山东省枣庄市滕州一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)

山东省枣庄市滕州一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答卷的相应表格内）

1．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8=15﹣a5，则S9等于（）

    A．    18    B．    36    C．    45    D．    60

2．（5分）设{an}是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，log3a1+log3a2+…+log3a10的值是（）

    A．    5    B．    10    C．    20    D．    2或4

3．（5分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a3+…+a7=（）

    A．    35    B．    28    C．    21    D．    14

4．（5分）已知等差数列{an}的公差d≠0，若a5、a9、a15成等比数列，那么公比为（）

    A．        B．        C．        D．    

5．（5分）在△ABC中，，则△ABC一定是（）

    A．    等腰三角形    B．    直角三角形

    C．    等腰直角三角形    D．    等边三角形

6．（5分）在△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，满足条件的△ABC（）

    A．    无解    B．    有解    C．    有两解    D．    不能确定

7．（5分）下列不等式的解集是空集的是（）

    A．    x2﹣x+1＞0    B．    ﹣2x2+x+1＞0    C．    2x﹣x2＞5    D．    x2+x＞2

8．（5分）若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（）

①a+b＜ab  

②|a|＞|b|

③a＜b  

④+＞2．

    A．    1个    B．    2个    C．    3个    D．    4个

二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题卷中相应位置）

9．（5分）若不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣}，则a+b=．

10．（5分），则x+y的最小值是．

11．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块

12．（5分）7+3与7﹣3的等比中项为．

13．（5分）由不等式组所围成的平面区域的面积为．

14．（5分）已知钝角△ABC的三边a=k，b=k+2，c=k+4，求k的取值范围．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．请将详细解答过程写在答卷上）

15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx﹣b 

（1）若b=2，求不等式f（x）＞0的解集；

（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数b的取值范围．

16．（13分）在四边形ABCD中，BC=2，DC=4，且∠A：∠ABC：∠C：∠ADC=3：7：4：10，求AB的长．

17．（13分）（1）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．求{an}的通项公式及前n项和Sn；

（2）已知数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=﹣n2+4n，求Tn的最大值和通项bn．

18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．

19．（14分）设数列{an}（n∈N）满足a0=0，a1=2，且对一切n∈N，有an+2=2an+1﹣an+2．

（1）求a2，a3的值； 

（2）证明：数列{an﹣an﹣1}为等差数列；

（3）数列{an}的通项公式；

（4）设Tn=+++…+，求证：Tn＜．

20．（14分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．

（Ⅰ）若扣除投资和各种维修费，则从第几年开始获取纯利润？

（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：

①年平均利润最大时以46万元出售该楼；

②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，

问哪种方案盈利更多？

山东省枣庄市滕州一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答卷的相应表格内）

1．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8=15﹣a5，则S9等于（）

    A．    18    B．    36    C．    45    D．    60

考点：    等差数列的性质． 

专题：    计算题；等差数列与等比数列．

分析：    由等差数列的通项公式知a2+a8=15﹣a5⇒a5=5，再由等差数列的前n项和公式知S9=×2a5．

解答：    解：∵a2+a8=15﹣a5，

∴a5=5，

∴S9=×2a5=45．

故选C．

点评：    本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．

2．（5分）设{an}是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，log3a1+log3a2+…+log3a10的值是（）

    A．    5    B．    10    C．    20    D．    2或4

考点：    对数的运算性质；等比数列的性质． 

专题：    计算题．

分析：    由已知中{an}是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，根据等比数列的性质，可得a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=81，根据对数的运算性质，可将log3a1+log3a2+…+log3a10化为log3（a5a6）5的形式，进而再由对数的运算性质得到答案．

解答：    解：∵{an}是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，

∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=81，

∴log3a1+log3a2+…+log3a10

=log3（a1•a2•…•a10）

=log3（a5a6）5

=5log3（a5a6）

=5log381

=5•4=20

故选C．

点评：    本题考查的知识点是对数的运算性质，等比数列的性质，其中根据等比数列的性质，将原式化为log3（a5a6）5的形式是解答本题的关键．

3．（5分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a3+…+a7=（）

    A．    35    B．    28    C．    21    D．    14

考点：    等差数列的性质． 

专题：    计算题；等差数列与等比数列．

分析：    由等差数列的性质求解．

解答：    解：∵a3+a4+a5=3a4=12，∴a4=4，

∴a1+a2+…+a7=（a1+a7）=7a4=28

故选B．

点评：    本题主要考查等差数列的性质．

4．（5分）已知等差数列{an}的公差d≠0，若a5、a9、a15成等比数列，那么公比为（）

    A．        B．        C．        D．    

考点：    等差数列的通项公式；等比数列的性质． 

专题：    计算题．

分析：    先利用等差数列的通项公式，用a1和d分别表示出等差数列的第5、9、15项进而利用等比中项的性质建立等式求得a1和d的关系，进而利用q=求得答案．

解答：    解：依题意可知（a1+8d）2=（a1+4d）（a1+14d），

整理得2a1d=8d2，解得4d=a1，

∴q===；

故选C．

点评：    本题主要考查了等比数列的性质和等差数列的通项公式．属基础题．

5．（5分）在△ABC中，，则△ABC一定是（）

    A．    等腰三角形    B．    直角三角形

    C．    等腰直角三角形    D．    等边三角形

考点：    正弦定理；三角函数中的恒等变换应用． 

专题：    解三角形．

分析：    把已知的等式利用正弦定理化简，再利用同角三角函数间的基本关系得到tanA与tanB相等，根据A和B都为三角形的内角，得到A与B相等，根据等角对等边得到a=b，即三角形ABC为等腰三角形．

解答：    解：根据正弦定理：=化简已知等式得：

=，即tanA=tanB，

由A和B都为三角形的内角，得到A=B，

则△ABC一定为等腰三角形．

故选A

点评：    此题考查了三角函数中的恒等变换应用，以及正弦定理．学生做题时注意角度A和B都为三角形的内角这个条件．

6．（5分）在△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，满足条件的△ABC（）

    A．    无解    B．    有解    C．    有两解    D．    不能确定

考点：    正弦定理的应用；解三角形． 

专题：    计算题．

分析：    利用正弦定理和已知的两边，一角求得sinB的值大于1推断出sinB不符合题意，三角形无解．

解答：    解：由正弦定理可知=

∴sinB=•b=×4=＞1，不符合题意．

故方程无解．

故选A

点评：    本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是通过正弦定理求得sinB，进而根据sinB的推断出三角形的解．

7．（5分）下列不等式的解集是空集的是（）

    A．    x2﹣x+1＞0    B．    ﹣2x2+x+1＞0    C．    2x﹣x2＞5    D．    x2+x＞2

考点：    一元二次不等式的解法；集合中元素个数的最值． 

专题：    计算题．

分析：    结合一元二次不等式不等式的解法，分别求出4个选项不等式的解集，对于A，将x2﹣x+1=0变形为（x﹣）2+=0，分析易得其不符合题意，对于B，将﹣2x2+x+1＞0变形为2x2﹣x﹣1＜0，求出其△，易得其不符合题意，对于C，将2x﹣x2＞5变形为x2﹣2x+5＜0，其△=﹣16＜0，求出其△，易得其符合题意，对于D，将x2+x＞2变形为x2+x﹣2＞0，求出其△，易得其不符合题意，综合可得答案．

解答：    解：根据题意，依次分析选项，

对于A，x2﹣x+1=（x﹣）2+，则x2﹣x+1＞0恒成立，其解集为R，A不符合题意，

对于B，﹣2x2+x+1＞0⇒2x2﹣x﹣1＜0，有△＞0，其解集不是空集，B不符合题意，

对于C，2x﹣x2＞5⇒x2﹣2x+5＜0，其△=﹣16＜0，其解集为∅，符合题意，

对于D，x2+x＞2⇒x2+x﹣2＞0，有△＞0，其解集不是空集，D不符合题意，

故选C．

点评：    本题考查一元二次不等式的解法，要牢记一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程的关系．

8．（5分）若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（）

①a+b＜ab  

②|a|＞|b|

③a＜b  

④+＞2．

    A．    1个    B．    2个    C．    3个    D．    4个

考点：    基本不等式． 

分析：    由已知条件可得b＜a＜0，利用不等式的性质，逐一分析各选项，从而确定正确答案．

解答：    解：∵＜＜0，∴b＜a＜0．

∴a+b＜0，ab＞0，|b|＞|a|，故①正确，②③错误．

∵a、b同号且a≠b，∴、均为正．

∴+＞2=2．

故④正确．

∴正确的不等式有2个．

故选B．

点评：    依据给定的条件，利用不等式的性质，判断不等式或有关的结论是否成立，是高考考查的重点内容，需熟练掌握．

二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题卷中相应位置）

9．（5分）若不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣}，则a+b=﹣14．

考点：    一元二次不等式的应用． 

专题：    计算题；不等式的解法及应用．

分析：    利用不等式的解集与方程解的关系，结合韦达定理，确定a，b的值，即可得出结论．

解答：    解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣}，

∴﹣和为方程ax2+bx+2=0的两个实根，且a＜0，

由韦达定理可得，

解得a=﹣12，b=﹣2，

∴a+b=﹣14．

故答案为：﹣14．

点评：    本题考查一元二次不等式的解集，注意和二次方程的根的关系是解决问题的关键，属基础题．

10．（5分），则x+y的最小值是9．

考点：    基本不等式． 

专题：    计算题．

分析：    先将x+y乘以展开，然后利用基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件．

解答：    解：∵

∴=

当且仅当时，取等号．

故答案为：9．

点评：    本题主要考查了利用基本不等式求最值，要注意：一正、二定、三相等，属于基础题．

11．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖4n+2块

考点：    归纳推理． 

专题：    探究型．

分析：    通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．

解答：    解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…

设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{an}表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…

可知数列{an}是以6为首项，4为公差的等差数列，∴an=6+4（n﹣1）=4n+2．

故答案为4n+2．

点评：    由已知的几个图案找出规律转化为求一个等差数列的通项公式是解题的关键．

12．（5分）7+3与7﹣3的等比中项为±2．

考点：    等比数列的通项公式． 

专题：    等差数列与等比数列．

分析：    根据题意和等比中项的性质列出方程，再求值即可．

解答：    解：设7+3与7﹣3的等比中项为x，

则=49﹣45=4，

所以x=±2，

故答案为：±2．

点评：    本题考查了等比中项的性质，注意开方后求出等比中项有两个，属于基础题．

13．（5分）由不等式组所围成的平面区域的面积为2．

考点：    简单线性规划． 

专题：    计算题；不等式的解法及应用．

分析：    作出题中不等式组对应的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0）、B（4，0）、C（0，2），由此算出△ABC的底边AB长和高CO的长，即可得到△ABC面积，得到所求区域的面积．

解答：    解：作出直线x+y﹣2=0，得它交x轴于点B（4，0），交y轴于点C（0，2），

作出直线x+2y﹣4=0，得它交x轴于点A（2，0），交y轴于点C（0，2），

而直线y=0表示x轴，因此作出所围成的图形，

得如图所示的△ABC及其内部，

∵|AB|=2，|CO|=2，∴S△ABC=×|AB|×|CO|=2

即由不等式组所围成的平面区域的面积为2

故答案为：2

点评：    本题给出二元一次不等式组，求围成的平面区域的面积，着重考查了直线的方程、在坐标系中求三角形的面积等知识，属于基础题．

14．（5分）已知钝角△ABC的三边a=k，b=k+2，c=k+4，求k的取值范围（2，6）．

考点：    余弦定理． 

专题：    计算题；解三角形．

分析：    根据余弦定理以及C为钝角，建立关于k的不等式，解之可得﹣2＜k＜6，再根据n为整数和构成三角形的条件，不难得出本题答案．

解答：    解：由题意，得c是最大边，即C是钝角

∴由余弦定理，得（k+4）2=（k+2）2+k2﹣2k（k+2）•cosC＞=（k+2）2+k2即（k+2）2+k2＜（k+4）2，解之得﹣2＜k＜6，

∵a+b＞c，

∴k+（k+2）＞k+4，解之得k＞2

综上所述，得k的取值范围是（2，6）

故答案为：（2，6）

点评：    本题给出钝角三角形的三边满足的条件，求参数k的取值范围，着重考查了利用余弦定理解三角形和不等式的解法等知识，属于基础题．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．请将详细解答过程写在答卷上）

15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx﹣b 

（1）若b=2，求不等式f（x）＞0的解集；

（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数b的取值范围．

考点：    一元二次不等式的解法． 

专题：    不等式的解法及应用．

分析：    （1）b=2时，f（x）＞0化成x2+2x﹣2＞0．令x2+2x﹣2=0解得．

即可不等式的解集．

（2）由于x2+bx﹣b＞0的解集为R，则△＜0，解出即可．

解答：    解：（1）b=2时，f（x）＞0化成x2+2x﹣2＞0．

令x2+2x﹣2=0解得．

∴不等式的解集为：{x|，或}．

（2）∵x2+bx﹣b＞0的解集为R，则△＜0，

∴b2+4b＜0，解得﹣4＜b＜0．

∴实数b的范围是（﹣4，0）．

点评：    本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、与判别式的关系，属于基础题．

16．（13分）在四边形ABCD中，BC=2，DC=4，且∠A：∠ABC：∠C：∠ADC=3：7：4：10，求AB的长．

考点：    余弦定理． 

专题：    解三角形．

分析：    连接BD，根据∠A：∠ABC：∠C：∠ADC=3：7：4：10，求出C的度数，在三角形BCD中，利用余弦定理求出BD的长，利用勾股定理的逆定理求出∠CBD为直角，进而求出∠ABD的度数，得到∠BDA的度数，在三角形ABD中，利用正弦定理求出AB的长即可．

解答：    解：连结BD，由题意得∠A=45°，∠ABC=105°，∠C=60°，∠ADC=150°，

在△BCD中，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=4+16﹣8=12，

解得：BD=2，

∵BD2+BC2=CD2，

∴∠CBD=90°，

∴∠ABD=15°，

∴∠BDA=120°，

在△ABD中，由正弦定理=，

则AB===3．

点评：    此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

17．（13分）（1）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．求{an}的通项公式及前n项和Sn；

（2）已知数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=﹣n2+4n，求Tn的最大值和通项bn．

考点：    等比数列的前n项和；数列的函数特性；等差数列的前n项和． 

专题：    等差数列与等比数列．

分析：    （1）由题意和等比数列的定义判断出数列{an}是等比数列，代入通项公式、前n项和公式化简即可；

（2）将Tn=﹣n2+4n配方，由二次函数的性质求出最大值，再根据当n=1时b1=T1，当n≥2时bn=Tn﹣Tn﹣1，求出通项bn．

解答：    解：（1）由an+1=3an 得，=3，

所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列…2分

则=3n﹣1      4分，

=   6分

（2）由题意得，Tn=﹣n2+4n=﹣（n﹣2）2+4，8分

当n=2时，Tn取得最大值4  …9分

当n=1时，b1=T1=3  …9分

当n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1=﹣n2+4n﹣[﹣（n﹣1）2+4（n﹣1）]=﹣2n+5     12分

且b1也适合上式，所以bn=﹣2n+5         13分．

点评：    本题考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，利用二次函数的性质求数列前n项和的最值问题，以及数列的通项与前n项和的关系式的应用，属于中档题．

18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．

考点：    正弦定理；余弦定理． 

专题：    解三角形．

分析：    （Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；

（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：    解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，

∵sinB≠0，∴sinA=，

又A为锐角，

则A=；

（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=﹣3bc，

∴bc=，又sinA=，

则S△ABC=bcsinA=．

点评：    此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

19．（14分）设数列{an}（n∈N）满足a0=0，a1=2，且对一切n∈N，有an+2=2an+1﹣an+2．

（1）求a2，a3的值； 

（2）证明：数列{an﹣an﹣1}为等差数列；

（3）数列{an}的通项公式；

（4）设Tn=+++…+，求证：Tn＜．

考点：    数列的求和． 

专题：    等差数列与等比数列．

分析：    （1）利用递推式即可得出；

（2）an+2=2an+1﹣an+2，可得（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=2，即可证明；

（3）利用等差数列的通项公式与“累加求和”即可得出；

（4）由（2）可知：==，利用“裂项求和”即可得出．

解答：    （1）解：∵a0=0，a1=2，且对一切n∈N，有an+2=2an+1﹣an+2．

∴a2=2a1﹣a0+2=2×2﹣0+2=6，

a3=2a2﹣a1+2=2×6﹣2+2=12．

（2）证明：∵an+2=2an+1﹣an+2，

∴an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，

化为（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=2，

∴数列{an﹣an﹣1}为等差数列，且首项 a1﹣a0=2﹣0=2，公差为2．

（3）解：由（2）可得an﹣an﹣1=a1﹣a0+2（n﹣1）=2+2（n﹣1）═2n．

∴an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）=2+4+6+…++2n==n（n+1）．

（4）证明：由（2）可知：==，

∴Tn=+++…+=+…+

==．

∴Tn．

点评：    本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

20．（14分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．

（Ⅰ）若扣除投资和各种维修费，则从第几年开始获取纯利润？

（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：

①年平均利润最大时以46万元出售该楼；

②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，

问哪种方案盈利更多？

考点：    函数模型的选择与应用． 

专题：    应用题；等差数列与等比数列．

分析：    （Ⅰ）设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金30n万元．付出装修费共n+=n2，付出投资81万元，由此可知利润y=30n﹣（81+n2），由y＞0能求出从第几年开始获取纯利润．

（Ⅱ）①纯利润总和最大时，以10万元出售，利用二次函数的性质求出最大利润，方案②利用基本不等式进行求解，当两种方案获利一样多，就看时间哪个方案短就选择哪个．

解答：    解：（Ⅰ）设第n年获取利润为y万元

n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共n+=n2，

因此利润y=30n﹣（81+n2），令y＞0，

解得：3＜n＜27，

所以从第4年开始获取纯利润．

（Ⅱ）纯利润y=30n﹣（81+n2）=﹣（n﹣15）2+144，

所以15年后共获利润：144+10=154（万元）．

年平均利润W==30﹣﹣n≤30﹣2=12（当且仅当=n，即n=9时取等号）所以9年后共获利润：12×9+46=154（万元）．

两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②．

点评：    本题考查数列的性质和应用，同时考查了利基本不等式求函数的最值，解题时要认真审题，仔细解答．