[例5] 求证：

证明： 设………………………….. ①

     把①式右边倒转过来得

 （反序）

 又由可得

 …………..…….. ②

 ①+②得   （反序相加）

 ∴ 

[例6] 求的值

解：设…………. ①

将①式右边反序得

 …………..② （反序） 

 又因为 

 ①+②得 （反序相加）

＝ 

∴  S＝44.5

题1  已知函数

（1）证明：；

（2）求的值.

解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边

（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，

两式相加得：

    所以.

练习、求值：

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7] 求数列的前n项和：，…

解：设

将其每一项拆开再重新组合得

 （分组）

当a＝1时，＝   （分组求和）

当时，＝

[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设

  ∴  ＝

将其每一项拆开再重新组合得  

Sn＝ （分组）

＝

 ＝ （分组求和）

 ＝

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1） （2）

（3） （4）

（5）

(6) 

（7）

（8）

[例9]  求数列的前n项和.

解：设 （裂项）

则  （裂项求和）

 ＝

 ＝

[例10]  在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

解： 　 ∵ 

 　 ∴  （裂项）

∴  数列{bn}的前n项和

   （裂项求和）

 ＝ ＝ 

[例11]  求证：

解：设

∵ （裂项）

 ∴ （裂项求和）

 ＝

 ＝＝＝

 ∴　原等式成立

 练习题1.         

答案：.

练习题2。 =

答案：

六、分段求和法（合并法求和）

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

 [例12]  求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵       （找特殊性质项）

∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos°+ cos91°）+ cos90°  （合并求和）

 ＝ 0

[例13]  数列{an}：，求S2002.

解：设S2002＝

由可得

……

∵  （找特殊性质项）

∴　S2002＝ （合并求和）

 ＝

＝

＝

＝5

[例14]  在各项均为正数的等比数列中，若的值.

解：设

由等比数列的性质  （找特殊性质项）

和对数的运算性质   得

 （合并求和）

 ＝

 ＝

 ＝10

练习、求和：

练习题1     设，则＝___

 答案：2.

练习题2  ．若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于    (    )

     A.1   B.-1   C.0 D .2

    解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：  Sn=  答案：A

练习题 3   1002-992+982-972+…+22-12的值是                               

    A.5000      B.5050     C.10100   D.20200

   解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15]  求之和.

解：由于 （找通项及特征）

∴ 

＝   （分组求和）

＝

＝

＝

[例16]  已知数列{an}：的值.

解：∵  （找通项及特征）

 ＝ （设制分组）

 ＝ （裂项）

∴  （分组、裂项求和）

 ＝

 ＝

提高练习：

1．已知数列中，是其前项和，并且，

⑴设数列，求证：数列是等比数列；

⑵设数列，求证：数列是等差数列；

2．设二次方程x-+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．

(1)试用表示a；

3．数列中，且满足   

⑴求数列的通项公式；

⑵设，求；

说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。